Integralnye_uravnenia
.pdfТогда уравнение (33) перепишется в виде
y(x) = |
u(x) |
+ 1: |
(35) |
|
|
|
|||
|
ch x |
|
||
Продифференцируем (34) и подставим вместо y(x) выражение (35), получим |
||||
u0(x) = ch xy(x) = ch x µ ch x + 1¶ |
= u(x) + ch x; |
|||
|
|
u(x) |
|
или в стандартной форме u0 ¡ u = ch x:
Решением этого уравнения с учетом начального условия u(0) = 0 будет функция
u(x) = 12 (xex + sh x) :
Подставляя ее в (35), получим решение интегрального уравнения:
y(x) = 1 + |
1 xex + sh x |
: |
|||
|
|
|
|||
2 ch x |
|||||
|
Решить уравнения Вольтерра с вырожденным ядром.
70. y(x) = |
Z |
x2 y(t) dt + x2: |
71. y(x) = 2 Z |
2t + 1 dt + 4x: |
|
x |
2t |
x |
y(t) |
1x |
|
|
|
|
72. y(x) = Z |
sin x |
|||
|
|
y(t) dt + 1: |
||
cos t |
||||
0x |
x2 |
|||
74. y(x) = Z |
||||
|
y(t) dt + x3 cos x |
|||
t3 |
Zx
73. y(x) =
1
0
x cos xy(t) dt + cos xex: t cos t
Zx
75. y(x) =
¼
Zx
76. y(x)+
0
Zx
78. y(x)=
cos xe |
¡ y(t) dt = e |
¡ |
|
: |
|
|
e x |
sin xy(t) dt ¡ x2 |
: |
|||||||||
|
|
y(x)=Z¼ |
||||||||||||||||
|
x |
|
t |
|
x |
|
sin x |
|
77. |
|
|
cos t |
|
tg x |
|
|||
cos x sin t |
|
|
|
|
|
Z |
2 |
|
|
1 ¡ x2 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
1 ¡ x4 |
|
|
||||||||||
|
y(t) |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
1 ¡ t2 |
|
|
earctg x |
|
|
||
|
|
|
|
|
dt + 1: |
79. y(x) = |
|
y(t) dt + |
|
: |
|
¼=4 |
0 |
80. y(x) = 2 Z0 x |
1 ¡ x4 y(t) dt + |
|
¡1 + x2 : |
||||||||||
|
|
x |
1 + t2 |
|
|
|
(1 |
|
3x)(1 + x) |
||||
81. y(x) = |
|
Z r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
y(t) dt + |
|
1 ¡ x2: |
||||||
2 |
1 |
¡ |
t2 |
||||||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
p |
|||||
1 |
|
|
1 + x |
|
|
|
|
Уравнения Вольтерра с разностным ядром
Если ядро интегрального уравнения (3)или (4) зависит только от разности своих аргументов: K(x; t) = K(x ¡ t), то такое уравнение может быть решено
операторным методом. Согласно этому методу, каждой функции f(x) (которая
называется оригиналом) взаимно однозначно ставится в соответствие функция F(p) (которая называется изображением) по следующему правилу:
Z1
F(p) = f(x)e¡px dx:
0
Это правило называется преобразованием Лапласа. Ключевым свойством преобразования Лапласа, которое используется для решения интегральных уравнений, является теорема о свертке, согласно которой, если F(p) è G(p) изображения
функций f(x) è g(x), то произведению изображений F(p)G(p)
f(x) è g(x):
Zx
f(x) ¤ g(x) = f(x ¡ t)g(t) dt = f(t)g(x ¡
0
Пусть Y(p); F(p) è K(p) изображения функций y(x); f(x) è K(x) соответ-
ственно. Пользуясь линейностью преобразования Лапласа и теоремой о свертке, преобразуем исходное интегральное уравнение
Zx
y(x) = K(x ¡ t) y(t) dt + f(x) |
(36) |
0
(которое также называют уравнением типа свертки) в алгебраическое уравнение относительно изображений:
Y(p) = K(p)Y(p) + F(p);
откуда находим
Y(p) = 1 ¡ K(p):
По полученному изображению Y(p) восстанавливаем искомую функцию y(x).
Для осуществления перехода от функций-оригиналов к их изображениям и обратно удобно использовать таблицу соответствия:
|
f(x) |
1 |
|
|
|
|
|
xn |
|
|
eax |
|
|
|
xneax |
|
|
sh ax |
|
||||||||
|
F(p) |
1 |
|
|
|
|
|
n! |
1 |
|
|
|
|
n! |
|
|
a |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
pn+1 |
|
p ¡ a |
|
|
|
(p ¡ a)n+1 |
|
|
p2 ¡ a2 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
f(x) |
|
ch ax |
|
|
|
sin ax |
|
cos ax |
|
|
|
eax sin bx |
|
eax cos bx |
|
|||||||||||
|
F(p) |
|
|
p |
|
|
|
|
a |
|
|
|
p |
|
|
|
a |
|
|
|
p ¡ a |
|
|||||
|
p2 ¡ a2 |
|
p2 + a2 |
p2 + a2 |
|
(p ¡ a)2 + b2 |
(p ¡ a)2 + b2 |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
Более полный набор функций можно найти, например в [2, 5]. |
|
|
|||||||||||||||||||||||||
Пример 10. Решить интегральное уравнение |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Zx |
ch (x ¡ t)y(t) dt |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
y(x) = sh x ¡ 2 |
(37) |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение. В этом уравнении f(x) = sh x, à K(x) = ¡2 ch x. Изображениями этих функций являются F(p) = 1=(p2 ¡ 1) è K(p) = ¡2p=(p2 ¡ 1) соответствен-
но. Используя теорему о свертке, преобразуем уравнение (37). В пространстве изображений оно примет вид:
|
1 |
|
2p |
|
Y(p) = |
|
¡ |
|
Y(p); |
p2 ¡ 1 |
p2 ¡ 1 |
откуда находим |
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
Y(p) = |
|
|
= |
: |
(38) |
|||
|
|
|
|
|
||||
p |
2 |
¡ 2p ¡ 1 |
2 |
|||||
|
|
|
(p ¡ 1) ¡ 2 |
|
|
По таблице находим, что изображению (38) соответствует функция-оригинал
e¡x y(x) = p2 sh
которая является решением уравнения (37).
p
2x;
С помощью преобразования Лапласа решить интегральные уравнения типа свертки.
82. y(x)= 16 Zx(x ¡ t)3y(t) dt + x:
0
Zx
84. cos(x ¡ t)y(t)dt = sin x¡2x:
Zx
83. y(x)= ex¡ty(t) dt + e2x ¡ 2:
0
Zx
85.ch (x ¡ t)y(t) dt = 3x2:
0 |
0 |
Zx |
Zx |
86.
88.
y(t) dt = x3ex:
0
Zx
y(x)= sin(x ¡ t)y(t) dt + x2:
0 Zx
87. y(t) dt = e2x sin x:
0
Zx
89. y(x)=2 cos(x ¡ t)y(t) dt + ex:
0
90. y(x) = 3 sin 4(x ¡ t)y(t) dt + sin x:
0
Zx
91. y(x) = 8 sh (x ¡ t)y(t) dt +
Zx0
92. y(x)=5 sin(x ¡ t)y(t) dt + 4:
0
Zx
ch x:
Zx
93. y(x) = ex¡ty(t) dt + sh x:
0
94. y(x) = ch x ¡ 5 sh (x ¡ t)y(t) dt + 4:
0
Zx
95. y(x) = 2 cos 3(x ¡ t)y(t) dt + cos 3x:
0
Zx Zx
96. y(x) = 2 y(t) dt ¡ ex¡ty(t) dt + x:
0 0
Zx Zx
97. y(x) = sh (x ¡ t)y(t) dt + 2 sin(x ¡ t)y(t) dt + ch x:
0 0
Интегро-дифференциальные уравнения с разностным ядром
Интегро-дифференциальным называется уравнение, которое содержит неизвестную функцию как под знаком интеграла, так и под знаком производной, при этом производные могут входить в подынтегральное выражение. Интегродифференциальные уравнения с разностным ядром Вольтерровского типа могут быть решены операторным методом. Схема применения преобразований Лапласа остается такой же, как и для интегральных уравнений. При этом, если функция y(x) имеет изображение Y(p), то изображения для ее производных вычисляются
по правилу
y0(x) =¢ pY(p) ¡ y(0);
˙
y00(x) =¢ p2Y(p) ¡ py(0) ¡ y0(0);
¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢˙¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢
y(n)(x) =¢ pnY(p) ¡ pn¡1y(0) ¡ pn¡2y0(0) ¡ : : : ¡ py(n¡2)(0) ¡ y(n¡1)(0):
˙
Таким образом, для получения однозначного решения интегро-дифференциаль- ные уравнения, в отличие от интегральных, должны быть дополнены начальными условиями.
Пример 11. Решить интегро-дифференциальное уравнение
y0(x) = |
Z0x(x ¡ t)y(t) dt ¡ 1; |
|
y(0) = 1 |
(39) |
||||
Решение. В пространстве изображений уравнение (39) имеет вид |
|
|||||||
|
1 |
|
1 |
|
|
|||
pY(p) ¡ 1 = |
|
Y(p) ¡ |
|
: |
|
|||
p2 |
p |
|
||||||
Найдем отсюда |
Y(p) = |
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
: |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
||||
|
p2 + p + 1 |
|
|
|
Преобразуем полученное выражение
Y(p) = |
p + 1=2 |
¡ |
1=2 |
; |
|
|
|
|
|||
(p + 1=2)2 + 3=4 |
(p + 1=2)2 + 3=4 |
после чего с помощью таблицы на стр. 23 восстанавливаем решение уравнения: |
|||||||||
y(x) = e¡x=2 |
Ãcos 23x ¡ p3 sin |
2 x! |
|||||||
|
|
p |
|
1 |
|
p |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решить интегро-дифференциальные уравнения с помощью преобразования Лапласа.
Zx
98. y0(x) = cos(x ¡ t) y(t) dt + x; |
y(0) = 1: |
|
0 |
|
|
99. y0(x) + Z0x e¡2(x¡t)y(t) dt = 0; |
|
y(0) = 1: |
100. y00(x) + Z0x e2(x¡t)y0(t) dt = e2x; |
y(0) = 0; y0(0) = 1: |
|
101. y0(x) ¡ y(x) +Z0x(x ¡ t)y0(t) dt ¡Z0x y(t) dt = x; y(0) = ¡1: |
||
102. y00(x) + 2y0(x) + y(x) = |
Zx |
|
Zx |
|
=(x ¡ t)y00(t) dt + 2 sin(x ¡ t)y0(t) dt + cos x;
0 |
0 |
|
y(x) = y0(x) = 0: |
|
|
103. y00(x) + y(x) +Z0x |
sh (x ¡ t)y(t) dt +Z0x |
ch (x ¡ t)y0(t) dt = ch x; |
y(x) = y0(x) = 0: |
|
Ответы
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
x |
: 4. y(x) = |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
1. y x) = 2ex: 2. y x) = ex(1 + 2x): 3. y(x) = 1 |
¡ |
x2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
(¼x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2e |
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p4 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3=2 |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¡ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
px: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
sin x + |
|
|
|
|
|
|
: |
|
|
|
|
|
|
5. y(x) = |
|
|
|
|
|
|
|
|
+ ln x: |
|
6. y(x) = x + |
|
|
|
|
7. y(x) = x |
|
|
+ |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
4 |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
5 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
x1=2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
8. y(x) = cos x ¡ |
|
|
|
|
|
|
9. y(x) = ¡ex: |
|
|
|
10. y(x) = ex(1 ¡ x): |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
sin x: |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1 |
¡ |
ln 2 |
|
|
|
¼ |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¼x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2e |
|
|
||||||
11. y x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 + 2x: |
|
|
|
12. y(x) = sin x |
|
|
|
|
|
|
|
: |
|
|
|
13. y(x) = ln x |
|
|
|
: |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
( ) = p1 ¡ |
|
|
|
|
|
|
2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¡ |
¼3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¡ x |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
14. y(x) |
|
|
= sin ¼x + |
|
|
|
|
: |
|
|
|
15. y(x) |
= |
cos x ¡ |
|
|
|
tg x: |
|
|
|
|
16. Нет решения. 17. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
¼ |
|
|
2 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
18. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ln |
x ¡ 2x: |
19. |
|
y(x) = C cos x + 2x ¡ 1 ¡ |
2C |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
y(x) = 5x + 4 |
x: |
|
|
y(x) = 3 |
: |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
¼ |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
20. y(x) = x ¡ 2 cos x: |
|
|
|
21. y(x) = 2 ¡ 3 sin x: |
|
|
22. y(x) = ¡3x: |
|
|
|
|
|
23. Íåò |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
решения. 24. y(x) = 4x(2 ¡ x): |
|
|
25. y(x) = 3¼ cos 2x ¡ ¼C cos 3x + 4C + 4: |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
26. y(x) = |
|
|
|
|
|
(cos 2¼x + sin 2¼x) + 5x ¡ 4: |
27. ¸ = |
|
|
; y(x) = C(1 + 2x): |
|
|
28. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2¼ |
7 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
3 |
; y(x) = C(1 ¡ x2): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
¸ = |
|
|
|
|
29. ¸ = |
|
; y(x) = Cx: |
|
|
30. ¸ = |
|
|
|
; y(x) = C cos x: |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
¼ |
|
|
¼ |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
31. ¸1;2 = § |
|
|
; y1;2(x) = C(sin x §cos x): |
32. ¸ = |
|
|
; y(x) = C1 cos x + C2 sin x: |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
¼ |
¼ |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
33. ¸1 = ¡¼; y1(x) = |
|
¼2C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
(cos 2¼x¡sin ¼x)¡2¼Cx; ¸2 = ¼; y2(x) = ¼C(2 cos 2¼x+ |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
sin ¼x): |
|
|
|
|
34. ¸1 = ¡1; y1(x) = C; ¸2;3 = 2; y2(x) = C1 cos 2¼x + C2 sin 2¼x: |
|
|
35. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
36. ¸ 6= 2; y(x) = |
|||||||||||||||||||||||||||||
¸ 6= |
|
|
|
; y(x) = 1 ¡ |
|
x; ¸ = |
|
; y(x) = 1 ¡ |
|
x + C(1 + 2x): |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
7 |
2 |
7 |
2 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
sin 2¼x; |
|
¸ = 2; y(x) = sin 2¼x + Cx: |
|
37. 8¸ 2 R; y(x) = cos x + |
|
|
¼¸ |
sin x: |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2¼x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
38. ¸ 6= ¡2¼; y(x) = |
|
|
|
; ¸ = ¡2¼; нет решений. |
|
|
|
|
39. ¸ 6= |
|
|
; |
|
|
|
; y(x) = |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2¼ + ¸ |
|
|
|
|
2 |
2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
sin ¼x + |
|
|
|
|
2¸x=¼ |
; |
|
¸ = |
|
1 |
; y(x) = sin ¼x + |
|
3 |
|
x + C; |
¸ = |
1 |
; нет решений. |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
1 ¡ 2¸=3 |
|
|
2 |
2¼ |
2 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4¸ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
40. ¸ 6= § |
|
|
; y(x) = 1 ¡ |
|
|
sin x; |
¸ = |
|
|
|
; y(x) = 1 ¡ sin x + C cos x; |
|
¸ = |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
¼ |
2 + ¸¼ |
¼ |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
; нет решений. |
|
|
|
|
|
|
41. y(x) = 2 (ex ¡ x ¡ 1) : |
|
|
|
42. y(x) = ex ¡ x ¡ 1: |
|
|
43. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
¼ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|||||
y(x) = sh x: |
|
|
|
44. y(x) = cos x: |
|
|
45. y(x) = |
|
|
|
|
|
|
|
: |
|
|
46. y(x) = ex ¡ 1: |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
¡ |
ln 2 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
47. y(x) = |
|
: |
|
|
|
48. y(x) = |
1 ¡ ln p |
|
: |
|
49. y(x) = ex µ1 + x + |
|
|
¶: |
|
|
50. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4 ¡ |
¼ |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
y(x) = x ch x+ sh x: |
|
|
|
|
|
51. y(x) = 4 cos 2x¡cos x: |
|
|
53. y(x) = 4 sh 2x: |
|
|
52. y(x) = |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
cos 2 ln x + sin 2 ln x ¡ 1: |
|
|
|
54. y(x) = x3 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
55. y(x) = x2( ln x + 1): |
|
56. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
¡ x ¡ |
|
: |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
y(x) = 2ex(x ¡ 1) + x + 2: |
|
|
|
57. y(x) = 10e5x |
|
|
¡ e3x(14 cos 4x + 13 sin 4x): |
|
|
58. |
y(x) = |
|
|
ch x + xex: |
|
59. y(x) = 2 sh x: |
60. y(x) = 3e¡x + 2e4x: |
|
61. y(x) = |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 cos x¡52cos 2x: 62. y(x) = e2x +6x¡5: |
|
63. y(x) = e3x(2 cos x¡sin x)+3: |
64. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
y(x) = |
3x |
+ 4x |
: Указание. Перед дифференцированием выполнить замену функ- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x + 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
65. y(x) = (x2 + 1)(1 ¡ arctg x): |
66. y(x) = x2 |
|
2e2x¡2 ¡ 1 : |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
öèè z = (x + 2)2y: |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Указание. Перед дифференцированием выполнить замену функции y¡ |
= zx: |
67. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
¢ |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
y(x) = e¡x + ln |
|
2 |
|
|
|
|
|
: Указание. Умножить уравнение на x + 1 и продиффе- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
1 + e¡x |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
ренцировать |
|
|
|
68. y(x) = 1 ¡ e |
|
|
|
|
|
: Указание. Умножить уравнение на ex + 1 è |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
x+1 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
: 70. y(x) = 2x2 ¡1: |
|||||||||||||||||||
продифференцировать |
|
|
|
|
|
|
|
69. y(x) = cos x ¡ |
|
|
|
sin x ¡ |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
cos x |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
71. y(x) |
= |
|
(4x + 2) ln (2x + 1) + 4x: |
|
72. y(x) = |
|
|
sin2 x + 1: |
|
73. y(x) = |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
(x ln x+1) cos xex: |
74. y(x) = x3(sin x+cos x): |
75. y(x) = 2 ln x¡1: |
76. y(x) = |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
(1 |
¡ |
x cos x)ex¡sin x: |
|
77. y(x) = |
1 |
|
|
|
tg x |
|
¡ |
|
2 |
: |
|
|
78. y(x) = |
p |
2 |
sin x ¡ 1 |
+ 1: |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
x2 |
|
¼ |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 + x + 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x ¡ |
|
1 ¡ 3x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos2 x |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
79. y(x) |
|
|
|
earctg x: |
|
80. y(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
81. y(x) |
|
p |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
= |
|
|
|
|
= |
|
|
: |
|
|
= |
1 + x: |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1 ¡ x4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 + x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
82. y(x) = |
|
|
(sin x + sh x): |
83. y(x) = xe2x + 1: |
|
|
84. y(x) = 1 ¡ x2: |
85. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
y(x) =46x¡x3: |
|
|
|
86. y(x)x = (2+x)x2ex: |
|
87. y(x) = e2x(cos x+2 sin x): |
88. y(x) = |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x2 |
+ |
|
x |
|
: |
|
|
89. y(x) = |
|
e |
|
|
(x2 + 4x + 2): |
|
90. y(x) = 5 sin x ¡ 2 sin x: |
91. y(x) = |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
12 |
|
|
|
|
2 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ch |
3 |
x: |
|
92. y x |
) = 5 |
ch |
2 |
x |
: |
93. y x |
) = |
1 |
|
|
ex |
¡ |
e¡2x |
: |
|
94. y x |
|
|
|
|
x: |
95. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
|
|
|
|
|
|
|
¡ 1 |
|
|
|
( |
|
3( |
|
|
|
|
|
) |
|
|
|
|
( ) = cos 2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ex |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
||||||||
y(x) = ex µcos 2p2x + |
|
|
|
|
sin 2p2x¶: |
|
96. y(x) = |
|
|
|
|
|
|
|
97. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
2p |
|
|
|
|
(cos x + sin x) ¡ |
|
: |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
y x |
|
|
|
|
1 |
|
|
ch p |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
: |
|
|
98. y x |
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
x4 |
: |
|
99. y x |
|
|
|
e¡x |
|
|
|
|
|
x |
: |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
3(4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
) = 1 + |
+ |
|
|
) = |
(1 + |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
( ) = |
|
|
|
|
|
|
|
3 ¡ 1) |
|
|
|
|
|
( |
|
|
|
|
|
|
24 |
|
|
|
|
|
|
( |
|
|
|
) |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
100. y(x) |
= |
|
|
ex ¡ 1: |
|
|
|
101. y(x) = ¡ex: |
|
|
|
102. y(x) |
|
|
= |
1 ¡ (1 + x)e¡x: |
103. |
y(x) = 1 ¡ cos x:
Список литературы
[1]А. Б. Васильева, Н. А. Тихонов. Интегральные уравнения. М.: изд. МГУ, 1989.
[2]М. А. Лаврентьев, Б. В. Шабат. Методы теории функций комплексного переменного. М.: Наука, 1987.
[3]В. А. Сочнева. Методы математической физики. Часть II. Казань, изд. КГУ, 1978.
[4]И. Г. Петровский. Лекции по теории интегральных уравнений. М.: изд. МГУ, 1984.
[5]Справочник по специальным функциям. Под ред. М. Абрамовица и И. Стиган. М.: Наука, 1979.
[6]Сборник задач по математике для втузов. Специальные курсы. Под ред. А. В. Ефимова. М.: Наука, 1984.
Содержание
Предисловие |
3 |
Основные понятия и определения |
3 |
Интегральные уравнения Фредгольма |
4 |
Метод последовательных приближений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
4 |
Метод итерированных ядер . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
6 |
Уравнения Фредгольма с вырожденным ядром . . . . . . . . . . . . . . . |
9 |
Собственные значения и собственные функции . . . . . . . . . . . . . . . |
11 |
Интегральные уравнения Вольтерра |
15 |
Метод последовательных приближений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
15 |
Решение интегрального уравнения путем сведения его к |
|
дифференциальному уравнению . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
17 |
Интегральные уравнения Вольтерра с вырожденным ядром . . . . . . . |
20 |
Интегральные уравнения Вольтерра с разностным ядром . . . . . . . . . |
22 |
Интегро-дифференциальные уравнения с разностным ядром . . . . . . . |
25 |
Ответы |
27 |
Список литературы |
29 |