de1

Очевидно, гипергеометрическая функция Гаусса является частным случаем обобщенного гипергеометрического ряда (3.6.1) и часто обозначается как 2F1(α, β, γ; x). Другой очень распространенной функцией из этого же “клона” является функция Куммера

∞

Φ(α, γ; x) = 1 + X {α}k xk ≡ 1F1(α, γ; x), (3.6.2)

k=1 k!{γ}k

которую называют также функцией Похгаммера или вырожденной гипергеометрической функцией. Эта функция является одним из решений конфлюэнтного или вырожденного гипергеометрического

уравнения

если γ не равна нулю или целому отрицательному числу. Функция Куммера является (однозначной) целой функцией x. Справедлива формула

Куммера

Φ(α, γ; x) = exΦ(α − γ + 1, 2 − γ; −x).

Если γ не является целым числом, то вторым (линейнонезависимым) решением уравнения (3.6.3) является функция

y2 = x1−γ Φ(α − γ + 1, 2 − γ; x),

она получается аналогично второму решению уравнения Гаусса. Вместо нее обычно берут функцию

(3.6.4)

Функция (3.6.4) предельным переходом

Ψ(α, n; x) = lim Ψ(α, γ; x),

γ→n

где n – целое, определяется и для целочисленных значений параметра γ. Функция Ψ всегда имеет логарифмическую особенность в нуле.

Заметим, что частными случаями решений конфлюэнтного гипергеометрического уравнения являются рассмотренные выше функции Бесселя (при γ = 2α) и полиномы Лагерра (при α = −n, n – целое).

Из более сложных обобщенных гипергеометрических функций наиболее известна функция Лауричеллы 3F2. Она удовлетворяет линейному однородному уравнению 3-го порядка и представляет собой ряд, сходящийся в радиусе (−1, +1).

Более подробное и полное описание свойств специальных функций, многочисленные формулы, таблицы, графики и рельефы приведены в хорошо известных изданиях [24, 25].

121

3.7.Понятие об иррегулярных особых точках на бесконечности

Уравнения, имеющие регулярные особые точки, играют очень важную роль в приложениях, однако многие не менее важные уравнения не попадают в этот класс. Например, уравнение Бесселя, уравнение Эйри и даже уравнение с постоянными коэффициентами – все они имеют иррегулярную особую точку на бесконечности.

Пусть в уравнении (3.1.1) точка x = ∞ – особая. Преобразование инверсии x = 1/t переводит эту точку в точку t = 0, оставляя исходное уравнение линейным и однородным. Запишем это уравнение в виде

лярной особой точкой (или обыкновенной точкой) уравнения (3.7.1). Для этого необходимо и достаточно, чтобы коэффициенты уравнения (3.1.1) были голоморфны в точке x = ∞ (т. е. не имели особенностей в этой точке) и стремились к нулю при x → ∞, причем достаточно быстро – сумма порядка нуля коэффициента и порядка производной должна быть не ниже порядка уравнения (3.1.1). Линейное уравнение, все особые точки которого, включая точку x = ∞, являются регулярными, называется

уравнением класса Фукса.

Рассмотрим уравнение (3.1.1) с иррегулярной особой точкой x = = ∞, причем коэффициенты p(x) и q(x) голоморфны в точке x = ∞,

где ряды сходятся при |x| > R > 0, причем |a0| + |b0| + |b1| =6 0, так как в противном случае особая точка будет регулярной. К уравнениям такого типа относится, например, уравнение Бесселя, но не относится уравнение Эйри. Коэффициенты уравнения (3.1.1) при условии (3.7.2) имеют конечные предельные значения при x → ∞:

и предельное уравнение y′′ + a0y′ + b0y = 0, у которого точка x = ∞ также будет иррегулярной особой точкой, имеет фундаментальное решение в виде

y1 = eλ1x, y2 = eλ2x или y1 = eλ1x, y2 = xeλ1x (при λ1 = λ2),

122

Если корни характеристического уравнения – простые, можно попробовать разложить решение уравнения (3.1.1), записанного в виде

k=0

(как если бы особая точка была регулярной).

Процедура, аналогичная проведенной в разделе 3.1, приводит к выводу, что b0 = 0. Если это условие не выполняется, то даже формального решения в виде (3.7.4) не существует. Однако заменой y = eαxu(x), где α

– некоторое число, можно добиться выполнения этого условия. При этом оказывается, что α должно удовлетворять характеристическому уравнению (3.7.3). Дальнейшее последовательное проведение всех этапов процедуры приводит к построению комплекснозначных обобщенных степенных рядов, которые, как правило, расходятся при всех конечных значениях аргумента. Однако они дают весьма существенную информацию об истинных решениях, являясь их асимптотическими разложениями в окрестности бесконечно-удаленной точки.

Подробное изложение основ аналитической теории линейных дифференциальных уравнений с многочисленными примерами приведено в монографии [26].

123

Литература

[1]Зайцев В. Ф. Математические модели в точных и гуманитарных науках. – СПб.: ООО “Книжный Дом”, 2006.

[2]Зайцев В. Ф., Полянин А. Д. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. – М.: Физматлит, 2001.

[3]Полянин А. Д., Зайцев В. Ф. Справочник по нелинейным уравнениям математической физики. Точные решения. – М.: Физматлит, 2002.

[4]Полянин А. Д., Зайцев В. Ф., Журов А. И. Методы решения нелинейных уравнений математической физики и механики. – М.: Физматлит, 2005.

[5]Зайцев В. Ф., Полянин А. Д. Справочник по нелинейным дифференциальным уравнениям. Приложения в механике, точные решения. – М.: Наука, 1993.

[6]Амелькин В.В. Дифференциальные уравнения в приложениях. – М.: Наука, 1987.

[7]Савелов А.А. Плоские кривые. М.: Физматлит, 1960.

[8]Каплански И. Введение в дифференциальную алгебру. – М.: ИЛ, 1959.

[9]Айнс Э. Л. Обыкновенные дифференциальные уравнения. – Харьков, ОНТИ, 1939.

[10]Олвер П. Приложения групп Ли к дифференциальным уравнениям.

–М.: Мир, 1989.

[11]Уфнаровский В. А. Математический аквариум. – Кишинев: “Штиинца”, 1987.

[12]Степанов В. В. Курс дифференциальных уравнений. – М.: ГИТТЛ, 1952.

[13]Синцов Д. М. Интегрирование обыкновенных дифференциальных уравнений. – Харьков, 1913.

[14]Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. – М.: Наука, 1976.

[15]Коялович Б. М. Исследования о дифференциальном уравнении ydy− −ydx = Rdx. – СПб.: Типогр. Академии наук, 1894.

[16]Алексеева Т. А. Уравнения Абеля второго рода, обладающие полуфундаментальной системой решений // Сборник научных трудов, т. 8.

–Орел: ОрелГТУ, 1996.

[17]Алексеева Т. А., Зайцев В. Ф. Обобщения СФР // В книге: Г. Н. Яковенко. Принцип суперпозиций для нелинейных систем: Софус Ли и другие. – М.: МФТИ, 1997.

[18]Куренский М. К. Дифференциальные уравнения, кн. 1 – Л.: Изд. Артиллерийской Академии РККА, 1933.

124

[19]Матвеев Н. М. Методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений. – М.: Высшая школа, 1967.

[20]Ермаков В. П. Дифференциальные уравнения второго порядка. Условия интегрируемости в конечном виде // Киев, “Университетские известия”, 1880, }9, с. 1–25.

[21]Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики.

– М.: Наука, 1966.

[22]Кацман Ю. А. Основы расчета радиоламп. – Л.-М., 1952.

[23]Зинченко Н. С. Курс лекций по электронной оптике. – Харьков: Изд. ХГУ, 1958.

[24]Янке Е., Эмде Ф., Лёш Ф. Специальные функции (Формулы, графики, таблицы). – М.: Наука, 1964.

[25]Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции, т. 1–3. – М.: Наука, 1965 (т. 1), 1966 (т. 2), 1967 (т. 3).

[26]Матвеев Н. М. Лекции по аналитической теории дифференциальных уравнений. – СПб.: Изд. Санкт-Петербургского университета, 1995.

125

С О Д Е Р Ж А Н И Е

Предисловие авторов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Введение. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 0.1. Основные определения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 0.2. Основные принципы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

Глава 1. Уравнения первого порядка. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.1. Уравнение с разделяющимися переменными . . . . . . . . . . . 17 1.2. Линейное уравнение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.3. Уравнение Бернулли . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1.4. Однородное уравнение и приводящиеся к нему. . . . . . . . . 22 1.5. Уравнение Якоби . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 1.6. Уравнение Дарбу . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 1.7. Уравнение Риккати . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 1.8. Уравнение Риккати: канонические преобразования . . . . 34 1.9. Специальное уравнение Риккати . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 1.10. Уравнения Абеля 1-го и 2-го рода . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

1.11. Уравнение в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

1.12. Уравнение Дарбу: интегрирующий множитель . . . . . . . . . 45 1.13. Уравнение Дарбу: критические особые точки . . . . . . . . . . 46 1.14. Особые решения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 1.15. Уравнения, не разрешенные относительно производной 51 1.16. Уравнения Лагранжа и Клеро . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 1.17. Особые точки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 1.18. Понятие устойчивости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 1.19. Задача программного управления . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

Глава 2. Уравнения старших порядков . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 2.1. Простейшие случаи понижения порядка. . . . . . . . . . . . . . . . 69 2.2. Первые интегралы уравнений 2-го порядков . . . . . . . . . . . 73 2.3. Уравнение Ермакова . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 2.4. Первые интегралы уравнений 3-го и 4-го порядков. . . . . 79 2.5. Общие свойства линейных уравнений. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 2.6. Простейшие преобразования линейных уравнений . . . . . 89 2.7. Неоднородные линейные уравнения. Метод Лагранжа . 91

127