86
.pdfChapter IІI. Study of stability of solutions of dynamic systems with cylindrical phase space
Proof. As follows from the condition of the Theorem the following ratios are true (3.21), (3.22), (3.24), (3.25), (3.26), (3.27), (3.29), (3.30). The values
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0 |
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n 1 |
n 1 |
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1 |
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2 |
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1 |
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2 |
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[N1 yn 1 |
(t) ... |
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where R1 l1 |
l2 |
l3 l4 . |
Notice, |
that |
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I4 |
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condition 2) |
of |
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the |
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theorem |
the |
equality |
) (M |
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y |
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n 1 |
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| , | l |
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3 |
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1 |
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... | ,
we have the holds, where
I |
1 |
0, I |
2 |
0, I |
3 |
0, | R |
| . |
Then |
I |
3 |
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I |
1 |
I |
2 |
I |
3 |
I |
4 |
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. Consequently |
|
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1 |
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( (t))] |
2 |
dt l |
I |
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1 |
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1 |
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0 |
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where |
| l |
| , |
the |
function |
f (t) h (t) h (t) h ( (t)), |
|
|
t I is uniformly |
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3 |
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0 |
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1 |
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2 |
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|
continuous. From here it follows that |
|
lim |
|
f (t) 0 |
, i.e. an equality (3.43) holds. |
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Let |
the |
(t), |
t I be |
a solution |
of the differential equation (3.44). Then |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
(t) (t) |
when |
|
t . By |
the |
|
hypothesis of |
the |
theorem, |
the solution |
of the |
||||||||||||||||||||||||||||||
equation (3.44) is globally asymptotically stable. Consequently, |
(t) when |
t , |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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where |
( ) 0 |
. Then |
(t) |
|
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, when |
t , |
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( ) ( |
) 0 . Consider an |
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|
* |
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|
autonomous |
system |
|
Ax B ( (t)) |
, where |
( (t)) |
0 |
when |
t |
|
. As |
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x |
|
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matrix |
|
А |
is |
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Hurwitz |
matrix, |
|
then |
|
x(t) x 0 |
when |
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|
t . So, the pair |
||||||||||||||||||||||||||
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* |
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(x |
, |
) . It means that the solution of the system (3.2), (3.3) is globally asympto- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
* |
* |
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tically stable. The theorem is proved.
Now consider the case, when
( )d 0.
Theorem 12. Let the following conditions be satisfied:
1) matrix |
А |
is a Hurwitz matrix, ( ) 0 ; |
||||
|
||||||
2) there exists a vector |
* |
R |
n |
such that |
||
|
|
B 0, AB 0,..., An 2B 0, An 1B 0;
3)rank P n;
4)( )d 0;
181
Lectures on the stability of the solution of an equation with differential inclusions
5) conditions of theorems 7,4 are satisfied, and let besides:
P |
0, |
i 1,n 1, |
0 |
|
i |
i |
|
|
Then the stationary set |
|
of the system (3.2), |
|||||||
stable. |
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Proof. From inequalities (3.24), (3.25) when |
0 |
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I |
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[ y |
|
(t) y |
|
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|
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2 |
2 |
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2 |
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1 |
n 1 |
2 1 |
|
n 1 |
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|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
From (3.32), (3.33) it follows that
0.
(3.3) is globally asymptotically
0 |
we have |
|
||
y |
2 |
(t)]dt l |
0. |
|
n |
||||
|
2 |
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I |
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[P y |
2 |
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(t) |
P y |
2 |
(t) |
... P |
y |
2 |
(t)]dt l |
. |
|
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5 |
n |
1 |
|
|
n |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
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1 |
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2 1 |
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n 1 |
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5 |
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|||||||||||
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0 |
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Then |
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[( P ) y |
2 |
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(t) ... (P |
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) y |
2 |
(t)]dt l |
l |
, | l |
|
| , |
| l |
| . |
|||||||||||||||||||||||
n 1 |
1 |
|
1 |
n |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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|
1 |
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n |
n |
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2 |
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5 |
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2 |
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5 |
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||||||||||||||
0 |
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|
Further, applying Lemma |
6, |
we |
|
get |
|
lim y (t) 0, |
|
i 1,n 1 . The |
theorem is |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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t |
i |
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proved. |
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Theorem 13. Let the conditions 1) – 4) |
of the Theorem 12 be satisfied, and let |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
besides: |
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|
1) conditions of Theorems 3,4,7 be satisfied; |
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|||||||||||||||||||||||||||||||
2) M |
0 |
0, P M |
i |
0, |
i 1,n 1. |
|
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|||||||||||||||||||||||
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|
0 |
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|
i |
|
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|
|
i |
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||
Then the stationary set |
|
|
|
of the system (3.2), (3.3) is globally asymptotically |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
stable. |
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|
Proof. As |
|
in |
|
the |
proof |
of |
|
Theorem |
10, |
the |
following |
|
inequalities are true |
|||||||||||||||||||||||||||||
I1 0, |
I2 |
0 and the value |
I |
5 |
. Then, |
I1 |
I2 I |
5 |
. From here it follows that |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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|
|
) y2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
) y2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
) y2 (t)]dt . |
||||||||||
[( M |
0 |
|
(t) (P M |
1 |
|
(t) ... (P |
|
|
M |
n 1 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
0 |
|
|
n 2 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
n 1 |
n |
|
||||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
Further, applying Lemma 7, we get lim |
|
|
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The Theorem is pro- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
y (t) 0, |
i 1,n 2. |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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|
|
|
|
t |
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
ved. |
|
|
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|
|
Theorem 14. Let the conditions 1) – 4) |
of Theorem 12 be satisfied, and let |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
besides: |
|
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|
1) conditions of the Theorems 3,4,8 be satisfied; |
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||
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|
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||||||||||||||||||||||||||
2) L0 M0 0 0, Li |
|
Mi |
i Ni , i 1,n 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
182
Chapter IІI. Study of stability of solutions of dynamic systems with cylindrical phase space
|
Then the stationary set |
of the system (3.2), (3.3) is globally asymptotically |
|||||||||||||||||||
stable. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
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|
||
|
Proof. As I |
1 |
I |
2 |
I |
6 |
, then |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
||||
|
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|
[( L M |
|
) y |
2 |
(t) |
(L M |
|
) y |
2 |
(t) ... (L |
M |
|
|
) y |
2 |
(t)]dt . |
|||||
0 |
n 2 |
1 |
n 1 |
n 1 |
n |
||||||||||||||||
0 |
0 |
|
|
|
|
1 |
|
1 |
n 1 |
|
n 1 |
|
|
||||||||
0 |
|
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Then the statement of the theorem follows from Lemma 7. The theorem is proved.
Theorem 15. Let the conditions 1) – 4) of Theorem 12 be satisfied, and let besi-
des:
1) conditions of the Theorems 3,4,5,7 be satisfied;
2) |
M |
Then
0
H |
0 |
0, M |
i |
H |
i |
P, i 1,n 1. |
|
|
0 |
|
i |
i |
|||
|
|
h (t) h (t) h ( (t)) 0 |
|||||
|
|
0 |
|
|
1 |
|
2 |
when
t .
If in addition the solution of the system of the second order
|
|
|
t I |
|
|
h h h ( ) 0, |
|
|
|||
0 |
1 |
2 |
|
|
|
is globally asymptotically stable, then a stationary set |
|
of the system (3.2), (3.3) is |
globally asymptotically stable.
Proof. The proof of the Theorem is similar to the proof of Theorem 11. It is easy
to verify that
R |
l |
l |
l |
2 |
1 |
2 |
3 |
the
l5
equality , where
I1 I2 I3 I5
I |
5 |
R |
, I |
1 |
|
2 |
|
R2
0,
I |
2 |
|
|
|
holds, where I1 0, I2 |
0, I3 |
0, |
|
0, I3 0 . Then, |
I3 I |
5 R2 |
. |
Further, by repeating the proof of Theorem 11, we get a statement of the theorem. The theorem is proved.
Theorem 13. Let the conditions 1) – 4) of Theorem 12 be satisfied, and let besides:
1) conditions of the Theorems 3,4,5,8 be satisfied;
2) |
M |
Then
0
H |
0 |
0, |
M |
H |
L , i 1,n 1. |
|
|
0 |
i |
i |
i |
i |
h0 (t) h1 (t) h2 ( (t)) 0 when
t .
If in addition the solution of the system of the second order
h0 h1 h2 ( ) 0, t I
is globally asymptotically stable, then a stationary set of the system (3.2), (3.3) is globally asymptotically stable.
The proof of the Theorem follows from equality I1 I2 I3 I6 R3 , R3 l1 l2 l3 l6 , where I1 0, I2 0, I3 0, I6 R3 .
183
Lectures on the stability of the solution of an equation with differential inclusions
Lecture 29.
Problem of phase synchronization
Equation of motion of phase adjustment systems with proportionally integrated filter in an autonomous case has the form[19]
|
|
x |
1 |
x ( 1) ( ), x T ( ), |
t I [0, |
), |
|
|||||||
|
|
T |
|
|||||||||||
|
|
|
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|
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( ) |
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1 |
1 |
1 |
) / 1 |
|
d ( ) |
1, |
( ) ( ), |
1 |
}. |
|
0 |
{ ( ) C |
(R |
, R |
d |
R |
|||||||||
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||
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(3.45)
(3.46)
For this example
n 1, |
m 1, |
x y . |
|
|
1 |
A |
1 |
, |
B 1, C 1, |
|
T |
||||
|
|
|
R T
, where
T 0, (0,1),
1-case. For definiteness, we choose |
|
the |
|
function |
|
|
|
( ) sin . In this |
case |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
1 |
B T |
0 |
. Stationary set |
|
|
{( x |
|
, |
|
) R |
2 |
|
/ |
|
|
x |
|
|
0, |
|
|
k , k 1,2,...} |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 , R CA |
|
|
* |
|
|
|
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|
* |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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* |
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||||
is a countable set. As d / d cos , d 2 / d 2 |
|
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sin , |
|
| d 2 / d 2 |
| 1, |
|
1, |
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2 |
1, |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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1 |
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matrix A |
1 |
0 |
is a Hurwitz matrix, |
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y1 x. |
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||||
As follows from Theorem 2, the identities hold |
|
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1 |
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y ], |
|
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2 |
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T |
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1 |
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1 |
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1 |
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(t) |
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1 |
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[ y |
|
|
|
1 |
y |
|
], |
(t) |
|
T |
|
y |
|
|
|
|
1 |
|
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y |
, |
|
|
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3 |
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2 |
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|
3 |
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1 |
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T |
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|
|
|
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1 |
|
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1 |
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2 |
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y |
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y |
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d ( (t)) |
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2 |
2 |
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Improper integrals: а) we calculate |
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2 |
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1 |
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where M |
|
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, M |
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|
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M |
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1 |
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, |
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|||||||||||||||
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|
1)2 |
|
|
T 2 ( 1)2 |
|
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1)2 |
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1 |
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d |
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|
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* |
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l |
|
|
|
[ (t)F (t)]dt (t)F (t) | |
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(t) ( y (t), y |
2 |
(t), y |
3 |
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|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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1 |
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1 |
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1 |
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0 |
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1 |
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0 |
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184
Chapter IІI. Study of stability of solutions of dynamic systems with cylindrical phase space
* (t)F (t) |
1 |
|
y2 |
|
T |
|
|
|
|
|
|||
T ( 1)2 |
|
|
||||
1 |
2 |
|
( 1) |
|||
As follows from Lemma 5, the function |
( |
|||||
continuously differentiable, |
moreover |
| (t) | |
c, |
2
t
y2 |
, | l | |
1 |
1 |
), |
t I |
t I, 0 |
, 1 0.
is limited:
a , 0 c
| (t,
) |
due
a , and to the
|
|
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2 |
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1 |
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[ |
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y |
(t) |
|
y |
|
|
(t) |
|
y (t)] |
2 |
dt |
|
[ y |
2 |
(t) y |
2 |
(t) y |
2 |
(t)]dt l |
|
, |
||||||||||||||||||||||||||||
2 |
0 |
1 |
2 |
|
|
|
3 |
2 |
|
|
2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
3 |
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|
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2 1 |
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185
Lectures on the stability of the solution of an equation with differential inclusions
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(3.51)
From (3.51) it follows that 2 ( 1)2 ( 02 22 ) T 0 . Then from (3.50) it follows
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T 2 ( 1)2 |
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2 |
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2 |
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2 |
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2 |
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1) |
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5 |
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2( 1) |
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T ( 1) |
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1 |
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z(t) ( y1(t), y2 (t)), t I.
Below are the results of applying Theorem13:
I ,
186
Chapter IІI. Study of stability of solutions of dynamic systems with cylindrical phase space
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M0 0 0 : |
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0 |
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2 |
2 |
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4 |
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1 |
1 |
1 |
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( |
1) |
2 |
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3 |
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( 1) |
2 |
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( 1) |
2 |
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5 |
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2 |
T |
4 |
1) |
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2 |
2 |
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0, |
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1) |
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1 |
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P M |
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0 : |
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3 |
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4 |
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2 |
2 |
2 |
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T ( 1) |
2 |
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T |
2 |
( 1) |
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5 |
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1 |
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2 |
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( |
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1) |
2 |
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( 1) |
2 |
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2 |
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1 |
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From (3.52)-(3.54), we have
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( 1) |
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|
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T |
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T |
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(1 ) |
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T |
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2 |
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2 |
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2 |
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4 |
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2 |
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2 |
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2 |
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2 |
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2 |
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3 |
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1 |
T |
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0 |
|
1 |
0; |
|
T |
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1 |
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T |
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( 1) |
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0 |
3 |
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T |
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0. |
3 |
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|||||||||
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T |
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T |
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2 |
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2 |
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2 |
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2 |
2 |
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2 |
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2 |
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|||
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4 |
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4 |
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5 |
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1 |
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2 |
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3 |
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4 |
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5 |
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For limit values, we get:
(3.52)
(3.53)
(3.54)
|
|
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( 1) |
2 |
|
2 |
, | |
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| ( 1) |
2 |
T |
2 |
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2 |
T ( 1) |
2 |
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4 |
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T |
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, |
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0 |
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3 |
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0 |
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2 |
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T |
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5 |
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[1 T |
4 |
(1 )] |
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(1 ){ |
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2 |
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2 |
2 |
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T |
2 |
|
2 |
} |
T |
2 |
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. |
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4 |
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T |
2 |
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0 |
|
1 |
0 |
2 |
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2 |
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5 |
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2 |
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2 |
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2 |
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4 |
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0, 5 |
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Notice that |
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4 |
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5 |
, where |
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3 |
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3 |
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the given inequalities, it follows that |
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[1 T 4 (1 )] |
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2 |
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2 |
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2 |
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2 2 |
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2 (1 ){ |
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1 |
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2 |
T |
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2 |
} |
5 |
T |
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5 |
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. |
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T 2 |
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2 |
[ |
1 |
T (1 )2 (1 )] T (1 ) |
2 |
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1 |
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2 |
2 |
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1 |
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T (1 ) |
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T 3 |
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0 |
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T |
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1 |
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0 |
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2 |
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T |
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5 |
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In particular when 0 |
1 |
2 0 from (3.55), we get |
|
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. From
(3.55)
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| | = |
−0.5 |
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≤ |
2√ |
, , > 0. |
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||||
|
|
|
1 + |
|||||
+ √1 − 2 |
187
Lectures on the stability of the solution of an equation with differential inclusions
In work [19] for the systems same result was obtained.
In general, the values |
0 , 1, 2 |
(3.45), (3.46) based on the frequency method the
, 5 0 |
must be selected from the solution of the |
optimization problem.
|
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[1 T |
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(1 |
)] |
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2 |
(1 ){ |
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2 |
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2 |
2 |
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T |
2 |
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2 |
} |
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2 |
2 |
. |
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T |
2 |
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0 |
1 |
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0 |
2 |
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2 |
5 |
T |
5 |
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1 |
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1 |
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, |
, |
, |
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2 |
[ |
T (1 ) |
2 |
(1 )] T (1 |
) |
2 |
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2 |
2 |
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T (1 ) |
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0 |
1 |
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5 |
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T |
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From (3.55) when |
0 , we have |
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2 |
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( |
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1 |
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2 |
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2 |
2 |
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) |
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T |
2 |
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0 |
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1 |
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0 |
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2 |
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5 |
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. |
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1 T |
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4 |
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1 |
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2 |
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T |
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T |
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2 |
2 |
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2 |
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0 |
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2 |
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T |
3 |
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0 |
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|
2 |
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T |
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1 |
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T |
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|
5 |
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|||||||
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||||||||
|
From here when |
1 |
0, |
2 |
0 |
, we have |
|
|
|
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||||
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|||||||
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0.5 |
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2√ |
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1 |
2 |
|
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|||||||||||||
|
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|
2 |
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|||||||||||||||||
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| | = |
|
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≤ |
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0 |
5 |
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|
. |
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|||||||||||||||
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|
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1 + |
4 |
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|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
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|
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+ √1 − 2 |
|
|
2 |
|
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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0 |
( |
|
|
|
|
3 |
|
) + 5 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
The results of numerical calculations: when = 1 ; | | ≤ 0.8, = 0.6; when |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
= |
10 ; | | = 0.1, = 0.1 ; |
|
|
when = 0.5 ; | | = 0.95, = 0.8. |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
The same results are close to the results from [20], obtained by qualitative nume- |
rical methods. Thus, it shows the effectiveness of the proposed method in comparison with the known methods.
As an example, we consider equations of motion of the mathematical pendulum
(3.1). We have to find |
|
кр |
|
кр |
( ) |
. The equation (3.1) can be represented as |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x, |
x x ( ), |
|
|
|
(3.56) |
|||||||||||||
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
where ( ) sin , |
(0, 1) |
. By denoting |
|
x y1 , we get the identities |
|
|||||||||||||||||||
|
( ( )) y y |
2 |
, ( (t) y |
2 |
y |
, |
(t) y (t), t I, |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
1 |
|
||
where y1 y2 , |
y2 y3 . As a result of applying Theorem 3, we have |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
M |
0 |
|
0 : |
|
1 |
2 0; |
|
|
|
(3.57) |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
P M |
1 |
0 : |
|
|
2 |
|
4 |
2 |
2 |
2 |
0, |
(3.58) |
|||||||||||
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
0 |
|
|
188
Chapter IІI. Study of stability of solutions of dynamic systems with cylindrical phase space
P M |
|
0 : |
|
|
|
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|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
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|
2 |
|
|
|
|
2 |
2 |
2 |
2 |
|
1 |
|
3 |
|
4 |
|
5 |
|
2 |
From (3.57)-(3.59) it follows that
0.
(3.59)
|
−0.5 |
|
|
|
2√( |
2 2 |
− 2 |
+ 2 |
) |
|
|||||||
| | = |
|
|
|
≤ |
|
|
|
|
|
0 |
|
1 |
|
0 |
2 |
5 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
+ √1 − 2 |
1 |
3 |
2 |
+ |
1 |
5 + |
1 |
2 |
|
2 |
+ 2 0 2 |
|
||||
|
|
|
|
|
( |
+ |
) 0 |
|
|
2 |
− 1 |
|
The values |
|
0 |
, |
, |
2 |
, |
5 |
|
are determined |
from |
the solution |
of |
|
the optimization |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
problem |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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2 |
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( |
|
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2 |
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) |
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|
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|||||||
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|
|
|
|
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2 |
2 |
2 |
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||||||||||||||||
|
max |
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0 |
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1 |
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0 |
|
2 |
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5 |
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|
, |
|
|
0. |
|||
|
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|
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|
1 |
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1 |
|
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|
|
1 |
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|
|
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|
|
|
|
|
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|
|
5 |
||||||||||
|
, |
, |
, |
|
|
|
|
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|
|
|
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|
|
|
|
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|||||||||
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|
( |
|
3 |
) |
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
2 |
|
|
|
|
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||||||||||||||||||||||||
0 |
1 |
|
2 |
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
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|||||||||
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|
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|
|
|
|
|
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|
|
|
|
0 |
|
|
|
5 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
0 |
2 |
|
|
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||||
|
|
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|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|||||||
In particular, when 1 0, |
|
2 |
|
0 , we have |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
| |
| |
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
, |
|
|
0. |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
| |
4 |
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
) |
|
|
|
5 |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| |
|
|
|
|
(2 2 |
2 |
4 |
2 |
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
The results of numerical calculations: = 0.1 ; | | = 0.09, кр
| | = 0.775, кр = 0.58; = 10 ; | | = 0.987, кр = 0.94.
This results are in agreement with the known estimates of values
= 0.06 ; = 1 ;
|
кр |
( ). |
|
|
Lecture 30.
Study of the synchronization theory of complex dynamic systems
We consider the problems of global asymptotic stability of dynamic systems with cylindrical phase space, arising in synchronization tasks of various control systems. New effective criteria of global asymptotic stability of countable equilibrium state of the system based on the assessment of improper integrals along the solution of the system were proposed.
Problem statement. Consider equations of motion of dynamic systems of the following kind
d |
, |
d |
g( , ) z*Cf ( ) ( ), |
t I [0, ), |
|
|
|
(3.60) |
|||
dt |
dt |
|
|||
|
|
|
z Az Bf ( ) , (0) 0 , (0) |
0 , z(0) z0 , |
|
(3.61) |
where |
A, B, C are constant matrices of orders |
n n, n 1, |
n 1, |
respectively, |
f ( ), |
g( , ), ( ) – are continuously differentiable functions, satisfying conditions |
189
Lectures on the stability of the solution of an equation with differential inclusions
f ( ) f ( ), ( ) (
|
|
g( , ) |
|
, |
, |
||
|
|||||||
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
is a period, derivatives |
f |
||||||
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
), |
g( , ) g( , ), , R1, |
||||||||||
|
|
1 |
|
|
1 |
, |
0, |
g(0, |
) 0, |
||
R |
, R |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
, |
g |
, |
g |
, |
0 , R |
1 |
are limited. |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(3.62)
(3.63)
We assume that the right parts of the system (3.60), (3.61) satisfy the local conditions of the theorem of existence of a solution and the solutions are extendable.
In particular, equations (3.60)–(3.63) describing the processes in the theory of synchronization, have numerous applications.
The system equilibrium states (3.60), (3.61) form a countable set
{ 0, |
* |
, z 0 / ( |
* |
) 0}. |
|
||
* |
|
* |
|
|
|
||
We say that the system (3.60), (3.61) is globally asymptotically stable, if when |
|||||||
t vector-functions ( (t), (t), z(t)) |
tend to the same point from the set |
. |
|||||
Problem 1. Find conditions of global asymptotic stability of the system (3.60), |
|||||||
(3.61) for any nonlinearities |
f ( ), ( ), g( , ) , |
satisfying conditions |
(3.62), |
(3.63), when
|
. |
( )d 0, , R |
|
1 |
|
|
|
(3.64)
Problem 2. Find conditions of global asymptotic stability of the system (3.60), (3.61) for any nonlinearities f ( ), ( ), g( , ) , satisfying conditions (3.62),
(3.63), when
|
. |
( )d , 0, , R |
|
1 |
|
|
|
(3.65)
The class of ordinary differential equations (3.60), (3.61) describes dynamics of synchronous machines [4], and dynamics of control of Boissy-Sard [5]. Frequency conditions of global asymptotic stability of the system (3.60), (3.61) and condition of existence of limit cycles, circular solutions in such systems are studied in [19].
A review of the scientific literature on the research of dynamics of phase systems is given in [14]. This work is a continuation of research from [13–19, 21, 22].
|
Note that checking of frequency criteria must be made for all values of parameter |
|
, |
varying in limits from to |
, which is complicated. Therefore the develop- |
|
ment of new methods of study of global asymptotic stability such systems is relevant. Nonsingular transformation. Consider equations of motion (3.61):
z Az Bf ( ) , |
z(0) z0 , |
t I [0, ). |
(3.66) |
The characteristic polynomial of the matrix A has the form
190