86
.pdfChapter 1. Absolute stability and Aizerman’s problem of one-dimensional regulated systems
Proof. Along the solution of the system (1.86) the following identity is true
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
(t) = a0 y (t) a1 y |
(t) an 1 y |
|
|
|
(t) ( (t)), |
t I, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 2 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
where |
|
|
|
|
|
n 1 |
B1. |
From here the identity (1.91) follows. Identity (1.92) follows from |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
= A1 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
(1.84). As (t) = y (t) |
2 |
y |
2 |
(t) |
n 1 |
y |
n 1 |
(t) |
n 2 |
y |
n 2 |
(t), |
|
where |
y |
n 2 |
(t) |
= (t), |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
y1 (t) = y2 (t), , yn 1 (t) = yn 2 (t), t I , |
|
|
then we get identity (1.93). The lemma is |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
proved. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
Theorem 16. Let the conditions of the lemmas 1, 2 be satisfied, matrix |
A, |
|
A |
( ) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
be a Hurwitz matrix, the function |
|
( ) |
. |
Then for any constant matrix |
|
Q |
|
of |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
order |
(n 3) (n 3) |
the quadratic form |
|
|
|
* |
(t)Q (t), |
(t) = ( (t), y1 (t), , yn 2 (t)), |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
t I |
can be represented as |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
* |
(t)Q (t) = q |
2 |
(t) |
q y |
2 |
(t) q |
|
|
|
y |
2 |
|
|
|
(t) q |
|
|
|
|
y |
2 |
|
|
(t) |
|
d |
|
|
[ |
* |
(t)F (t)], |
|
t I , |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
n 1 |
n 1 |
n 2 |
|
n 2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
1 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1.94) |
||
where |
F |
|
is a constant matrix of order |
|
(n |
|
2) (n 2). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
Improper integral |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
* |
(t)Q (t)dt = |
[q |
2 |
(t) q y |
2 |
(t) q |
|
|
|
|
y |
2 |
|
|
(t)]dt l |
, |
|
| l |
|< , |
|
(1.95) |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
n 2 |
n 2 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
1 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
* |
|
|
|
|
|
|
|
|
* |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
* |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
* |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
l |
|
= |
|
dt |
[ y |
|
(t)Fy(t)]dt = y |
|
(t)Fy(t) | |
|
= y |
|
( )Fy( ) y |
|
|
(0)Fy(0). |
|
|
|
(1.96) |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Proof. Let |
n 2 = n . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 It is easy to verify that: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
a) if n2 , k |
|
are odd numbers, k n2 , |
|
|
then |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
n1 k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
yk |
|
|
|
yk yn yk 1 yn 1 |
|
... |
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
yn2 |
|
k |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
b) if |
|
n |
is an odd, |
k |
is an even number, |
|
|
k < n |
, |
then |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n1 k 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n1 k 1 |
yn2 |
|
|
|
|
|||||||||||||
yk |
|
|
|
|
yk yn |
yk 1 yn 1 ... 1 |
|
|
|
2 |
|
|
yn |
k 1 yn k 1 |
|
1 |
2 |
|
|
|
k 1 ; |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
61
Lectures on the stability of the solution of an equation with differential inclusions
c) if n1 |
is an even, k |
|
|
is an odd number, k < n1, then |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
k 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
k 1 |
|
|
|
||||||||||||
y |
|
|
|
|
y y |
|
y |
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
... 1 |
n |
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
n |
|
2 |
; |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
y |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
k |
dt |
|
k |
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
k 1 |
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n k 1 |
|
|
n k 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n k 1 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|||||
d) if |
|
n |
|
is an odd, |
|
k |
|
|
is an odd number, |
|
k n , |
then |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y y |
|
|
|
y |
|
|
y |
|
|
|
|
|
... |
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
n k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
dt |
|
|
k |
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
k |
1 |
n |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
e) if |
k |
|
is an odd, |
|
s |
|
is an odd number, |
|
s > k, |
|
then |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k s |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k s |
1 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
||||||||||||
y |
|
y |
|
= |
|
|
|
y |
|
|
y |
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
( 1) |
|
2 |
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
( 1) |
|
2 |
|
|
|
y |
|
; |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
k |
|
s |
|
|
dt |
|
|
k |
|
|
|
s 1 |
|
|
|
|
|
|
k 1 |
|
|
|
s 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k s |
1 |
|
|
k s |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
s |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
f) if |
k |
is an odd, |
s |
|
is an even number, |
|
s > k, |
|
|
then |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
s |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
y |
|
|
= |
|
|
|
|
|
y |
|
|
y |
|
|
y |
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
( 1) 2 |
|
|
y |
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
s |
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
k |
|
s 1 |
|
|
|
|
k 1 |
|
|
s 2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
s |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
g) if |
|
k |
|
is an even, |
|
s |
|
is an odd number, |
|
s > k, |
|
then |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
k s |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
y |
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
y |
|
|
|
|
y |
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
( 1) |
|
|
2 |
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
k |
s |
|
|
|
|
|
|
k |
|
s |
1 |
k 1 |
s |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k s 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
h) if |
|
k |
|
is an even, |
|
s |
|
is an even number, |
s > k, |
then |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
s k |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
y |
|
= |
|
|
|
|
|
|
y |
|
y |
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
y |
|
|
|
|
( 1) 2 |
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
s |
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
k |
|
|
|
s |
1 |
|
|
|
k 1 |
|
s 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
s k |
|
1 |
k |
s |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
In particular, when n1 = 3 we get: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
y = |
|
d |
( y y |
|
|
|
1 |
|
y2 ); y |
|
= |
|
|
d |
|
( y |
|
y |
|
) y |
2 ; y |
|
|
= |
|
1 d |
( y |
2 ); |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
dt |
|
|
|
|
1 |
|
|
3 |
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
dt |
|
|
2 |
|
3 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
2 dt |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
y y |
|
= |
1 |
|
d |
|
( y |
2 ); y y = |
d |
( y y |
|
) y2 |
; y |
|
|
y |
|
|
= |
1 |
|
d |
( y |
2 ); |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
2 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
2 dt |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
3 |
|
|
|
dt |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 dt |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
62
Chapter 1. Absolute stability and Aizerman’s problem of one-dimensional regulated systems
when n1 = 4 we get:
y |
= |
d |
( y y |
|
y |
|
y |
) y |
2 |
; |
y |
|
= |
d |
( y |
|
y |
|
|
1 |
y |
2 |
); |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
4 |
2 |
3 |
2 |
|
2 |
4 |
|
3 |
||||||||||||||
1 |
|
dt |
1 |
|
3 |
|
|
|
|
dt |
|
|
|
2 |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
= |
d |
( y |
y |
) y |
2 |
; y |
|
= |
1 d |
( y |
2 |
); |
y y |
|
= |
1 d |
( y |
2 |
); |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
3 |
|
4 |
4 |
|
4 |
2 |
|
|
|||||||||||||
|
|
dt |
3 |
4 |
|
|
|
2 dt |
|
|
1 |
|
2 dt |
1 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y y |
|
= |
d |
|
( y y |
|
) y |
2 |
; y y |
|
= |
|
d |
( y y |
|
|
|
1 |
y |
2 |
); |
|||||||||||
3 |
|
|
2 |
2 |
4 |
|
|
3 |
|
|
|
2 |
||||||||||||||||||||
1 |
|
|
dt |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
dt |
1 |
|
|
2 |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
y |
|
y |
|
= |
d |
( y |
|
y |
) y |
2 |
; |
|
y y |
|
= |
1 d |
|
( y |
2 |
). |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
2 |
4 |
|
2 |
3 |
|
4 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
2 dt |
|
3 |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
As the quadratic form |
|
* |
(t)Q (t) |
contains terms with constant coefficients of the |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
product of components of vector |
(t), |
|
then the true form is (1.94). |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
By integrating identity |
(1.94) |
taking |
|
into |
|
account |
evaluation (1.89), where |
|||||||||||||||||||||||||
| y(0) | m , | y( ) | m , |
we |
obtain |
|
the |
relations (1.95), |
|
(1.96). The theorem is |
|||||||||||||||||||||||||
0 |
|
1 |
|
|
|
proved. |
|
|
|
|
|
Lemma 14. Let the following conditions hold: |
|
|
|
||
1) vector function y(t) = ( y1 (t), , yn 2 (t)), t I |
= [0, ) |
||||
t I and is continuously differentiable, moreover |
| y |
(t) | c, |
|||
|
|
|
|
||
2) scalar continuous function |
V (x) > 0, x, |
x R |
n 2 |
, x |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
is bounded
t I , |
|
|
a < , |
0, |
V (0) = |
| y(t) | a, c < ; 0;
3) improper integral
V ( y(t))dt < .
0
Then
lim y(t) = 0. t
|
Proof. Let the conditions of Lemmas |
|
1) – 3) be satisfied. Let us show that |
|
|
||||||||||||||||||||||||
lim y(t) = 0. |
Suppose |
the |
contrary |
i.e. |
lim y(t) 0. |
Then there is |
a |
sequence |
|
|
|||||||||||||||||||
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
{t |
} I = [0, ) |
such that |
| |
y(t) | |
> 0, |
|
k = 1,2, . |
We choose |
t |
k 1 |
t |
k |
m > 0. |
|
|
|
|||||||||||||
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
As |
y(t), t I |
is continuously |
differentiable and |
|
| y(t) |< c, |
t, |
t I , |
then |
|
|
|||||||||||||||||||
| y(t) y(tk ) | c | t tk |
|, t [tk |
m |
, tk |
|
m |
], |
k = 1,2, . Then |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
tk |
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
V ( y(t))dt V ( y(t))dt, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
k =1 tk |
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
m |
||
where | ||y|y(y(t|t)t()yt|=|)(ty)=||(y|=|ty()y(t|=|t(ty)t()ty)()yty(y)(tt)y(t)t()ty)(yty()y(tyt(t|(t)yt)|()||)tt|)|||)y|y=|(y(t|t(t(yt)t)(|)t|||)|||y|y(y(|tt()tyt)()t)yy(yt(yt(tt()t)|)||)|| | y(cctc) |
|===| y(>t>>)00.0...y(t |
|
) | c |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
kkk k k |
k |
|
kkkkk |
k |
kkkk k |
|
kkkkk |
|
k222 |
|
|
00000 |
|
k |
|
2 |
63
Lectures on the stability of the solution of an equation with differential inclusions
As
t |
|
|
m |
|
k |
2 |
|||
|
|
|||
|
|
|
|
|
V ( y(t))dt V |
|
min |
|
t |
|
m |
|
||
k |
|
2 |
|
|
m,
V |
= |
min |
V (x), |
min |
|
|x| a |
|
|
|
||
|
0 |
|
|
then V ( y(t))dt = . This
0
contradicts the third condition of the Lemma. The Lemma is proved.
Lecture 12.
Improper integrals and absolute stability in a critical case
Based on identities (1.91)–(1.93), assessments (1.88)–(1.90) and taking into account (1.94)–(1.96) we can obtain evaluations of improper integrals along the solution of the system (1.86).
Theorem 17. Let the conditions of the lemmas 11, 12 be satisfied, matrices |
A, |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
A ( ) |
be Hurwitz matrices, the function ( ) |
. |
Then along the solution of the |
|||||||||||||||||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
system (1.86) improper integral |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I |
|
= ( (t)) (t)dt = [N |
2 |
(t) N y |
2 |
(t) |
N |
|
|
y |
2 |
(t)]dt l |
= |
|
|||||||||||||||||
|
1 |
|
|
n 2 |
n |
2 |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
||||||||
|
|
|
0 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1.97) |
|
|
|
( ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
= |
( )d = c1, |
| c1 |< , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
(0) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l = y* (t)F y(t) | = y* ( )F y( ) y* (0)F y(0), |
| l |< , |
|
|
(1.98) |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
1 |
|
1 |
0 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
where |
F |
is a constant matrix of order |
(n 2) |
|
(n 2). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
t I , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(t), |
|
|
|||||||||||||
Proof. Products ( (t)) (t) = |
* |
(t)N (t), |
where |
( (t)), |
t I |
are |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
defined by formulas (1.91), (1.93), respectively. Then improper integral |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
I1 = |
* |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( )d = c1, |
| c1 |< , |
|
|||||||||||||||
|
|
|
(t)N (t)dt = ( (t)) (t)dt = |
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
0 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(0) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
due to limited (t), t I , |
where N is a constant matrix of order |
(n 3) (n 3). |
||||||||||||||||||||||||||||||
As it follows from Theorem 2 (Q = N ), the following equality holds |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
* (t)N (t) = N 2 (t) N y2 (t) N |
|
|
|
y |
2 |
(t) |
d |
[ y* (t)F y(t)], |
t I. |
|
|||||||||||||||||||||
|
n 2 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
0 |
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
n 2 |
|
|
dt |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Then the ratios (1.97), (1.98) follow from (1.94)–(1.96). The theorem is proved. |
||||||||||||||||||||||||||||||||
Theorem 18. Let the conditions of the lemmas 11, 12 be satisfied, matrices |
A, |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
A1( ) |
be Hurwitz matrices, the function ( ) 1. Then for any value 1 > 0 along- |
|||||||||||||||||||||||||||||||
with the solution of the system (1.86) the improper integral |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
64
Chapter 1. Absolute stability and Aizerman’s problem of one-dimensional regulated systems
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
I |
|
= |
[ ( (t)) (t) |
|
1 |
|
( (t))]dt = |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||
2 |
0 |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
[M |
2 |
(t) M y |
2 |
(t) M |
|
y |
2 |
(t)]dt l |
|
0, |
|||||||
|
|
n 2 |
n 2 |
2 |
||||||||||||||
|
|
|
0 |
|
1 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1.99)
|
|
l2 |
|
* |
|
|
|
|
|
|
|
|
* |
|
|
|
|
|
* |
(0)F2 y(0), |
| l2 |< , |
|
|
|
(1.100) |
||||
|
|
= y |
(t)F2 y(t) |0 |
= y |
( )F2 y( ) y |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
where M |
|
= M |
( ), |
1 |
> 0, i = |
0, n 2, |
F |
is a constant matrix of order |
(n |
2) (n 2). |
|||||||||||||||||||
|
i |
|
i |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Proof. As ( ) |
|
, then |
|
|
|
1 |
, , |
R . Then ( ) |
> |
|
( ), |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
( ) |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
0 |
|
|
, R |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(t)M (t) = |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
1 |
|
Along |
|
the |
|
solution |
of |
the |
system |
(1.86), |
|
|
* |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
= ( (t)) 1 |
|
|
|
1 |
2 |
( (t)), |
t I , |
where |
( )(t), |
(t), |
t I |
are |
|
defined |
by |
||||||||||||||
(t) 1 0 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
formulas (1.91), (1.92), respectively. Further, in a similar way, as in the proof Theorem 3, we obtain the relations (1.99), (1.100). The theorem is proved.
Theorem 19. Let the conditions of the lemmas 11, 12 be satisfied, matrices
of
A,
A |
( ) |
be Hurwitz matrices, the function ( ) |
. |
Then for any values |
1 |
|
1 |
|
|
along the solution of the system (1.86) the improper integral
|
0 |
, |
1 |
, , |
n 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I |
|
= |
[ (t) |
|
y (t) |
|
|
y |
|
|
(t)] |
2 |
dt = |
|
||||
3 |
1 |
n 2 |
n 2 |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
0 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
[ |
2 |
(t) y |
2 |
(t) |
|
y |
2 |
|
(t)]dt l |
0, |
|||||||
|
|
|
n 2 |
|||||||||||||||
|
|
|
0 |
|
1 |
1 |
n 2 |
|
|
|
|
|
3 |
|
||||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1.101)
l3 = y |
* |
|
|
* |
(0)F3 y(0), |
| l3 |< , |
(1.102) |
|||
|
(t)F3 y(t) |0 = y *( )F3 y( ) y |
|
||||||||
where i ( 0 , 1, , n 2 ), i = 0, n 2, F3 |
is a constant matrix of order |
(n 2) (n 2). |
||||||||
Proof. Product [ 0 1 y1 n 2 yn 2 ] = |
|
(t) (t), |
where |
|
is a constant |
|||||
|
|
|
2 |
|
|
* |
|
|
|
|
matrix of order (n 3) (n 3). . Next |
by analogy, as in the proof of Theorem 4, we |
obtain the relations (1.101), (1.102). The theorem is proved.
Absolute stability. Based on the results outlined above, we can formulate conditions of absolute stability of equilibrium states of the system (1.76), (1.77).
Theorem 20. Let the following conditions hold e:
1. matrices
A,
A |
( ), |
1 |
|
0 < |
0 |
< |
0 |
|
|
are Hurwitz matrices, the function
( ) 1, > 0 is an arbitrarily small number;
2.there is a vector * Rn 2 such that
B1 = 0, A1B1 = 0, , A1n B1 = 0, A1n 1B 0;
65
Lectures on the stability of the solution of an equation with differential inclusions
|
|
|
|
|
|
|
R = |
|
|
, A |
|
, , A |
|
|
|
|
|
|
|
|
n 2; |
||||
3. rank of the matrix |
|
|
* |
|
|
* |
* |
|
|
*n 1 |
* |
is equal to |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
||||||||||||
4. conditions of Theorems 17-19 are satisfied, and let besides: |
|||||||||||||||||||||||||
|
2 |
N |
0 |
M |
0 |
0, |
2 |
N M |
1 |
0, |
2 |
N |
2 |
M |
2 |
> 0, |
|||||||||
|
|
|
|
0 |
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
2 |
||||||||
|
2 |
N |
i |
M |
i |
> 0, |
i = 3, n 2, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1.103)
where |
|
2 |
is any number. |
|||
|
||||||
Then the equilibrium state of the system (1.76), (1.77) is absolutely stable. If in |
||||||
addition the value |
0 = 0 , where > 0 is an arbitrarily small number, then in |
|||||
the sector |
[ , |
0 |
] |
Iserman’s problem has a solution. |
||
|
|
Proof. Under conditions 1) - 4) of the Theorem we get
|
|
I |
|
I |
|
I |
|
= |
|
|
|
N |
|
M |
|
) |
|
(t) ( N M |
|
) y |
|
(t) |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
[( |
|
|
|
2 |
|
2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
2 |
|
|
0 |
|
|
0 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
|
1 |
|
|
1 |
|
1 |
|
||
|
|
|
|
( |
|
N |
|
|
0 |
|
|
) y |
|
(t) ( |
|
N |
|
M |
|
) y |
|
(t) |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
M |
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
( |
|
|
2 |
|
|
2 |
M |
2 |
|
|
|
2 |
2 |
) y |
|
|
|
3 |
|
|
|
3 |
|
|
3 |
|
3 |
l |
3 |
|
|
|
l |
|
< , |
|||||||||
|
|
N |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
(t)]dt |
|
c1 |
l |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
n 2 |
|
|
n 2 |
|
|
n 2 |
|
|
n 2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 1 |
|
|
|
2 |
|
3 |
|
|
|
(1.104)
where
| c | |
< |
1 |
|
,
| l |
|< , |
i |
|
i
= 1,2,3,
|
2 |
|
is any number.
From (1.104) taking into account first inequality from (1.103), we get
|
|
|
|
|
|
|
|
n 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
2 |
N |
i |
M |
i |
) y2 |
(t) |
|
dt < , |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
0 |
i=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
where |
N M |
1 |
0, |
|
2 |
N |
2 |
M |
2 |
0, |
|
2 |
N |
i |
M |
i |
> 0, i = 3, n 2. |
Hence |
|||||||||||||||||||||
|
2 1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|||||||||||||
in case when |
2 Ni |
Mi i |
|
> 0, |
i = 1, n 2, |
we get |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
[ |
2 |
N |
i |
M |
i |
]y |
2 (t)dt < , i = 1, n 2. |
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
Then as follows from lemma 4 the limit lim |
|
yi (t) = 0, i = 1, n 2. Consequently, |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
according to |
Lemma |
12 |
|
the |
|
limit |
|
lim z(t) = 0. |
As |
matrices |
A ( ), |
A ( ), |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
0 < 0 |
< |
0 are |
Hurwitz matrices, then |
|
according to definition 7 trivial |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
solution |
z(t) 0, t I |
|
of |
the |
|
|
system |
|
(1.76), |
|
|
(1.77) |
|
is |
absolutely |
stable, |
where |
||||||||||||||||||||||
z(t) = (x(t), (t), (t)), |
t I. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Consider the case when 2 N1 |
M1 1 |
= 0, 2 N2 |
M2 2 = 0. In this case as proved |
|
|
|
|
|
y1 |
(t) = 0, lim y2 (t) = 0. |
above lim |
yi |
(t) = 0, i = 3, n 2. We only have to prove lim |
||||
t |
|
|
|
t |
|
t |
66
Chapter 1. Absolute stability and Aizerman’s problem of one-dimensional regulated systems
|
|
|
|
|
|
|
|
|
As | ( ) | * , | (t) | c2 , |
t, t I is uniformly continuous by t, t I. Then |
|||||||
|
|
n 1 |
|
|||||
function yn 2 (t) = a0 y1(t) a0 y2 (t) A1 ( (t)), t I |
is uniformly continuous |
|||||||
by t due to uniform continuity of |
yi (t), i = |
|
|
t I. Then according to |
||||
1, n 2, ( (t)), |
the Barbalat Lemma [14; § 21, Lemma 1] equality lim yn 2 (t) = 0 |
entails lim yn 2 (t) = 0. |
|||||||||
|
|
|
|
t |
|
t |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Then when t we get |
0 = a0 lim y (t) a0 lim y |
(t) An 1B lim ( (t)), |
||||||||
|
|
|
t 1 |
|
|
t 2 |
|
1 1 t |
lim (t) = |
1 |
lim y |
(t) |
|
t |
t |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
lim y2 (t), |
where a0 = 1 , a1 = 2 , > 0 is an |
||||
|
t |
|
|
|
|
|
arbitrarily small number, lim y |
(t) = lim y |
|
(t), lim y |
|
(t) = lim y |
|
(t) = 0. |
Then |
t 1 |
t |
2 |
t |
2 |
t |
3 |
|
|
lim
t
then
y1(t
So,
y2 (t) = y2 = const, lim y1 (t) = y2 . |
As the system (1.76), (1.77) is autonomous, |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
its |
properties |
of |
solutions |
do not |
depend |
on the |
start time. Consequently, |
||||||||||||||||||||
) = y2t y1, y1 |
= const, |
due to limited |
1 |
|
01 |
, t, t I , |
value |
y |
2 |
|
= 0. |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| y (t) | m |
|
|
|
|
|
|
||||
lim y |
|
(t) = 0, |
lim |
y (t) = y |
, |
0 = a0 |
y |
|
A |
n 1 |
B lim ( (t)), lim (t) = |
|
y |
. |
As |
||||||||||||
2 |
1 |
|
1 |
||||||||||||||||||||||||
t |
|
|
|
|
t |
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
t |
t |
|
|
1 |
|
|
a0 |
= |
|
1 |
is an arbitrarily small number, then when
0,
lim a0 |
= 0 |
t |
|
and the
following equality holds 0 = lim ( (t)) = ( |
1 |
y |
). Hence it follows that |
y |
1 |
= 0, |
due |
|
t |
1 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
to the fact that (0) = 0 only when = 0, 1 |
is any number. |
|
|
|
|
|
||
Notice that equality to zero of the sum 2 N1 |
M1 1 = 0, 2 N2 M2 2 = 0 |
is |
one of the features of the critical case in comparison with the main case from [6–9].
In case |
0 |
= 0 , > 0 is an arbitrarily small number, meets all conditions of |
the definition 3, consequently in the sector |
[ , |
0 |
] |
Iserman’s problem has a solu- |
|
|
|
|
tion. The theorem is proved.
Lecture 13.
Aizerman’s problem. The solution to the model problem in a critical case
The question arises: is it possible to distinguish a class of regulated systems, for which Iserman’s problem has a solution, without resorting to checking conditions of absolute stability from Theorem 6.
Theorem 21. Let the following conditions hold:
|
matrices A, A ( ), 0 < |
|
|
|
|
|
|
1. |
0 |
< |
0 |
are Hurwitz matrices, the function |
|||
|
1 |
|
|
|
|
||
1 |
, > 0 is an arbitrarily small number; |
|
|
||||
2. there is a vector * Rn 2 |
such that |
|
|
B1 = 0, A1B1 = 0, , A1n B1 = 0, A1n 1B1 0;
67
Lectures on the stability of the solution of an equation with differential inclusions
3. rank of the matrix
R = |
|
* |
* |
* |
, , A |
*n 1 |
* |
||
|
, A |
|
|
|
|
1 |
|||
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
is equal to n 2;
4. the conditions of the |
|
theorem |
17 |
are |
satisfied. There is |
a |
feedback vector |
|||||||||||||||||
S R |
n 2 |
and number |
|
|
such as |
|
|
|
|
0, |
|
N 0, |
2 N2 0, |
|
|
|
|
|
||||||
2 |
|
2 |
N |
0 |
2 |
2 Ni |
> 0, i = 3, n 2. |
|||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|||||||||||||||
Then in the sector |
[ , |
0 |
], |
> 0 |
is an arbitrarily small number, Iserman’s |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
problem |
has a solution, |
the |
value |
|
0 |
is |
|
a |
|
limiting value |
of |
Hurwitz matrices |
A1( ) =
A B S |
, |
||
1 |
1 |
1 |
|
|
0 |
. |
|
|
Proof. Let the conditions of the theorem hold. Then improper integral
|
|
I = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N |
|
(t) N y |
|
(t) N |
|
y |
|
(t) |
||||||||||||||
|
( (t)) (t)dt = |
[ |
|
2 |
2 |
|
2 |
||||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
2 |
1 |
1 |
|
|
|
|
2 |
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
N |
|
y |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
= |
|
c1, |
| l |
|< , | c |< . |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
(t)]dt l |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
n 2 |
|
n 2 |
|
|
|
|
|
2 1 |
|
|
2 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Hence taking into account that |
|
2 |
N |
0 |
|
0, |
|
2 |
N 0, |
|
2 |
N |
2 |
0, |
|
2 |
N |
i |
> 0, |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
we get
i = 3, n 2,
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N |
2 |
(t)dt < |
, |
|
|
N y |
2 |
(t)dt < |
, |
|
|
N |
|
y |
2 |
(t)dt < , |
||||||||
2 |
|
|
|
|
2 |
2 |
2 |
|||||||||||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N y |
2 |
(t)dt < , i = 3, n 2. |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
i |
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Consider two cases: 1) case when |
|
2 |
N |
i |
> 0, |
i = 0, n 2; |
2) case when |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
N = 0, |
2 |
1 |
2
N
2 |
= 0, |
|
|
|
In the
2 |
N |
i |
|
first
> 0, i
case
= 3, n 2.
the implemented inequalities
|
|
|
|
2 |
|
2 Ni yi |
(t)dt < , |
|
0 |
|
|
i = 1, n 2.
Consequently, lim yi (t) = 0, i = 1, n 2, |
the value |
|
|
0 is determined from the condi- |
||||||||
|
|
|
||||||||||
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
tions of Hurwitz matrices |
A ( ). Then |
|
0 |
= |
0 |
, > 0 and Iserman’s problem |
||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
has a solution. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
In the second case implemented inequalities |
|
|
|
N y2 (t)dt < , i = 3, n 2. Then |
||||||||
|
|
2 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i i |
|||
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
lim y |
(t) = |
|
t |
i |
|
|
|
condition
0, |
|
|
|
i = 3, n 2. |
lim yn 2 (t) = 0,
t
Next repeating the proofs of the Theorem 6 from the
we get lim |
y1 |
(t) = 0, lim y2 (t) = 0. Then in the sector |
t |
|
t |
[ , 0 ] Iserman’s problem has a solution. The theorem is proved.
Solution of model problems. The effectiveness of the proposed method of defining the condition of absolute stability and solution of Aizerman’s problem will be shown on examples.
68
Chapter 1. Absolute stability and Aizerman’s problem of one-dimensional regulated systems
Example 1. Differential equations of regulated system have a form
x |
= x |
( ), |
x |
= x |
, |
x |
= ( ), = x |
x |
x |
, |
t I = [0, ), |
(1.105) |
|||
1 |
1 |
|
2 |
|
3 |
|
3 |
|
|
1 |
2 |
3 |
|
|
|
where ( ) = |
( ), |
( ) |
. |
For this example, the source data is as follows: |
|||||||||||
|
|
|
1 |
|
A = 1, B = 1, 1 = 0, 2 = 1, S = , 1 = , 2 = .
1. Equations (1.105) in vector form have a form where
z = A1z B1 ( ),
= S1z,
|
|
1 |
0 |
0 |
|
|
1 |
|
|
|
x |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
= |
|
0 |
0 |
1 |
, |
B = |
|
0 |
, |
S |
= ( , , ), |
z = |
|
x . |
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|||
|
|
|
0 |
0 |
0 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
Characteristic polynomial of the matrix
A1
is equal to
( ) =| I |
|
2 |
( 1). |
3 |
A |= |
||
|
1 |
|
2. Vectors
= (1;1; 1),
A1 = ( 1;0;1),
A |
2 |
= (1;0;0), |
|
||
1 |
|
2 |
= = 1. |
A B |
|
1 |
|
Matrices
|
1 |
1 |
1 |
|
|
1 |
1 |
1 |
|
0 |
0 |
1 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
R* = |
|
1 |
|
|
|
R* 1 = |
|
|
|
|
|
| R |= 1 0, |
R = |
|
1 |
0 |
0 |
, |
|
0 |
1 |
, |
|
1 |
1 |
0 |
, |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
1 |
1 |
0 |
|
|
|
1 |
0 |
0 |
|
|
|
0 |
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3. Nonsingular transformation. Vector where
* |
z, |
y = R |
y =
A1 y B ( ),
= S1 y,
|
|
|
0 |
1 |
0 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|||
|
= R* A R* 1 |
|
|
|
|
|
|
|
= R*B = |
|
|
|
|
= S R* 1 |
|
A1 |
= |
|
0 |
0 |
1 |
, |
B1 |
|
0 |
, |
S1 |
= ( , , ), |
|||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
||
|
|
|
|
0 |
0 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= , |
= , |
= , ( ) |
. |
|
|
0 |
|
4. For this example equation (1.86) has a form
where |
( ) = ( ), |
|
y = A1 ( ) y B1 ( ),
= S1 y,
|
0 |
1 |
0 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
||
A1 ( ) = |
|
|
|
|
|
|
|
B = |
|
|
|
S1 = ( , , ). |
||
|
0 |
0 |
1 |
|
|
, |
|
0 |
, |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
( ) |
1 ( ) |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
||||||||||
Characteristic polynomial of the matrix |
|
|
|
is equal to 2 ( ) =| I3 A1( ) |= |
||||||||||
A1 ( ) |
3 (1 ) 2 . Necessary and sufficient conditions for Hurwitz of matrix
A1 ( ) : < 0, < 0, ( ) > 0, , , > 0 is an arbitrarily small number.
69
Lectures on the stability of the solution of an equation with differential inclusions
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Limit value |
0 is determined |
from |
inequalities: |
1 > 0, |
|
< 0, < 0, |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
(1 )( ) > 0. |
From these |
inequalities |
we |
get: 1) if |
< 0, < 0, |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
> 0, 0, |
|
|
then |
0 = ; |
2) |
if |
< 0, |
< 0, > 0, > 0, then |
10 = min , .
5. Along the solution of the system y = A1 ( ) y B1 (
y |
2 |
= y |
, y |
= y |
( )y |
[ 1 ( )]y |
|
|
( (t)), (t) |
|
3 |
3 |
1 |
2 |
3 |
|
|
|
the following identities are true:
), = S1 y (or
= y (t) y |
(t) |
|
1 |
2 |
|
y1
= y2 ,
y3 (t))
where
(
(t
(t)) = (t) y (t) ( ) y |
(t) |
|||
|
|
1 |
2 |
|
) = y (t) y |
(t) y |
(t), = y |
||
1 |
2 |
3 |
|
2 |
, = , = . |
|
|||
|
|
|
Notice that |
[ 1 ( )]y |
(t), |
t I, |
|
|
3 |
|
|
(t) y |
(t) (t), |
t I, |
|
3 |
|
|
|
( (t)) y |
y |
(1 ) y . |
1 |
2 |
3 |
6. Improper integrals:
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||||
I |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(t)]dt |
|
|
|
|
= c1, |
|
|< , |
| c1 |< , |
||||||||||||||||||
|
|
( ( )) (t)dt = |
|
[ |
2 |
(t) ( ) y |
2 |
l |
|
| l |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
0 I |
|
= |
[ ( (t)) |
(t) |
1 |
|
( (t))]dt = |
[ |
|
y |
2 |
(t) |
( |
) y |
2 |
(t) |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
||||
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
) y |
2 |
(t)]dt |
1 |
[ |
2 |
(t) |
2 |
|
y |
2 |
(t) ( |
2 |
|
2 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
) y |
2 |
(t) (1 2 |
2 |
|
2 |
2 ) y |
2 |
(t)]dt l |
, |
| l |
|
|
|< , |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
(1.106)
(1.107)
0 I |
|
|
|
|
|
y |
y ] |
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
y |
|
y |
|
]dt l , | l |
|< , |
||||||||||||||||||
|
= [ |
|
|
dt = [ |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
3 |
0 |
|
1 |
1 |
|
|
3 3 |
|
|
|
|
0 |
|
|
1 |
|
1 |
|
|
2 |
|
2 |
3 |
3 |
|
3 |
3 |
||||||||||
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1.108) |
where |
|
= 2 |
, = 2 |
, |
= 2 |
2 |
3 |
, |
= 2 |
2 |
0 |
|
2 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
0 |
0 |
|
1 |
|
1 |
2 |
2 |
|
1 |
|
|
|
3 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
7. Aizerman’s problem. Solution of Aizerman’s problem was obtained from |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
boundedness of |
the |
improper |
|
|
integral |
I1 |
along |
the |
|
solution of |
the |
|
system |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( ) y B ( (t)), (t) = S |
1 |
y. From (1.106) it follows that |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
y = A1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
[ 2 (t) ( ) y2 |
(t)]dt = c1 |
l , | c1 |
|
l |
| | c1 |
| | l |
|< , |
|
|
(1.109) |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
70