Знакопеременные ряды

Альтернативными знакоположительным рядам являются знакопеременные ряды, поскольку исследование знакоотрицательных рядов сводится к знакоположительным рядам вынесением знака (-) за скобки.

Знакопеременные ряды бывают общего вида, когда часть членов ряда положительные, другая часть – отрицательные, и знакочередующиеся, когда знаки членов ряда чередуются, за положительным следует отрицательный член ряда, за отрицательным – положительный.

Определение. Знакопеременный ряд называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд из абсолютных величин его членов.

Это определение позволяет исследование знакопеременного ряда свести к исследованию знакоположительного ряда.

Не сходящийся абсолютно ряд может сходиться условно, имеется несколько признаков условной сходимости знакопеременных рядов, но они не входят в программу настоящего курса. Ряд, естественно, может расходиться, тогда предел его общего члена при должен быть не равен нулю.

Пример 1. . Это знакопеременный ряд общего вида, первые 9 его членов положительные, 10-й член равен нулю, следующие 9 членов - отрицательные, затем опять нуль, снова 9 положительных членов и т.д. Рассмотрим ряд из модулейи сравним его со сходящимся рядом. Поскольку, из первой теоремы сравнения знакоположительных рядов следует сходимость ряда, а, следовательно, абсолютная сходимость знакопеременного ряда.

Пример 2. . Рассмотрим ряд, он сходится, следовательно, знакочередующийся рядсходится абсолютно.

Знакочередующиеся ряды

Полнее исследованы знакочередующиеся ряды. Здесь не осталось невыясненных вопросов, благодаря теореме Лейбница.

Теорема Лейбница условной сходимости знакочередующегося ряда. Дан ряд , причем. Степень выбрана так, чтобы первый член ряда был положителен, хотя это необязательно.

Если и, рядсходится условно. Если, ряд расходится.

Доказательство.

1) Рассмотрим частичную сумму ряда, содержащую первых его членов, и представим ее в следующем виде

.

Из первого условия теоремы следует, что каждая скобка положительна, следовательно, . При увеличениина единицу к частичной сумме добавляется пара членов, то есть, причем выражение в скобках – положительно. Итак, последовательность четных частичных сумм ряда монотонно возрастает с ростом.

Представим в другом виде

.

Поскольку все скобки опять положительны, ясно, что , то есть последовательность четных частичных сумм не только возрастает с ростом, но и ограничена сверху первым членом ряда. В соответствии с известной теоремой, не раз использовавшейся ранее, эта последовательность имеет конечный предел. Однако этого обстоятельства недостаточно, чтобы утверждать, что ряд сходится. В самом деле, все четные частичные суммы рядаравны нулю, ряд не сходится, так как нечетные суммы ряда равны 1. Итак, необходимо рассмотреть нечетные суммы ряда. Очевидно,. Рассмотрим предел нечетных частичных сумм

,

поскольку , что следует из второго условия теоремы. Таким образом, последовательности четных и нечетных частичных сумм ряда имеют одинаковый предел, равный, тогда ряд сходится, а его сумма равна.

2) Если , то не выполняется необходимое условиесходимости любого ряда, следовательно, рядрасходится. Теорема доказана.

Итак, в отличие от знакоположительных рядов знакочередующиеся ряды могут сходиться абсолютно, условно и расходиться, причем абсолютно сходящийся ряд сходится и условно. Но не наоборот!

Отметим, что от порядка вычисления суммы условно сходящегося ряда (суммирование всех членов подряд, суммирование сначала четных, затем нечетных членов и т.д.) может зависеть значение суммы ряда, то есть сумма условно сходящегося ряда зависит от перестановки членов этого ряда. Поэтому сходимость названа условной. Чтобы получить правильный ответ, необходимо суммировать члены ряда подряд, один за другим.

Примеры.

1. . Ряд из модулейсходится, следовательно, рассматриваемый знакочередующийся ряд сходится абсолютно.

2. . Рассмотрим ряд из абсолютных величин членов.

Он расходится . Следовательно, исследуемый ряд не сходится абсолютно. Поскольку, ряд сходится условно.

3. . Поскольку, не выполняется и условие теоремы Лейбница, и необходимое условие сходимости ряда. Ряд расходящийся.

Исследование знакочередующегося ряда с помощью МАКСИМЫ

Исследуем ряд

Ряд из модулей знакочередующегося ряда сходится на основании интегрального признака (признак Даламбера не работает), следовательно, исследуемый ряд сходится абсолютно.

Рассмотрим ряд

Исследуемый ряд не сходится абсолютно, при этом признак Даламбера не работает, интегральный признак приводит к расходящемуся интегралу. И поскольку предел n – го члена равен 0, на основании теоремы Лейбница ряд сходится условно.

Примеры для самостоятельного решения

Исследовать сходимость знакочередующихся рядов

15.13. , 15.14., 15.15., 15.16..

Ответы. 15.13. Сходится абсолютно, 15.14. Сходится условно, 15.15. Расходится, 15.16. Сходится абсолютно.