5.Дайте определение сложения двух геометрических векторов.
6.Определите умножение геометрического вектора на число.
7.Что называется проекцией вектора на ось?
§2. Базис и координаты |
|
|
|
|
|
|
||
Векторы а1, а2 , , аn называются линейно зависимыми, если |
||||||||
существуют числа |
λ1, λ2 , , λn |
(не |
все |
равные 0), такие, что |
||||
λ1 а1 + λ2 а2 + + λn аn = 0 , т.е. линейная комбинация векторов об- |
||||||||
ращается в ноль. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Два вектора на плоскости а |
и b линейно независимы тогда и |
|||||||
только тогда, когда они неколлинеарны: a || b (рис. 5). |
||||||||
а |
|
|
|
|
|
|
а |
|
|
|
|
|
И |
||||
с |
|
|
|
|
||||
b |
|
|
|
|
||||
|
|
|
Д |
b |
||||
а) а , b – неколлинеарны, a || b ; |
b – коллинеарны, a || b . |
|||||||
|
б) а |
, |
||||||
|
|
АРис. 5 |
|
|
|
|||
Три вектора, |
меющбе общее начало, |
называются компланар- |
||||||
ными, если они лежат в одной плоскости. Или: три произвольные |
||||||||
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
вектора компланарны, если они параллельны одной плоскости. |
||||||||
Три вектора в пространстве линейно независимы тогда и только |
||||||||
тогда, когда они некомпланарны. |
|
|
|
|
|
|||
С |
|
|
|
|
|
|
||
|
Базис и координаты |
|
||||||
Базисом на плоскости называются любые два линейно независимых вектора (любые два неколлинеарные вектора) (рис. 6).
8
e1
e2
Рис. 6
Любой вектор на плоскости является линейной комбинацией базисных векторов.
a = λ1e1 + λ2e2 − разложение вектора a по базису (e1, e2 ).
|
|
(λ1, λ2 )− координаты a в базисе (e1, e2 ). |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
Стандартный |
базис на |
|
плоскости – (i |
, j),причем |
|
|
= |
|
j |
|
=1, |
||||
|
i |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
i |
Д |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
И |
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
j (рис. 7). |
j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
А |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
б |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
и |
|
Рис. 7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
Базис в пространстве |
− это любые три линейно независимые |
||||||||||||||
вектора в пространствеС. Любой вектор в пространстве является линейной комбинацией баз сных векторов (прил. 2).
Если e1, e2 , e3 − базис в пространстве, то a = λ1 e1 + λ2 e2 + λ3 e3 .
а = (λ1, λ2 , λ3 )− координаты a в базисе (e1, e2 , e3 ).
e3
e2
e1
Рис. 8
9
В пространстве базис образуют любые три некомпланарные вектора (рис. 8).
Векторы i , j, k − стандартный базис: i
= j = k = 1; i j k
(рис. 9).
k
i
j
Рис. 9
Действия с векторами в координатной форме записи
1) |
Если а = (x1, y1, z1 ); |
|
|
= (x2 , y2 |
, z |
2 ) – координаты векторов, то |
|||||||
b |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Д |
||
сумма векторов – это вектор с координатами |
|||||||||||||
|
|
|
= (x |
бА |
+ zИ) (прил. 3); |
||||||||
|
a + |
b |
+ x |
2 |
; y |
+ y |
2 |
; |
z |
||||
|
1 |
|
1 |
|
|
1 |
2 |
||||||
2) |
λ a = (λ x; λ y; λ z)−умножение вектора на число λ ; |
||||||||||||
3) |
a = (x, y, z). Длина вектора a находится по формуле |
||||||||||||
a= x2 + y2 + z2 ;
4)A = (x1С, y1, z1 ); B = (x2 , y2 , z2 ) − две точки. Тогда координаты вектора AB равны (рис. 10): (z − z )).(y − y );AB = ((x − x );и
2 |
1 |
2 |
1 |
2 |
1 |
|
z |
|
|
|
B |
x |
0 |
y |
|
|
|
|
|
Рис. 10 |
10
Действительно, OA = (x1, y1, z1 ); OB = (x2 , y2 , z2 );
AB = OB − OA = ((x2 − x1 ); (y2 − y1 ); (z2 − z1 )).
Примеры. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ 30 j − 60 k |
|
и его направляю- |
|||||||||||||||||
1. Найти длину вектора a = 20i |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
щие косинусы. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение. Найдем длину a : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
a |
|
= |
202 + 302 + 602 |
= |
|
|
|
|
|
= 70. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
4900 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
Найдём орт a : a o = |
a |
|
|
= 20 i |
+ 30 |
|
− |
60 |
|
= |
2 i |
+ 3 |
|
− 6 |
|
. |
||||||||||||||||||
|
j |
k |
j |
k |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
a |
70 |
|
|
70 |
|
|
|
|
И |
7 |
|
|
7 |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
70 |
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Координаты вектора |
a o равны направляющим косинусам, по- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
этому cosα = 2 ; |
cos β = 3 ; |
|
|
|
|
|
Д |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
cosγ = − 6 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
7 |
7 |
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
А |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
2. Найти вектор a = |
AB |
, если |
A(1, 3, 2) и B(5, 8, −1). |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
Решение. Чтобы найти координаты вектора, нужно из координат точки конца вычесть координаты начала:
|
|
|
= {5 −1;8 − 3; −1 − 2}= {4; 5; − 3} |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
AB |
AB |
+ 5 j − 3k . |
|||||||
|
|
= 4i |
|||||||||
|
|
|
б |
||||||||
|
|
|
Вопросы задан я для самопроверки [1,2,3,6] |
||||||||
1. |
|
|
и |
||||||||
Какая система векторов называется линейно независимой? |
|||||||||||
2. |
Какие векторы называются компланарными? |
||||||||||
3. |
|
Что такоеСбазис на плоскости и в пространстве? |
|||||||||
4. |
|
Дайте определение стандартного базиса на плоскости и в про- |
|||||||||
странстве. |
|||||||||||
5. |
Что такое координаты вектора? |
||||||||||
6. |
|
Сформулируйте критерий линейной зависимости системы |
|||||||||
векторов. |
|||||||||||
7. |
|
Каково наибольшее количество линейно независимых векто- |
|||||||||
ров на плоскости? |
|||||||||||
8. |
|
Каково наибольшее количество линейно независимых векто- |
|||||||||
ров в трехмерном пространстве?
11