7005

Замечание. Впрочем, для тетраэдра можно было обойтись и без тройного интеграла: ведь это пирамида, построенная на основании

треугольника, а для пирамиды V 13 Sh , а в данном примере высота 1,

площадь основания = площади треугольника, составляющего ровно половину единичного квадрата, то есть S 12 . И тогда V 13 Sh =

ПРАКТИКА № 12.

Задача 1. Записать в полярных координатах двойной интеграл по треугольнику с вершинами (0,0), (1,0), (1,1).

Решение.

Границы изменения угла от 0 до 45 градусов. Определим верхнюю границу роста радиуса в зависимости от угла поворота. Для этого нужно задать линию x 1 в полярных координатах. Подставим выражение x через полярные координаты в уравнение этой линии,

81

Как видим, полярные координаты можно применять далеко не только в случае круговых областей, однако большого преимущества здесь это уже не даѐт, пределы внутреннего интеграла здесь тоже зависят от внешнего.

Тройной интеграл в цилиндрических и сферических координатах.

Задача 3. Вычислить объѐм тела, ограниченного цилиндром

x2 y 2 1 и двумя плоскостями z 0, z x в цилиндрических координатах.

82

Решение. На чертеже показано строение фигуры: 2 среза из цилиндра, один с помощью горизонтальной плоскости z 0 , другой с помощью наклонной плоскости z x . Зелѐным закрашено основание этой фигуры, а именно, полукруг в правой полуплоскости.

Для того, чтобы точка в плоскости находилась в основании этой

границы последнего из вложенных интегралов, самого внутреннего, который по переменной z . Если z [0, x] , от горизонтальной до

наклонной плоскости. При этом, x нужно выразить в цилиндрических координатах, ведь границы интегрирования внутреннего интеграла должны зависеть от внешних переменных Поэтому

z [0, cos ] . Функция тождественная 1, чтобы вычислить объѐм, но

Вычислим этот интеграл. Сначала в самом внутреннем из них применяется формула Ньютона-Лейбница по переменной z .

83

Теперь уже остался не тройной, а двойной интеграл. Во внутренней скобке применяется формула Ньютона-Лейбница по .

Задача 4. Вычислить определитель Якоби сферических координат.

Каждый из оставшихся определителей равен cos2 sin 2 1. Поэтому остаѐтся только привести подобные:

2 sin cos2 2 sin sin 2 = 2 sin (sin 2 cos2 ) =2 sin . Итак, якобиан I 2 sin .

Задача 5. Плотность вещества в шаре радиуса 1 равна расстоянию от начала координат. Вычислить массу (в сферических координатах). Решение. Радиус равен 1, так что очевидно, 0,1 .

[0, ], [0,2 ) , [0,1] .

84

Функция x2 y2 z 2 , и кроме этого, умножим на определитель Якоби сферических координат, то есть 2 sin .

Рассмотрим другие варианты этой задачи, если другая функция под интегралом или если часть шара.

Задача 5-Б. Вычислить массу шара радиуса 1, если плотность равна квадрату расстояния от центра шара.

Решение. Функция f (x, y, z) x 2 y 2 z 2 , это равно 2 , так как

x2 y2 z 2 .

[0, ], [0,2 ) , [0,1] .

Задача 5-В. Вычислить массу 1/8 шара радиуса 1 в первом октанте, если плотность равна квадрату расстояния от центра шара.

85

В конце решения предыдущей задачи тогда получилось бы так:

Задача 6. Найти объѐм тела, ограниченного конусом z 2 x 2 y 2 и сферой радиуса 2 .

Решение. Чертѐж:

Конус пересекается со сферой радиуса 2 на высоте z 1. Отклоенние угла достигает от 0 до 45 град, чтобы пересечение луча с фигурой существовало. Любой отрезок, проведѐнный из начала координат (если он упирается в сферу, находится внутри этой

86

Ответ. 43 2 1 .

Задача 7. Найти объѐм тела, ограниченного поверхностями

y x , y 2 x , z 0, z 6 x .

Решение. Построим плоский чертѐж (вид сверху) рассматривая только те уравнения, которые не содержат z . Это позволит записать внешние интегралы по dx, dy . Третий, внутренний, который по z , в

пределах от 0 до 6 x .

87

ПРАКТИКА № 13. (11.04.2017 у обеих групп).

Повторение (20-25 минут) и самостоятельная работа из 2 задач на 20-25 минут:

1.Двойной интеграл в декартовых координатах.

2.Двойной интеграл в полярных координатах.

Какие задачи из прошедших практических занятий при этом рекомендуется особенно хорошо повторить: