Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Томский Государственный Университет Систем Управления и Радиоэлектроники

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

7005

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

05.02.2023

Размер:

2.15 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1415 / 1515


	1	( 1)		n	5	n			2	n				( 1)	n	5	n	2	n
	1	( 1)			5				2		=			( 1)		5		2		.
	z 1 n 0	(z 1)n										n 0		(z 1)n 1
							n		n	2		n
Ответ.			( 1)					5		2			.
Ответ.													.
		n 0			(z 1)n 1
ПРАКТИКА № 22.												Ряды Фурье.

Задача 1. Разложить в тригонометрический ряд Фурье функцию f (x) x на (-1,1).

Решение. Так как функция нечѐтная, то все коэффициенты a0 и an равны 0. Поэтому считаем только bn . Учитываем, что l 1.

1 1

bn 1 1x sin n xdx . Вычисляем интеграл по частям.

u x ,

u 1,

v sin n x , v

cosn x . Тогда

cosn x

1 cosn xdx =

cosn

cos(n )

sin n x

так как косинус чѐтная

n2 2

функция, то

cosn

(0 0) =

cosn =

n2 2

2( 1)

n 1

Ответ. 2( 1)

sin n x .

n 1

Задача 2.

Разложить в триг. ряд Фурье

f (x) 2x 3 на (-1,1)

Решение. Заметим, что функция

f (x) 3 2x нечѐтная. То есть, f это

сумма нечѐтной и константы. Таким образом, коэффициенты an здесь тоже окажутся равны 0. Надо вычислить a0 и bn .

141

(2x 3)dx = (x2

3x)

= (1 3) (1 3) 4 ( 2) 6 ,

3 .

(2x 3) sin n xdx

. Вычисляем интеграл по частям.

u 2x 3 ,

u 2 ,

v sin n x ,

cosn x . Тогда

2x 3

cosn x

cosn xdx =

cosn

cos(n )

sin n x

n2 2

4( 1)n

4( 1)n 1

cosn

(0 0)

cosn

n2 2

4( 1)

n 1

Ответ. Ряд Фурье:

sin n x .

n 1

Замечание. Для поиска коэффициентов bn

можно было

воспользоваться результатом, полученным в задаче 1.

(2x 3) sin n xdx = 2 x sin n xdx 3 sin n xdx

первое слагаемое содержит интеграл, равный в итоге

2( 1)n 1

4( 1)n 1

второе равно 0. Тогда

f (x)

x 1

if x ( 1,0)

Задача 3.

Найти ряд Фурье для

if x (0,1)

Решение. Здесь функция не является чѐтной либо нечѐтной, поэтому надо будет искать все коэффициенты.

При этом, на левой и правой части интервала надо считать отдельно, ведь там функция задана по-разному.

142

0	1	x2			0	1	1		3		a0 3
					0




a0 (x 1)dx 1dx =				x	x	0	=	1 1		,		.
1	0		2		1		2		2		2 4
0		1
an (x 1) cosn xdx cosn xdx . Первый интеграл вычисляется
1		0

методом «по чсатям», второй просто в один шаг.

Кстати, для убодства вычислений можно раскрыть скобки и объединить так:

				0								0					1
an x cosn xdx cosn xdx cosn xdx																											=
					1								1				0
0								1
	x cosn xdx							cosn xdx . Тогда интеграле по частям остаѐтся не
1								1
скобка, а только x .
u x ,						u 1,		v cosn x ,								v	1				sin n x . Тогда
u x ,						u 1,		v cosn x ,								v		n			sin n x . Тогда
																		n
0								1								x							0				1		0					1		1
0								1															0						0							1
	x cosn xdx cosn xdx =																sin n x													sin n xdx					sin n x
	x cosn xdx cosn xdx =															n	sin n x						1			n				sin n xdx				n	sin n x	1
1								1								n										n			1					n
1								1							0														1					0
				1								1								0 0											1
				1								1								0 0											1
=						sin(n )									sin n xdx									=	0								cosn x	0 =
=			n			sin(n )					n				sin n xdx						n			=	0				n		2	2	cosn x	0 =
			n								n				1						n								n					1
															1				1 ( 1)n															1
	cos0 cos(n )								=			1 cos(n )					=		1 ( 1)n						.
					n2 2				=						n2 2		=				n 2 2				.
					n2 2										n2 2						n 2 2
				0											1							0										1
bn (x 1) sin n xdx sin n xdx = x sin n xdx sin n xdx
				1											0							1										1
В первом u x ,									u 1, v sin n x ,													v					1			cosn x . Тогда
В первом u x ,									u 1, v sin n x ,													v					n			cosn x . Тогда
																											n
		x					0			1				0						1								1
							0							0														1
					cosn x									cosn xdx								cosn x							=
					cosn x				n					cosn xdx					n			cosn x							=
		n					1		n					1					n									1
							1							1														1

143

cosn	1			0


n			sin n x	1
		n2 2

cosn cosn	=	( 1)n	0 0	=	( 1)n 1
n		n			n

	3		( 1)n 1		1 ( 1)n
Ответ. Ряд Фурье:				sin n x		cos n x .
Ответ. Ряд Фурье:	4		n	sin n x	n2 2	cos n x .
		n 1

Ниже показан чертѐж к этой задаче, получившийся в результате работы программы. Видно, что чем больше n, тем более точно кривая огибает ломаную.

Задача 4. Разложить в тригонометрический ряд Фурье:

1, x ( 2,0) f (x) .

5, x (0,2)

Решение. Здесь функция ступенчатая, поэтому вычислять интегралы по частям не придѐтся, будет в 1 шаг. Но разбивать на две части надо, т.к. функция задана по-разному справа и слева от 0. Кроме того, надо учесть, что l 2 здесь.

			1		0		2		1	2 10 = 6. Тогда	a0
			1						1		a0
a	0					1dx		5dx =				3 . Кстати, это и есть
	0	2		2					2		2
		2		2			0		2		2

средняя высота графика этой функции.

144

		1	0		n x		2				n x					1	2			n x	0	2		n x	2
		1	0		n x		2				n x					1	2			n x	0	2		n x	2
a				cos		dx		5 cos					dx	=				sin			5		sin
a		2		cos	2	dx		5 cos		2			dx	=				sin		2	5	n	sin	2
n		2			2					2						2 n				2		n		2
1	2		2				0			2											2				0
			2				0														2				0

			(sin 0 sin( n )) 5									(sin n			sin 0)				0 так как синус
			(sin 0 sin( n )) 5									(sin n			sin 0)				0 так как синус
2	n								n

любого угла, кратного , есть 0. В ряде Фурье не будет косинусов. Впрочем, об этом можно было догадаться и сразу и не считать интегралы: ведь если сместить этот график вниз на 3, то получится нечѐтная функция.

					1		0					n x				2			n x				1		2			n x	0			2		n x			2
					1		0					n x				2			n x				1		2			n x	0			2		n x			2
b								sin						dx			5sin			dx		=					cos				5	n	cos
b					2			sin					2	dx			5sin		2	dx		=	2				cos	2			5		cos	2
		n			2								2						2				2		n			2						2
			1			2										0													2								0
						2										0													2								0
=					(cos0 cosn ) 5(cosn cos0) притом здесь мы уже сразу
=			n		(cos0 cosn ) 5(cosn cos0) притом здесь мы уже сразу
			n
учли чѐтность косинуса, что cos(n ) cosn .
Итак,						1			1 ( 1)n 5( 1)n 5 =												1 ( 1)n 5( 1)n 5 =
Итак,						n			1 ( 1)n 5( 1)n 5 =												1 ( 1)n 5( 1)n 5 =
						n																					n
	4 4( 1)n									=	4		1 ( 1)n				.
				n						=	4			n			.
				n										n
																					n				n x
Ответ. Ряд Фурье:															3 4			1 ( 1)				sin			n x	.
Ответ. Ряд Фурье:															3 4							sin				.
																	n 1		n					2
																	n 1
Задача 5.										Разложить в тригонометрический ряд Фурье f (x) x																									x		на
Задача 5.										Разложить в тригонометрический ряд Фурье f (x) x																									x		на
интервале (-1,1).
Решение. Сначала исследуем, что такое f (x) x																														x	и как это
Решение. Сначала исследуем, что такое f (x) x																														x	и как это
																																2x		x 0
выражение ведѐт себя на разных частях интервала:																														f (x)			0	x		0		.
																																	0	x		0

Поэтому здесь на левой части интеграл считать не надо, он равен 0. Остаѐтся только на (0,1).

145

			1								1							a0						1								1
a0		2xdx x 2									1			1,				a0						1		.			an		2x cosn xdx интегрируем по
a0		2xdx x 2									0			1,					2					2		.			an		2x cosn xdx интегрируем по
			0								0								2					2								0
			0																													0
частям:					u 2x ,								u 2 ,							v cosn x ,											v			1	sin n x .
частям:					u 2x ,								u 2 ,							v cosn x ,											v			n	sin n x .
																																		n
Тогда a								2x		sin n x							1					2			1 sin n xdx = 0										2			cosn x			1	=
								2x									1					2													2						1
				n
				n			n														n															n2 2
							n										0				n															n2 2					0
																	0								0																0
	2(cosn cos0)												=		2((1)n 1)												.
			n2 2										=				n		2			2					.
			n2 2														n		2			2
			1
bn		2x sin n xdx тоже по частям,
			0
u 2x , u 2 ,											v sin n x ,														v				1	cosn x .
u 2x , u 2 ,											v sin n x ,														v					cosn x .
																													n
Тогда b						2x					cosn x							1				2			1			cosn xdx =
						2x												1				2			1

																							n
			n				n
							n											0
																		0		1					0															2( 1)n 1
	2		cosn						2					sin n x								=			2( 1)n								2(sin n sin 0)						=				.


	n							n	2		2																	n						n2 2								n
											2									0								n														n
																				0
				1								2(( 1)n 1)																				2( 1)n 1
Ответ.																									cos n x												sin n x .
Ответ.					2										n	2			2						cos n x								n				sin n x .
					2			n 1							n																		n

Числовые ряды и ряды Фурье, их взаимосвязь.

Задача 6. С помощью разложения функции f (x) x2 в тригонометрический ряд Фурье в [ 1,1] можно найти суммы рядов

	1			( 1)n
			и			.
	n	2		n	2
n 1			n 1

Решение. Функция является четной, bn 0 .

1	1	x	3	1	2

a0 x 2 dx = 2 x2 dx = 2				=		.
		3			3
1	0			0

146

1	1
an x 2 cosn xdx в силу чѐтности равно	an 2 x2 cosn xdx , такой
1	0

интеграл можно найти с помощью интегрирования по частям в 2 шага.

Сначала u															x2 ,u							2x , v									cosn x, v														1			sin n x .
Сначала u															x2 ,u							2x , v									cosn x, v																	sin n x .
												1							1										1										1					n
							1																						2															n
							1																						2								1								1
an			2						x		2	cosn xdx										=				x						sin n xdx										2					x sin n xdx								=
																									2
																									2																n
																										n															n
							0																														0								0
							0																														0								0
			4		1
			4			x sin n xdx . Затем 2-й шаг,
		n				x sin n xdx . Затем 2-й шаг,
		n			0
					0
	u			x,u									1, v							sin n x, v														1		cosn x .
	u	2		x,u							2		1, v					2		sin n x, v																cosn x .
		2									2							2													1			n
																																		n
			4		1																				4							x							1					1			1
					1																																		1								1
						x sin n xdx =																											cos n x														cos n xdx									=
		n				x sin n xdx =																			n							n	cos n x										n				cos n xdx									=
					0																																		0								0
					0																																		0								0
			4								1														1									1						4														4( 1) n
			4								1														1									1						4														4( 1) n
																cos n												sin n x							=										cosn						0		=					.
		n								n													n2 2															n2 2																	n 2 2
														4( 1)n								a		0			1							0
																																		0
Итак, a																			,										,			b	0 .
Итак, a									n										,										,			b	0 .
									n							n2 2						2					3					n
																n2 2						2					3
Разложение функции в ряд Фурье:
							1										4( 1)n																											1					4				( 1)n
	x2																							cosn x то есть x2																																	cosn x .
	x2						3										2			2				cosn x то есть x2																				3						2			n		2		cosn x .
							3					n 1					n																											3							n 1		n
																										1					4				( 1)				n
Подставим x 0.																					0					1					4				( 1)					, то есть
Подставим x 0.																					0																			, то есть
																									3					2			n 1			n2
4								( 1)								n			1																					( 1)						n						2
4								( 1)											1			, из чего следует																		( 1)												.
																						, из чего следует																				n2										.
	2 n 1									n2									3																		n 1					n2									12

147

										1		4				( 1)		n
Подставим x 1.							1			1		4				( 1)			cosn , то есть
Подставим x 1.							1					2				n2			cosn , то есть
										3		2		n 1		n2
	2	4		( 1)		n	( 1)		n			4			1					1
	2	4		( 1)			( 1)					4			1		, из чего следует			1
																	, из чего следует
3		2	n 1			n2					2		n 1 n2						n 1 n2
				1			2				( 1)n							2
Ответ.								,											.
Ответ.					2		6	,				n	2				12		.
			n 1 n				6			n 1		n					12

ПРАКТИКА № 23 (последняя).

1.Контрольная работа по рядам Тейлора, Лорана,Фурье.

2.Написание пропущенных контрольных задач за семестр.

2 .

148

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1415 / 1515

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
05.02.2023625.95 Кб06899.pdf
#
13.02.202149.22 Кб2690.pdf
#
05.02.2023505.3 Кб06905.pdf
#
05.02.2023475.83 Кб06990.pdf
#
13.02.2021815.65 Кб06OMkzBKrZ3.pdf
#
05.02.20232.15 Mб07005.pdf
#
05.02.2023618.28 Кб07014.pdf
#
05.02.2023225.21 Кб07046.pdf
#
05.02.20231.01 Mб37067.pdf
#
05.02.2023266.87 Кб07089.pdf
#
05.02.2023288.25 Кб07090.pdf