de1

Нетрудно видеть, что инвариантом такого растяжения будет, например, выражение y′/y. Поэтому подстановка

приводит к понижению порядка: производные выражаются через новую переменную по формулам

а экспонента E в силу однородности уравнения сокращается.

Если известно решение получившегося уравнения – функция u(x), то решение исходного уравнения записывается в явном виде как

Z y(x) = C exp u(x) dx .

Заметим, что термин “однородное уравнение” наследован из теории линейных уравнений (см. п. 2.5). Линейное однородное уравнение является частным случаем уравнения (2.1.5) при условии (2.1.6), и порядок его понижается на единицу с помощью преобразования (2.1.7). Так, линейное однородное уравнение второго порядка

y′′ + f (x)y′ + g(x)y = 0

сводится к уравнению Риккати (1.7.1) с f2(x) = −1, а линейное однородное уравнение третьего порядка

y′′′ + f (x)y′′ + g(x)y′ + h(x)y = 0

– к уравнению Риккати 2-го порядка

u′′ + [3u + f (x)]u′ + u3 + f (x)u2 + g(x)u + h(x) = 0.

4. Уравнения Эйлера. Уравнения старших порядков называются уравнениями Эйлера (так же, как и в предыдущем случае – по аналогии с линейными уравнениями), если они однородны по переменной x, т. е. инвариантны по отношению к растяжению по переменной x. Общую форму таких уравнений можно записать в виде

71

приводит к автономному уравнению (2.1.1) – легко проверить, что такая подстановка переводит однородность по переменной x в инвариантность к переносам по переменной t. Производные преобразуются по формулам

(здесь (˙) = d/dt), в результате чего получаем

Порядок этого уравнения понижается согласно п. 1.

5. Обобщенно-однородные уравнения. Уравнения старших порядков этого класса совершенно аналогичны уже изученным уравнениям первого порядка (см. 1.4). Они не изменяются, если выполнить замену (1.4.4) – т. е. инвариантны относительно неравномерного растяжения координат x и y. Это свойство и является надежным тестом на обобщенную однородность. Однако, в отличие от уравнений первого порядка, нам не достаточно привести исходное уравнение к инвариантному относительно равномерного растяжения. Поэтому сначала производится преобразование (2.1.9), а затем показатели экспонент в различных слагаемых выравниваются подстановкой

Параметр k подбирается так, чтобы все экспоненты сократились. При этом преобразованное уравнение становится автономным, и его порядок понижается согласно п. 1.

6. Уравнения, представимые в виде точной производной. Левые части некоторых уравнений, не разрешенных относительно старшей производной, можно представить в виде точной полной производной некоторого другого выражения:

F x, y, y′, . . . , y(n) = DxG x, y, y′, . . . , y(n−1) .

Очевидно, в этом случае порядок уравнения

F x, y, y′, . . . , y(n) = 0

может быть понижен на единицу простым интегрированием, в результате которого получаем

G x, y, y′, . . . , y(n−1) = C.

72

Пример 5. Рассмотрим уравнение

y′yIV − y′′y′′′ = 0.

Его можно представить в виде

y′yIV + y′′y′′′ −2y′′y′′′ = 0.

|{z }

Почленное интегрирование приводит к уравнению

y′y′′′ − (y′′)2 = C,

порядок которого может быть понижен далее другими способами.

Если использовать формулу интегрирования по частям, то легко показать, что произведение двух различных производных y(k)y(s) можно преобразовать к полной производной, если и только если число k + s – нечетное.

Заметим, что этот метод понижения порядка уравнения выглядит наиболее привлекательным в силу того, что мы, по существу, не производим никаких преобразований – конечное уравнение записано относительно той же неизвестной функции y(x), что и исходное. Тем не менее порядок конечного уравнения на единицу ниже исходного, и одна из произвольных постоянных, от которых зависит общее решение, уже выражена в явном виде. Это в ряде случаев облегчает решение начальных и краевых задач.

Для уравнений старших порядков можно построить алгоритм, аналогичный методу интегрирующего множителя для уравнений первого порядка. Некоторые основы этого алгоритма обсуждаются в двух следующих параграфах.

2.2.Интегрирующий множитель и первые интегралы

называется интегрирующим множителем уравнения (2.2.1), если после домножения на него уравнение (2.2.1) может быть записано как точная полная производная некоторой величины P

73

величина P в выражении (2.2.3) называется первым интегралом (законом сохранения) уравнения (2.2.1).

Если задать зависимость интегрирующего множителя (2.2.2) (или первого интеграла) от производной порядка (n − 1), то в силу (2.2.3) существует регулярный алгоритм, позволяющий найти первый интеграл с заданной зависимостью от старшей производной, если этот интеграл существует. Поиск осуществляется методом последовательного расщепления. Из (2.2.3) следует

Px + Py y′ + . . . + Py(n−2) y(n−1) + Py(n−1) y(n) = Rky(n) − RkF, (2.2.4)

откуда

Py(n−1) = Rk.

Так как зависимости P , Rk и F от y(n−1) заданы, можно расщепить

найденное выражение подставляется в уравнение (2.2.5), которое расщепляется по степеням переменной y(n−2) , и т. д.

А. Если интегрирующий множитель не зависит от производной, т. е. R = R(x, y), то первый интеграл линеен по производной и имеет вид

Формулы (2.2.8) позволяют легко проверить, имеет ли уравнение (2.2.6) первый интеграл вида (2.2.7): по известной a(x, y) вычисляем R, по известной c(x, y) – функцию Q, а равенство для b(x, y) проверяется.

Если функция F линейна по производной

74

При этом интегрирующий множитель удовлетворяет исходному линейному (однородному) уравнению, поэтому поиск первого интеграла и отыскание (хотя бы частного) решения исследуемого уравнения оказываются эквивалентными по сложности задачами.

Б. Рассмотрим случай интегрирующего множителя, линейно зависящего от производной

R1 = 2R(x, y)y′ + S(x, y).

Тогда первый интеграл квадратичен:

где R, ϕ и ψ – произвольные функции аргумента x.

75

Наконец, для уравнения

функцию F (x, y) можно найти в явном виде. Функции, входящие в первый интеграл (2.2.10), и правая часть уравнения, связаны следующей системой уравнений 1-го порядка в частных производных:

Ry = 0,

Rx + Sy = 0, (2.2.12)

Sx + Qy + 2RF = 0,

Qx + SF = 0.

Из первого уравнения системы (2.2.12) находим R = R(x), из второго – S = −R′y + ϕ(x). В результате получаем уже систему двух уравнений

Qy − R′′′y + ϕ′ + 2RF = 0, (2.2.13)

Qx − (R y − ϕ)F = 0,

причем здесь функциями двух переменных являются уже только две функции – Q и F . Для решения таких систем используется следующий прием. Одна из искомых функций (а именно, Q) исключается с помощью условия совместности (Qyx = Qxy ). Дифференцируя первое уравнение системы (2.2.13) по переменной x, а второе – по переменной y, получаем линейное уравнение 1-го порядка в частных производных для определения функции F (x, y)

76

Это уравнение легко может быть приведено к уравнению с разделяющимися переменными. Если исходя из (2.2.15) вычислить (z′)2, то уравнение (2.2.16) можно записать в виде

Z

R2(z′)2 − 2 Ψ(z)dz = C1,

и общее решение исходного уравнения имеет вид

Таким образом, в данном случае мы не только решили обратную задачу поиска первого интеграла, но и нашли класс всех уравнений вида (2.2.11), имеющих квадратичный первый интеграл, и доказали, что любое уравнение этого класса интегрируется в квадратурах.

2.3.Уравнение Ермакова

Важным примером применения техники поиска первых интегралов является решение уравнения

которое впоследствии получило название уравнения Ермакова [20]. Будем искать квадратичный по первой производной первый инте-

грал (2.2.10)

P (x, y, y′) = R(x, y)(y′)2 + S(x, y)y′ + Q(x, y).

Изложенная в предыдущем разделе процедура дает

R= R(x), S = −R′y + σ(x),

идля оставшихся неизвестными величин – систему

(Qx + (σ − R′y) f y − Ay−3 = 0,

Qy − R′′y + σ′ + 2R f y − Ay−3 = 0.

Исключая Q с помощью условия совместности, получаем

σ′′ − f σ − (R′′′ − 4f R′ − 2f ′R) y − 3Aσy−4 = 0.

77

Так как искомые функции зависят только от переменной x, это выражение можно расщепить по степеням переменной y, в результате чего получаем

систему

σ′′ − f σ = 0,

R′′′ − 4f R′ − 2f ′R = 0,

3Aσ = 0.

Из последнего уравнения следует, что σ = 0, и остается лишь уравнение

Общее решение уравнения (2.3.2) записывается в виде [2]

R = C1 w12 + C2 w1w2 + C3 w22,

где w1,2 – фундаментальные решения линейного уравнения второго порядка, которое является “укороченным” уравнением для (2.3.1):

Так как решение уравнения (2.3.2) имеет трехконстантный произвол, мы находим три попарно функционально независимых первых интеграла уравнения (2.3.1):

P1 = w12(y′)2 − 2w1w1′ yy′ + (w1′ )2y2 − Aw12y−2,

P2 = w1w2(y′)2 − (w1′ w2 + w1w2′ )yy′ + w1′ w2′ y2 − Aw1w2y−2, P3 = w22(y′)2 − 2w2w2′ yy′ + (w2′ )2y2 − Aw22y−2.

(все три интеграла не могут быть независимыми в силу того, что исходное уравнение – второго порядка). Возьмем, например, первые два интеграла в виде уравнений P1 = C1, P2 = C2, и выразим из них y′. Для этого достаточно вычислить выражение w1P2 − w2P1. Найденную производную подставим в первое уравнение, а результате чего получаем биквадратное уравнение относительно функции y(x). Одно из его решений имеет вид

Здесь C3 не является “лишней” произвольной константой, так как она определяется решениями w1 и w2 –

w1′ w2 − w1w2′ = C3,

т. е. C3 – вронскиан.

78

Таким образом, если известны два линейно независимых решения “укороченного” линейного уравнения (2.3.3), общее решение уравнения Ермакова (2.3.1) можно найти без квадратур. Это решение по форме существенно отличается от приведенного в справочнике [2], для которого достаточно знать лишь одно решение уравнения (2.3.3), но само решение содержит квадратуру. Здесь имеется полная аналогия с линейным уравнением второго порядка – знания двух линейно независимых частных решений также достаточно для построения общего решения без квадратур.

Заметим, что в течение более 100 лет уравнение Ермакова оставалось единственным примером “возмущенного” уравнения, общее решение которого полностью определяется решением невозмущенного линейного. Лишь в последнее десятилетие XX века был найден алгоритм построения уравнений любого порядка, обладающих таким свойством. Этот алгоритм будет рассматриваться в третьем томе настоящей работы.

2.4.Первые интегралы уравнений 3-го и 4-го порядков

1. Уравнение третьего порядка. Рассматривается уравнение

В общем случае алгоритм поиска интегрирующего множителя совпадает с таковым для уравнений второго порядка. Поэтому рассмотрим подробнее случай Fy′′ = 0, т. е. F = F (x, y, y′).

А. Если интегрирующий множитель не зависит от y′′, то первый

рующий множитель вообще не зависит от производных, R = R(x, y), а функция Q квадратична по первой производной:

79

т. е. оказывается, что F является кубическим полиномом по y′. Отметим следующие частные случаи:

R = αy + β(x), ψ = β′′(x)y + γ(x), α – константа, β, γ – произвольные

Б. Пусть интегрирующий множитель линеен по второй производной

R2 = R(x, y, y′)y′′ + Q(x, y, y′),

тогда первый интеграл квадратичен по той же переменной

P = 12R(x, y, y′)(y′′)2 + Q(x, y, y′)y′′ + S(x, y, y′).

Sx + Sy y′ + QF = 0,

80