Как видно из рисунка, при малых плотностях потока нейтронов зависимость ε( ρ) представляет собой практически линейную
функцию. С увеличением плотности потока нейтронов нелинейность в характере зависимости ε( ρ) увеличивается.
В большинстве энергетических реакторов уровень плотности
потоков нейтронов больше, чем 1 1013 нейтр. при этом зависисм2 с
мость ε( ρ) , как видно из рисунка, носит нелинейный характер.
Для получения качественных результатов рассмотрим систему из двух реакторов. Зависимость ε( ρ) будем аппроксимировать по-
линомом второй степени.
Математически задача в этом случае формулируется следующим образом: найти
|
|
|
|
|
|
|
|
N |
|
ρ |
i |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
min |
|
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
ai |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
ρi ... |
ρN i=1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
при ограничениях |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N |
|
|
ρ |
i |
|
|
|
|
ρ |
i |
|
|
2 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
∑δi |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= α; |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
1 − 2 |
|
ρim |
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
i=1 |
|
|
|
|
|
ρim |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
0 ≤ |
ρ1 ≤ |
ρ1m ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2.88) |
||||
0 ≤ |
ρ2 ≤ |
|
ρ2m . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Введя новые переменные |
|
|
|
|
|
|
ρ1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
z |
= |
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
ρ1m |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
z2 = |
|
|
ρ2 |
, |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ρ2m |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
запишем задачу (2.88) в виде: найти |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
z1 |
|
|
|
|
|
|
|
z2 |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
min |
|
|
|
|
|
a2 ϕ |
|
|
|
|||||||||||
|
z1,z2 a1 ϕ1 |
2 |
|
||||||||||||||||||
при ограничениях
135
|
|
|
|
|
|
(z |
−1)2 |
+ |
(z |
2 |
−1) |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
= α, |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
1 δ1 |
|
|
1 δ2 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
0 ≤ z1 ≤1, |
|
|
(2.89) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
0 ≤ z2 ≤1. |
|
|
|
||||
Решение. Решение задачи можно получить одним из методов, |
||||||||||||||
изложенных выше. Однако в данном конкретном случае легко ре- |
||||||||||||||
шить |
задачу |
|
графически. |
|
Минимизируемая |
функция |
||||||||
|
z1 |
+ |
|
z2 |
|
представляет собой прямую, уравнение связи |
||||||||
S = |
a2 |
|
||||||||||||
a1 |
ϕ1 |
|
ϕ2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
между переменными либо эллипс при δ1 ≠ δ2 |
(рис. 2.8), либо ок- |
|||||||||||||
ружность при |
δ |
= δ2 , |
область изменения переменных – |
квадрат |
||||||||||
ODEL. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2,0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Относительный запас реактивности |
|
|
1,5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в первом реакторе Z |
|
1,0 |
D |
M |
|
|
|
|
E |
|
|
|
|
|
|
* |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
z1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
' |
M1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
M10,5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
S |
|
|
S |
|
|
||||
|
|
0,0 |
O |
|
|
|
L |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
* |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
0,0 |
z2 |
0,5 |
|
|
1,0 |
1,5 |
2,0 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
Относительныйзапасреактивности |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
вовторомреактореZ2 |
|
|
||||
Рис. 2.8. Решение оптимизационной задачи для системы двух реакторов |
||||||||||||||
с нелинейной зависимостью степени снижения мощности от запаса реактивности |
||||||||||||||
Нетрудно видеть, что оптимальным решением являются координаты точки M (z1* , z2* ) касания прямой и эллипса, если точка ка-
сания принадлежит области изменения переменных – квадрату ODEL. Найдем координаты точки касания.
136
Уравнение касательной к эллипсу в точке (z1* , z2* ) примет вид
z |
(z* −1) |
|
z |
2 |
(z |
* |
−1) |
|
1 |
1 |
+ |
|
|
2 |
|
= α. |
|
|
1 δ1 |
|
|
1 |
δ2 |
|||
|
|
|
|
|
||||
Условие совпадения углового коэффициента касательной с угловым коэффициентом целевой функции есть:
|
z1* −1 z*2 −1 |
= |
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
, |
|||||||||
|
1 |
δ |
|
|
|
1 |
δ |
2 |
|
|
a |
ϕ |
|
a |
2 |
ϕ |
2 |
||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|||
откуда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z* |
−1 |
|
δ |
|
a |
|
δ |
a |
1 |
|
|
|
|||||||
|
|
1 |
|
|
|
= |
|
2 |
|
|
2 |
|
1 |
1 = |
|
|
|
. |
(2.90) |
||
|
|
z* |
−1 |
|
ϕ2 |
|
|
ϕ1 |
|
F |
|
|
|
||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Используя полученное соотношение (2.90) и условие связи между переменными
(z* |
−1)2 |
|
(z* |
−1) |
2 |
|
|
1 |
|
+ |
2 |
|
|
|
= α , |
1 δ |
1 δ |
2 |
|
||||
|
|
|
|||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
получим оптимальное распределение относительных запасов реактивности
z* |
=1 − |
1 |
|
|
α |
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
||||
|
|
|
|
|
|
||||
1 |
|
F |
δ2 + δ1 F 2 |
|
|
||||
|
|
(2.91) |
|||||||
|
|
|
|
|
α |
|
|
|
|
* |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z2 |
=1 − |
|
|
|
. |
|
|
||
δ2 |
+ δ1 F |
2 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||
Определим интервал изменения α, при котором точка касания M (z1* , z2* ) принадлежит области изменения переменных:
0 ≤ z1 ≤1;
0 ≤ z2 ≤1.
Используя (2.91), получим, что
z ≥ 0 |
при α |
1 |
= α ≤ F 2 |
δ |
2 |
+ δ |
1 |
; |
1 |
|
|
|
|
|
137
|
|
|
z |
2 |
≥ 0 при |
|
α |
2 |
= α ≤ δ |
2 |
+ δ |
F 2 . |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
||||
Понятно, |
что |
|
z1 ≥ 0 |
|
|
|
и |
|
|
z2 ≥ 0 |
|
|
|
одновременно |
при |
||||||||||
α = min (α1, α2 ) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Определим соотношение между α1 |
и α2 в зависимости от зна- |
||||||||||||||||||||||||
чения параметра системы F: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
α −α |
|
|
= Δα = F 2 |
δ |
|
+ δ − |
F 2δ |
2 |
+ δ |
= |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
F 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2.92) |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
(F 2 −1)(F 2δ |
|
+ δ ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
= |
2 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
F 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Из выражения (2.92) видно, что при F > 1, α1 > α2 . Ограниче- |
|||||||||||||||||||||||||
нием в этом случае является условие α = α |
2 |
, т.е. α ≤ δ |
2 |
+ δ |
F 2 : |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
||
при |
F < 1, |
|
|
α1 > α2 |
и ограничением |
является |
условие |
||||||||||||||||||
α ≤ δ |
2 |
F 2 + δ ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
при |
F = 1, |
|
|
α1 = α2 |
|
|
ограничением |
является |
|
условие |
|||||||||||||||
α ≤ δ1 + δ2 =1 , которое выполняется всегда.
Следовательно, при F = 1 точка касания при любом α принадлежит области изменения переменных и находится внутри нее.
На рис. 2.2 показан случай, когда параметр системы F > 1 (для
определенности изображена ситуация, когда |
a1 |
|
a2 |
=1, |
δ1 |
= 2 ). |
|
|||||
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
ϕ |
|
ϕ |
2 |
|
δ |
2 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||
При α ≤ δ |
2 |
+ δ F 2 |
точка касания прямой и эллипса M (z* , z* ) |
|||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
принадлежит области изменения переменных – квадрату ODEL. При α > δ2 + δ1 
F 2 точка касания M1′ выходит за область из-
менения переменных. Ближайшей к точке M1′ является точка М1 –
точка пересечения эллипса с осью z1. Координаты точки М1 и будут являться решением задачи.
Таким образом, решением задачи при параметре системы F > 1 является
138