Общие положения

Большинство показателей надежности (вероятность безотказной работы, наработка на отказ, ресурс, срок службы и др.) являются статистическими, т.е. случайными, подверженными значительному разбросу. Поэтому для их оценки применяются методы теории вероятностей и математической статистики. Законом распределения случайной величины называют всякое соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями случайной величины и соответствующими им вероятностями (частотами). Эмпирические распределения могут иметь любую (произвольную) форму, которую трудно описать какой-либо аналитической зависимостью. Теоретические же законы имеют конкретное математическое выражение и достаточно хорошо обоснованы. Поэтому задача исследователя состоит в том, чтобы подобрать к полученному из опытного материала эмпирическому распределению одно из известных теоретических распределений. При оценке надежности машин наиболее часто встречаются распределения вида нормального (Гаусса), логарифмически-нормального, Вейбулла, экспоненциального, и др.

Если вид закона распределения предварительно известен, то расчет его параметров и построение теоретического закона можно разделить на следующие этапы:

представление статистических данных в виде вариационного (статистического) ряда или гистограммы;

определение параметров закона распределения;

проверка согласия теоретического и эмпирического распределений по критериям согласия Пирсона или Колмогорова;

построение графика теоретической кривой распределения, если это необходимо.

Если же вид закона распределения предварительно не установлен, то это можно сделать после построения эмпирического закона по его внешнему виду или, исходя из физической сущности изучаемого явления.

Задание

По данным, приведенным в прил. 2 (они представляют собой ресурсы автомобилей или их агрегатов до капитального ремонта в тысячах километров пробега), необходимо:

• определить среднее арифметическое значение ресурса автомобиля до капитального ремонта;

• рассчитать среднее квадратическое отклонение ресурса;

• определить коэффициент вариации ресурса;

• построить эмпирический закон распределения ресурса;

• подобрать теоретический закон;

• проверить согласие теоретического и эмпирического законов распределений;

• определить доверительный интервал для математического ожидания ресурса.

Указания к выполнению

1. Расчет параметров экспериментального распределения

Для большей наглядности и компактности статистические данные преобразуют в статистический ряд, который строится в следующем порядке.

Определяют размах выборки, то есть разницу между максимальным и минимальным значениями

затем размах выборки делят на разряды (классы, интервалы) и определяют величину классового промежутка.

Число классов зависит от числа наблюдений.

(11)

где - общее число наблюдений.

Значение классового промежутка вычисляют по формуле

( 12)

После этого определяют середины классов и их границы и подсчитывают частоты, то есть число значений случайной величины , приходящихся на каждый интервал.

Существует несколько способов вычисления параметров распределения. Рассмотрим на примере более подробно порядок определения среднего арифметического значения и среднего квадратического отклонения по способу произведений [1].

С о с т а в л е н и е с т а т и с т и ч е с к о г о р я д а. Составление статистического ряда и все последующие вычисления произведем на примере, исходные данные которого представляют собой наработки на отказ в мото-ч гидросистемы трактора ТДТ-55А:

413 450 419 412 427 435 404 430 421 399

432 420 416 407 407 428 417 398 424 420

414 410 409 416 430 403 426 407 400 423

423 434 402 431 410 405 436 405 424 405

433 395 433 420 439 398 437 422 394 416

414 386 428 441 397 417 418 414 429 417

401 424 411 426 380 419 406 419 429 406

425 391 432 409 418 418 386 421 415 417

413 413 444 392 411 428 394 431 411 422

424 434 408 443 407 421 422 410 423 409

Число классов статистического ряда определяем по формуле (11)

Принимаем

Размах выборки для нашего ряда

Значение классового промежутка находим по формуле (12):

Для удобства вычислений принимаем

Середина классов полусумма начала данного класса и начала следующего класса. Середины крайних классов принимаем близкими к наименьшему и наибольшему значениям случайной величины.

Начало и конецкласса находим по формулам

где принятая точность измерения случайной величины.