- •12 Семестр 3. Лекция 2. Лекция 2. Потенциал электростатического поля.
- •Математическое отступление
- •1) Поток векторного поля через поверхность.
- •2) Циркуляция векторного поля.
- •3) Теорема Стокса.
- •4) Векторное поле , для которого существует непрерывно-дифференцируемая функция ф такая, что выполняется равенство ,
- •5) Теорема Остроградского-Гаусса.
- •Связь напряжённости и потенциала.
Связь напряжённости и потенциала.
Так как энергия взаимодействия точечного заряда с электростатическим полем и сила, действующая на этот заряд со стороны поля, связаны соотношением , то из определений получаем:.
Таким образом, связь между напряжённостью и потенциалом электростатического поля дается выражением (в дифференциальной форме):
.
Следовательно, электростатическое поле является потенциальным полем.
Из свойств оператора следует, что вектор напряжённости электрического поля направлен в сторону наибольшего убывания потенциала, перпендикулярно эквипотенциальной поверхности.
Работа сил электрического поля
В то же время .
Сравниваем эти выражения и получаем:
.
Если обозначить изменение потенциала как (НЕ ПУТАЙТЕ С ОПЕРАТОРОМ ЛАПЛАСА!), то получим связь напряжённости и потенциала в интегральной форме
.
Из этого выражения следует теорема о циркуляции для электростатического поля:
Для любой замкнутой траектории (любой кривой линии) Г, находящейся в области пространства, где создано электростатическое поле, значение интеграла вдоль этой замкнутой линииГ всегда равно нулю: .
Действительно, в случае, когда точечный заряд перемещается вдоль какой-то замкнутой траектории Г, выполняется равенство: , поэтому
.
Из теоремы Стокса следует дифференциальная форма теоремы о циркуляции:
т.к. электростатическое поле потенциальное, то его ротор равен нулевому вектору в каждой точке:
Пример.Можно ли создать неоднородное электростатическое поле, силовые линии которого параллельны друг другу?
В электростатическом поле для любого замкнутого контура Г выполняется равенство: . Если возьмём в качестве контура Г прямоугольникABCD, то интеграл можно разбить на 4 интеграла вдоль сторон этого прямоугольника:
.
Но на сторонах ABиCDвекторыиперпендикулярны друг другу, т.е., поэтомуи.
На стороне BCвекторыинаправлены одинаково, на сторонеDAнаправлены противоположно, откуда
.
Вблизи стороны BCсиловые линии расположены гуще, чем вблизи стороныDA, поэтому
, следовательно
.
То есть для такого поля не выполняется теорема о циркуляции.
Из принципа суперпозиции следует
,
т.е. .
Принцип суперпозиции для потенциала: потенциал в данной точке поля, создаваемого системой зарядов, равен алгебраической сумме потенциалов поля, создаваемых каждым из зарядов в отдельности.
Пример.Рассмотрим электростатическое поле, создаваемое заряженным кольцом, радиус которого R. Найдем потенциал на оси кольца на расстоянии z от плоскости кольца.
Решение. Разобьём кольцо на большое количествоNучастков, опирающихся на центральный угол. (Длина одного участка.) Заряд одного участка, гдеQ– заряд кольца. Будем считать, чтоQ>0. Принимая малый участок кольца за точечный заряд, можно найти потенциал поля на оси кольца, создаваемого одним участком:, где. Тогда, в соответствии с принципом суперпозиции, суммарный потенциал будет равен:
.
Из этой формулы видно, что потенциал в центре кольца (z=0) равен:.
Энергия системы зарядов равна сумме энергий попарных взаимодействий:
.
Здесь множитель учитывает, что одна и та же пара индексов встречается в этом выражении два раза - один раз как (ij), а второй раз как (ji).
Запишем это выражение через потенциалы:
.
Последнее выражение включает в себя сумму потенциалов полей , создаваемых всеми зарядами, за исключением номераi, в том месте, где находится зарядcномеромi.
Пример. Найдем энергию взаимодействия двух точечных зарядовq1 иq2.
В точке, где находится заряд q1, второй заряд создаёт потенциал. В точке, где находится зарядq2, первый заряд создаёт потенциал. Тогда
.
Очень часто распределение зарядов в пространстве можно задать с помощью функции, называемой плотностью распределения.
Объёмная плотность распределения (единицы измерения Кл/м3). Тогда суммарный заряд объёма:. Энергию взаимодействия некоторого точечного зарядаqс заряженным телом можно определить следующим образом:, гдеr– расстояние от точечного зарядаqдо точки, где задана плотность.
Поверхностная плотность распределения заряда (единицы измерения Кл/м2). Тогда суммарный заряд поверхности:. Энергия взаимодействия некоторого точечного зарядаqс заряженной поверхностью:, гдеr– расстояние от точечного зарядаqдо точки, где задана плотность.
Линейная плотность распределения заряда (Единицы измерения Кл/м). Тогда суммарный заряд кривой линии:. Энергия взаимодействия некоторого точечного зарядаqс заряженной линией:, гдеr– расстояние от точечного зарядаqдо точки, где задана плотность.