Астахов Електричество конспект лекций 2011

§4. Потенциал электростатического поля

Работа сил электростатического поля

Работа сил электростатического поля при перемещении точечного заряда q из одной точки поля в другую по какой-либо (прямолинейной или криволинейной) траектории

n

A = lim ∑q(Ei , ri ), (4.1)

ri →0 i=1

где Ei — напряженность электростатического поля на перемещении ri.

Работа сил однородного электростатического поля

Работа сил однородного электростатического поля при перемещении точечного заряда q из одной точки поля в другую по любой (как прямолинейной, так и криволинейной) траектории

где E — напряженность однородного электростатического поля, r — перемещение (рис.4.1) заряда q, α — угол между напряженностью поля и перемещением заряда.

Работа сил однородного электростатического поля определяется начальным и конечным положениями заряда и не зависит от траектории между ними.

Работа сил однородного поля может быть положительной, отрицательной и равной нулю:

а) A > 0 — если угол α между напряженностью поля и перемещением положительного заряда острый (0 ≤ α < π/2), отрицательного заряда — тупой (π/2 < α ≤ π);

б) A < 0 — если угол α между напряженностью поля и перемещением отрицательного заряда острый (0 ≤ α < π/2), положительного заряда — тупой (π/2 < α ≤ π);

в) A = 0 — если угол α между напряженностью поля и перемещением заряда (положительного или отрицательного) равен π/2 и при движении заряда по замкнутой траектории.

21

Если система координат xOy выбрана таким образом, что ось Ox и напряженность однородного поля Е коллинеарны (на рис.4.1,а их направления совпадают, на рис.4.1,б — противоположны), то работа сил однородного поляможет быть определена из выражения:

перемещения r заряда q на ось Ox (НМК — траектория заряда q).

Работа сил однородного поля может быть определена с использованием модуля напряженности поля:

а) если направления оси Ox и напряженности однородного поля совпадают (см. рис.4.1,а), то

б) если направления противоположны (см. рис.4.1,б), то

Работа сил электростатического поля точечного заряда

Пусть точечный заряд Q находится в начале координат xOy (рис.4.2).

Работа сил электростатического поля точечного заряда Q при перемещении в этом поле точечного заряда q

22

Потенциальная энергия заряда в электростатическом поле

Электростатическое поле является потенциальным вследствие того, что его силы являются консервативными.

Потенциальная энергия точечного заряда в однородном электростатическом поле

где Eх — проекция напряженности поля на ось Oх, параллельную напряженности поля (см. рис.4.1), х — координата точечного заряда q, С — произвольная постоянная (выбирается из условия удобства решения данной задачи).

Потенциальная энергия точечного заряда в однородном электростатическом поле может быть определена с использованием модуля напряженности этого поля:

а) если направления оси Oх и напряженности однородного по-

23

ля совпадают (см. рис.4.1,а), то

где E — модуль напряженности поля.

Потенциальная энергия точечного заряда q в электростатическом поле точечного заряда Q

где r — расстояние между зарядами (находящимися в вакууме), C — произвольная постоянная (обычно С = 0, при этом W = 0 при r = ∞ — бесконечности).

Потенциал электростатического поля (в некоторой точке поля) — скалярная физическая величина (СФВ), равная отношению потенциальной энергии W пробного заряда q в данной точке поля к этому заряду:

Единица потенциала — вольт: [ϕ] = В.

Разность потенциалов — СФВ, равная отношению разности потенциальных энергий пробного заряда q при его перемещении из начального в конечное положение к этому заряду:

Работа сил электростатического поля при перемещении заряда q может быть определена через разность потенциалов в начальной и конечной точках траектории заряда:

24

где q — заряд, переместившийся из начальной точки поля, потенциал вкоторой равен ϕн, вконечную, потенциал вкоторой равен ϕк..

Согласно равенству (4.13), разность потенциалов между двумя точками численно равна работе сил электростатического поля при перемещении единичного положительного заряда из одной точки поля в другую.

Работа внешних сил Aвнеш при перемещении заряда q в электростатическом поле из одной точки в другую равна по модулю работе сил поля Aэл и противоположна по знаку:

Потенциал в какой-либо точке численно равен работе внешних сил при перемещении единичного положительного заряда из точки, потенциал которой принят равным нулю, в данную точку поля.

Потенциал однородного электростатического поля

где Ex — проекция напряженности поля на ось Oх, коллинеарной линиям напряженности поля (см. рис.4.1), C — произвольная постоянная.

Потенциал однородного электростатического поля может быть определен с использованием модуля напряженности этого поля:

а) если направления оси Ox и напряженности поля совпадают

(см. рис.4.1,а), то

Графики зависимости потенциала однородного поля от координаты, являющиеся прямыми, приведены (при С = 0) на рис.4.3: на рис.4.3,а — график зависимости (4.16) при Ех > 0; на рис.4.3,б — график зависимости (4.17) при Ех < 0.

Из этих графиков видно, что потенциал однородного поля по направлению напряженности поля убывает.

25

Потенциал электростатического поля точечного заряда

где Q — точечный заряд, r — расстояние от заряда до точки поля, в которой определяется потенциал, C — произвольная постоянная (обычно С = 0, при этом ϕ = 0 при r = ∞).

Графики зависимости потенциала поля точечного заряда от расстояния r до заряда, являющиеся гиперболами, приведены на рис.4.4: на рис.4.4,а — для положительного, на рис.4.4,б — для отрицательного заряда (при С = 0).

Рис.4.4

Из этих графиков видно, что потенциал точечного заряда по направлению напряженности поля убывает.

Связь между напряженностью поля и разностью потенциалов электростатического поля

Проекция напряженности однородного поля на ось Oх

26

где −Δϕ = (ϕн − ϕк) — разность потенциалов в двух точках, расположенных на оси Ох, координаты которых равны xн и xк соответст-

венно; x = (xк − xн).

В общем случае проекция напряженности электростатического поля на ось Oх

Единица напряженности поля (В/м) определяется согласно равенству (4.20).

Эквипотенциальные поверхности (линии) электростатическо-

го поля — поверхности (линии), во всех точках которых потенциалы одинаковы.

Свойства эквипотенциальных поверхностей (линий) электростатического поля:

а) работа сил электростатического поля при перемещении заряда по эквипотенциальной поверхности (линии) равна нулю;

б) эквипотенциальные поверхности (линии) перпендикулярны линиям напряженности электростатического поля в точках их пересечения;

Напряженность поля в каждой точке эквипотенциальной поверхности (линии) направлена в сторону наиболее быстрого убывания потенциала.

Если эквипотенциальные поверхности (линии) проводятся таким образом, чтобы разности потенциалов между любыми двумя соседними поверхностями (линиями) были одинаковы, то по густоте (поверхностной плотности) эквипотенциальных поверхностей (линий) можно судить о модуле напряженности поля: чем больше густота эквипотенциальных поверхностей (линий), тем больше модуль напряженности поля.

Картина линий напряженности и эквипотенциальных линий приведена на рис.4.5,а — для однородного поля, на рис.4.5,б — для поля положительного точечного заряда.

Напряжение U — разность потенциалов в двух точках (например, т.А и т.B) электростатического поля:

27

Модуль напряженности однородного электростатического поля может быть определен из равенства:

где U — напряжение между любыми двумя эквипотенциальными поверхностями (линиями), d — расстояние между ними (на рис.4.5,а между двумя соседними линиями, например).

Потенциал электростатического поля равномерно заряженной сферы:

где Q — заряд сферы, r — расстояние до центра сферы, Rсф — радиус сферы.

График зависимостей (4.23) и (4.24) при положительном заряде сферы и С = 0 приведен на рис.4.6.

28

Потенциал и потенциальная энергия системы зарядов

Потенциал электростатического поля системы точечных за-

рядов ϕс в какой-либо точке равен сумме потенциалов ϕi полей, создаваемых каждым точечным зарядом qi данной системы в этой точке по отдельности:

где n — число зарядов системы, ri,т — расстояние от i-го заряда до точки, в которой определяется потенциал системы зарядов (обычно принимается, что ϕi = 0 при ri,т = ∞).

Потенциальная энергия системы точечных зарядов Wс равна сумме потенциальных энергий попарного взаимодействия Wi,j точечных зарядов системы:

где n — число зарядов системы, ri,j — расстояние между i-м и j-м

зарядами (обычно принимается, что Wi,j = 0 при ri,j = ∞). Энергия Wс может быть также определена из равенства:

где n — число зарядов системы; ϕi — потенциал системы без заряда qi в той точке, где находится этот заряд qi:

Формулой (4.28) удобно пользоваться для определения потенциальной энергии системы точечных зарядов в случае симметричного расположения зарядов (например, в вершинах правильных многоугольников).

29

§5. Проводники и диэлектрики

Свободные заряды в телах — заряженные частицы, находящиеся в телах, способные перемещаться под действием сил электрического поля по всему телу.

Проводники — тела, в которых имеются свободные заряды. Проводниками являются металлы, электролиты (жидкие рас-

творы солей, кислот, щелочей), ионизированные газы. В металлах свободными зарядами являются обобществлённые (валентные) электроны, в электролитах — ионы, в газах — ионы и электроны.

Заряженный проводник — проводник с избытком (или недостатком) положительного или отрицательного заряда.

При равновесии зарядов в заряженном проводнике:

а) весь избыточный заряд расположен на поверхности проводника (при этом поверхностная плотность заряда может быть неодинаковой на различных участках поверхности проводника):

г) напряжённость поля вне проводника направлена перпендикулярно к поверхности проводника в каждой её точке:

где Еn — проекция напряженности поля на ось, перпендикулярную поверхности тела в точке, где определяется напряженность поля; Еτ — проекция напряженности поля на ось, касательную к поверхности тела в этой же точке поверхности;

д) потенциал во всех точках проводника, в том числе и на поверхности проводника, одинаков:

30