287 328,59 Тыс. Руб. Банковский учет (учет векселей).

Дисконтирование часто применяется при операциях по так назы­ваемому учету векселей банком или другими финансовыми учрежде­ниями.

Рассмотрим наиболее распространенную ситуацию, когда вла­делец векселя на сумму (сумма к погашению, номинал) предлагает банку раньше срока оплаты купить у него вексель.

Такая покупка векселя у владельца до наступления срока оплаты по цене, меньшей той суммы, которая должна быть выплачена по век­селю в конце срока (меньше номинала), называется дисконтированием (учетом) векселя. Сумма, которую получает векселедержатель при досрочном учете векселя, называется дисконтированной величиной векселя.

Таким образом, векселедержателю досрочно выплачивается обозначенная в векселе сумма за вычетом определенных процентов, удерживаемых банком в свою пользу и называемых дискон­том. В данном случае дисконт представляет собой проценты, начис­ленные за время от дня дисконтирования до дня погашения век­селя. Если банком объявлена ставка дисконтирования (учетная ставка)d, то величина дисконта составитD=FV*n*d, а владелец век­селя получит на руки суммуPV=FV-FV*n*d=FV(1-n*d)

Если продолжительность финансовой операции по учету векселя меньше года, то формула для определения дисконтированной стои­мости векселя имеет следующий вид:

.

Из приведенных формул видно, что величина дисконта пропор­циональна времени и ставке дисконтирования. Естественно, что чем выше значение ставки дисконтирования, тем большую сумму удержит банк в свою пользу. Учет векселя чаще всего осуществляется спосо­бом 365/360.

Пример. Векселедержатель предъявил 13.09 для учета вексель на сумму 50 тыс. руб. со сроком погашения 28.09. Банк согласился учесть вексель по учетной ставке 30% годовых. Определить сумму, которую векселедержатель получит от банка.

тыс. руб.

Разность между номинальной и дисконтированной величиной векселя представляет собой комиссионные, удерживаемые банком в свою пользу, в данном случае 625 руб.

В финансовых сделках возможны ситуации, когда вексель пре­дусматривает начисление простых процентов на сумму по обязатель­ству по процентной ставке. В этом случае при учете векселя исходят из наращенной к сроку погашения векселя суммы.

Пример. Вексель на сумму 10 тыс. руб. был выдан на 150 дней, при этом предусматривалось начисление на указанную сумму простых процентов по ставке 16% годовых способом АСТ/АСТ. За 80 дней до срока погашения вексель вексель был учтен банком по учетной ставке 15% годовых способом 365/360. Определить дисконт, полученный банком.

Сумма, которая должна быть выплачена предъявителю векселя при его погашении: тыс. руб.

Комиссионные банка: тыс. руб.

Наращение по учетной ставке.

В финансовых операциях иногда рассматриваются задачи, об­ратные банковскому дисконтированию. Пусть от учета капитала по учетной ставкеза времябыла получена сумма. Требуется определить величину. Задачи такого типа возникают, например, при определении суммы, которую надо написать на векселе, если задана текущая вели­чина долга.

Пример. За вексель, учтенный за полтора года до срока по дис­контной ставке 8%, заплачено 2,2 тыс. руб. Определить номинальную величину векселя.

тыс. руб.

Приращение капитала на основе простой учетной ставки вычис­ляется о формуле:

.

Из приведенной формулы видно, что приращение капитала на основе простой учетной ставки не пропорционально ни времени фи­нансовой операции, ни ставке дисконтирования.

В данном случае величина является множителем наращения. Этот множи­тель равен индексу роста капиталаза время финансовой опера­ции и является обратной величиной коэффициента дисконтирования.

При наращении капитала на основе простой процентной ставки капитал ежегодно увеличивается на одну и ту же величину . Если же наращение осуществляется на основе простой учетной ставки, то величина начисляемых процентов с каждым годом увеличи­вается.

Пользуясь формулой , запишем приращение капи­талаза каждый год финансовой операции.

За первый год исходный капитал увеличится на величину:

.

За два года капитал увеличится на , и, следовательно, его приращение за второй год составит:

.

За три года исходный капитал увеличится на величину и, следовательно, его приращение за третий год составит:

и т.д.

Следовательно, за годкапитал увеличится на ве­личину:

.

Пример. На капитал в 3 млн. руб. в течение 5 лет осуществля­ется начисление простыми процентами по учетной ставке 12%. Найти наращение первоначального капитала за каждый год и общую нара­щенную сумму.

Общая наращенная сумма составит млн. руб.

Приращение исходного капитала за 5 лет млн. руб.

Приращение капитала за каждый год финансовой операции:

млн. руб.

млн. руб.

млн. руб.

млн. руб.

млн.руб.

Просуммировав приращение капитала за каждый год финансо­вой операции, получим 4,5 млн. руб.

Для рассмотренного примера найдем соотношение между годо­вой процентной и учетной ставками, которые обеспечивают через пе­риод времени получение одной и той же наращенной величиныиз начального капитала.

Поскольку и, то из равенства

путем несложных преобразований получими. В соответствии с этой формулой, процентная ставка, эк­вивалентная учетной ставке 12% годовых, составит 0,3 или 30%.

Значит, наращенная сумма составит:

млн. руб

.

Видим, что приращение составляет те же 4,5 млн. руб. Однако, ежегодное наращение будет равномерным и составлять 0,9 млн. руб. в год.

Определение срока ссуды и величины процентной ставки.

При заключении финансовых договоров часто приходится ре­шать не только задачи определения наращенной суммы или приведен­ной стоимости. Кроме этого может возникнуть необходимость в нахо­ждении других параметров, а именно, процентных и учетных ставок или срока финансовой операции.

Если заданы начальный капитал, наращенная сумма и процент­ная или учетная ставка, то срок ссуды находится по следующей фор­мулам:

или.

В этих формулах срок финансовой операции измеряется в годах. Если возникает необходимость определения срока финансовой опе­рации в других единицах времени (например, в днях, что часто бывает при использовании схемы простых процентов), то эти формулы при­мут соответственно вид:

и.

где - срок ссуды в днях;

- количество дней в году.

Пример. Необходимо определить время, за которое первона­чальный капитал в 3 тыс. руб. при простых процентах возрастет до 3,6 тыс. руб., если используется:

а) процентная ставка 10% годовых;

б) учетная ставка 15% годовых.

года игода или примерно 1 год и 40 дней.

Пример. На какой срок клиент может взять кредит в размере 4 тыс. руб. под простые проценты с условием, чтобы величина возвра­щаемой суммы не превышала 4,2 тыс. руб., если процентная ставка равна 12% годовых и в расчет принимаются точные проценты с точ­ным числом дней?

дня.

При оценке эффективности различных финансовых операций зачастую необходимо определить размер необходимой процентной или учетной ставки. Это необходимо в тех случаях, когда при заклю­чении финансового соглашения ставки не заданы в явном виде. В этом случае используются следующие формулы:

или;

или.

Пример. В финансовом договоре клиента с банком предусмот­рено погашение долга в размере 5,3 тыс. руб. через 90 дней при взя­том кредите в 5 тыс. руб. Определить доходность такой сделки для банка в виде годовых процентной и учетной ставок. В данной финан­совой операции банком используются обыкновенные проценты.

или

Пример. Вкладчик хочет положить на депозит 8 тыс. руб. и за 10 месяцев накопить не менее 9 тыс. руб. Определить требуемую про­стую процентную ставку, на основании которой вкладчик должен вы­брать банк для размещения своих средств, если в расчете применяются обыкновенные проценты и приближенное число дней.

или 15% годовых.

Тема 3

Наращение и дисконтирование с использованием схемы сложных процентов

Если инвестиция сделана на условиях сложного процента, то очередной годовой доход исчисляется не с исходной величины инве­сти­руемого капитала, а с общей суммы, которая включает также ранее начисленные, но не востребованные инвестором проценты. В этом случае имеет место капитализация процентов по мере их начисления, так как база, с которой начисляются проценты, все время возрастает.

Таким образом, на протяжении срока финансовой операции размер инвестированного капитала будет равен:

к концу первого года: ;

к концу второго года: ;

и так далее …

к концу n-го года:

Это равенство называется формулой наращения по сложным процентам; множитель- множителем наращения сложных процентов;- коэффициентом наращения.

Согласно формулы сложных процентов приращение капитала составит:

.

Формула наращения по сложным процентам является одной из базовых фор­мул в финансовых вычислениях, поэтому для удобства пользования составлены специальные таблицы для определения в зависимо­сти от изменения значенийr и n. В этом случае формула алгоритма наращения по схеме сложных процентов трансформируется следую­щим образом:

где – мультиплицирующий множитель.

Экономический смысл множителя состоит в сле­дующем: он показывает, чему будет равна одна денежная единица черезnпериодов при заданной процентной ставкеr.

Рассмотренная формула предполагает, что измеряется в го­дах, аявляется годовой процентной ставкой. Однако эту формулу можно применять и при других периодах начисления. Необходимо только следить за соответствием длины периода и процентной ставки. Так, если базовым периодом начисления процентов является квартал (месяц), то и в расчетах должна использоваться квартальная (месячная) ставка.

Как и в случае начисления простых процентов, финансовое со­глашение может предусматривать плавающие процентные ставки и при наращении по сложным процентам.

Пусть - следующие друг за другом временные пе­риоды и на периодустановлена процентная ставка Тогда, учи­тывая капитализацию начисленных процентов при использовании схемы сложных процентов, наращенная сумма за времяоп­ределяется по формуле:

Обозначим тогда формула для определения наращенной стоимости примет вид:

Таким образом, в течение всего периода финансовой операции можно установить сложную ставку , приводящую к такому же ре­зультату, как и с использованием переменных ставок.

Пример. Предприниматель получил в банке ссуду в размере40тыс. руб. сроком на7лет на следующих условиях: для первого года процентная ставка равна 15% годовых, на следующие два года устанавливается маржа в размере 0,8% и на следующие годы маржа равна 0,9%. Найти сумму, которую предприниматель должен вернуть в банк по окончании срока ссуды.

тыс.руб.

Такая же величина наращенной суммы получится, если в течение 6 лет проценты будут начисляться по средней процентной ставке за весь период финансовой операции.

или 10,48%.

тыс. руб.

Достаточно часто заключаются финансовые контракты, продолжительность которых отличается от целого числа лет.

В этом случае проценты могут начисляться с помощью следующих двух методов:

 по схеме сложных процентов:

 по смешанной схеме (используется схема сложных процентов для целого числа лет и схема простых процентов для дробной части года):

где w- целое число лет;

f- дробная часть года.

Пример. Банк предоставил ссуду в размере50тыс. руб. на42мес. под16% годовых на условиях ежегодного начисления процентов. Какую сумму предстоит вернуть банку по истечении срока?

По схеме сложных процентов:

тыс. руб

По смешанной схеме:.

тыс. руб.

Таким образом, в данном случае смешанная схема приводит к большей величине наращенной суммы.

При проведении финансовых операций важно знать,как соотносятся между собой величины сумм, наращенных по схеме простых и схеме сложных процентов.

Для ответа на этот вопрос сравним множители наращения по простым и сложным процентам, т.е. сравним и. Очевидно, что приn=1 эти множители совпадают и равны1+r. Для любых значенийnсправедливы следующие неравенства:

1) ,если

2) ,если

Таким образом, в случае ежегодного начисления процентов для лица, предоставляющего кредит:

 более выгодной является схема простых процентов, если срок ссуды менее одного года (проценты начисляются однократно в конце периода);

 более выгодной является схема сложных процентов, если срок ссуды превышает один год (проценты начисляются ежегодно);

 обе схемы дают одинаковый результат при продолжительности периода 1 год и однократном начислении процентов.

При заключении финансовых контрактов зачастую необходимо определить время, которое необходимо для увеличения первоначальной суммы PVвkраз при заданной доходностиrв случае использования схемы простых и схемы сложных процентов:

 для простых процентов из равенства получаем:

 для сложных процентов из равенства получаем

Из этих формул можно, например, найти период, за который происходит удвоение капитала при заданной процентной ставке. Полагая k=2, соответственно получим:для простых процентов, и.

В практических расчетах при заключении финансовой сделки для быстрой оценки эффективности предлагаемой ставки процентов при реализации схемы сложных процентов зачастую пользуются приблизительным расчетом периода времени, необходимого для удвоения инвестируемой суммы. С этой целью используются несколько эмпирических приближенных формул:

 «правило 72». Суть правила заключается в том, что, если – rпроцентная ставка, выраженная в процентах, тоnпредставляет собой число периодов, за которое исходная сумма приблизительно удвоится. Здесь необходимо обратить внимание на то обстоятельство, что, если в большинстве финансовых расчетов используется процентная ставка, выраженная десятичной дробью, то в алгоритме формулы «правило 72» ставка взята в процентах.

 «правило 69». Алгоритмом вычисления удвоенной суммы в данном случае является . Заметим, что, как и в предыдущем правиле, размер процентной ставки выражается в процентах.

При использовании этих правил необходимо помнить, что при их применении речь идет о периодах начисления процентов и соответствующей данному периоду ставке. Например, если длительностью финансовой операции является половина года, то в расчете должна использоваться полугодовая процентная ставка.

Пример.Необходимо определить период времени, в течение которого исходный инвестированный капитал удвоится при процентной ставке, равной 17% годовых.

 «правило 72» : лет.

 «правило 69» : года.

 точная формула: года.

Как показывает практика, вышерассмотренные правила хорошо срабатывают для небольших значений процентной ставки, где-то до 20%.

Внутригодовые процентные начисления.

В практике финансовых соглашений часто встречаются ситуации, когда капитализация процентов происходит несколько раз в году – по полугодиям, ежеквартально, ежемесячно и даже ежедневно. Это может иметь место при заключении депозитных договоров, при получении банковского кредита, в акционерных обществах при выплате дивидендов и т.п.

В этом случае формула для нахождения наращенного капитала за nлет приm–кратном начислении процентов в год имеет следующий вид:

где n – количество лет финансовой операции;

m – количество начислений процентов в год;

r– годовая процентная ставка.

Пример.

В банк вложены деньги в сумме 5 тыс. руб. на два года с полугодовым начислением процентов под 20% годовых.

тыс. руб.

Пример. В условиях предыдущего примера проанализирвать, изменится ли величина капитала к концу двухлетнего периода, если проценты будут начисляться ежеквартально.

тыс. руб.

Из приведенных примеров можно сделать два простых практических вывода:

при начислении сложных процентов 12% годовых не эквивалентны 1% в месяц;

чем чаще идет начисление по схеме сложных процентов, тем больше накопленная сумма.

В зависимости от частоты начисления процентов, наращение суммы осуществляется различными темпами, причем с возрастанием частоты начисленная сумма увеличивается. Максимально возможное наращение осуществляется при бесконечном дроблении годового ин­тервала.

Что же касается темпа прироста накопленной суммы, то с ростом частоты начисления процентов она постепенно уменьшается.

Пример.

Рассчитать накопленную сумму для различных вариантов начисления сложных процентов за один год, если исходная сумма равняется 1000 руб. а годовая процентная ставка 10%.

Частота начисления	Наращенная сумма	Наращение базисное	Наращение цепное
Ежегодное	1100,00	-	-
Полугодовое	1102,50	+2,5	+2,5
Квартальное	1103,81	+3,81	+1,31
Ежемесячное	1104,71	+4,71	+0,90
Ежедневное	1105,17	+5,16	+0,45

При заключении финансовых контрактов возможны случаи, в которых начисление процентов осуществляется по внутригодовым подпериодам и продолжительность общего периода действия кон­тракта не равна целому числу подпериодов. В этом случае также воз­можно использование двух схем:

 схема сложных процентов:

2) по смешанной схеме:

где: – годовая процентная ставка;

- количество начислений в году;

- целое число подпериодов вгодах;

– дробная часть подпериода.

Пример.

Банк предоставил ссуду в размере 120 тыс. руб. на 27 месяцев под 16% годовых на условиях единовременного возврата основной суммы долга и начисленных процентов. Проанализировать, какую сумму предстоит вернуть банку при различных вариантах и схемах начисления процентов: а) годовое; б) полугодовое; в) квартальное.

Годовое начисление процентов.

 схема сложных процентов: тыс. руб.

 смешанная схема: тыс. руб.

Полугодовое начисление процентов.

В этом случае мы имеем дело с ситуацией, когда начисление процентов осуществляется по внутригодовым подпериодам, а продолжительность общего периода действия контракта не равна целому числу подпериодов. Значит, решаем задачу с параметрами:

;;;

 схема сложных процентов: тыс. руб.

 смешанная схема: тыс. руб.

Квартальное начисление процентов.

В этом случае параметры задачи: ;;, т.е. продолжительность ссуды равна целому числу подпериодов. Поэтому обе схемы дают один и тот же результат:

тыс. руб.

Определение срока ссуды и величины процентной ставки при использовании схемы сложных процентов.

Довольно часто в финансовой практике возникает необходимость рассчитать не только сумму денег, получаемую в результате начисления процентов, но и дополнительные параметры, связанные с этими расчетами, а именно: ставку прибыльности, время начисления процентов, количество раз начисления процентов в году.

Эти параметры легко выводятся из соответствующих формул для определения наращенной или приведенной суммы.

Мы помним, что будущая стоимость определяется по следующей формуле: С помощью логарифмирования получим:

или

Так как разница логарифмов двух чисел равняется логарифму частного от деления этих чисел, получаем формулу для определения срока финансовой операции в случае использования схемы сложных процентов:

.

Пример. За какой период времени сумма в 75 тыс. руб. увеличится до 200 тыс. руб. при начислении процентов по сложной процентной ставке 15% годовых?

лет или 7 лет и 6 дней.

Если необходимо определить срок финансовой операции при начислении сложных процентов mраз в году, то используется следующая формула:

Пример. За какой период времени первоначальный капитал в 50 тыс. руб. увеличится до 200 тыс. руб. , если на него ежеквартально будут начисляться сложные проценты по ставке 18% годовых?

года.

Для определения величины процентной ставки воспользуемся формулой наращения по сложным процентам . Преобразуем ее следующим образом:, или, откуда

Если начисление сложных процентов происходит раз в году, то для определения величины процентной ставки следует воспользоваться формулой:

Пример. Вкладчик хотел бы в течение 5 лет увеличить свой капитал с 2 тыс. руб. до 7 тыс. руб. Какую годовую номинальную процентную ставку должен предложить банк при начислении сложных процентов каждые полгода?

или 26,7%.

Дисконтирование с помощью сложной процентной ставки.

Оценивая целесообразность финансовых вложений в тот или иной вид бизнеса, обычно исходят из того, является ли это вложение более прибыльным при допустимом уровне риска, чем вложения в государственные ценные бумаги. С этой целью анализируются будущие доходы предпринимателя при минимальном (безопасном) уровне доходности. Основная идея, при этом, заключается в оценке будущих поступлений FV с позиций текущего момента.

При определении объекта финансового вложения инвестор, обычно, руководствуется тем, что:

1) происходит перманентное обесценение денег (действие инфляции);

2) темп изменения цен на сырье, материалы и основные средства, используемые предприятием, может существенно отличаться от темпа инфляции;

3) желательно периодическое начисление (или поступление) дохода, причем в размере, не ниже определенного минимума.

Исходя из сказанного, следует, что инвестор должен оценить, каким будут его доходы в будущем, какую максимально возможную сумму допустимо вложить в данное дело исходя из прогнозируемой его рентабельности.

Для такого анализа используется следующая формула:

,

где FV – доход, планируемый к получению вn– ом году;

PV – текущая (приведенная) стоимость, или оценка величиныFVс позиций текущего момента;

r– годовая процентная ставка.

Из приведенной формулы следует, что для инвестора сумма PV в данный момент времени и суммаFVчерезnлет будут одинаковы по своей ценности. Используя эту формулу, можно приводить к сопоставимому виду оценку доходов от инвестиций, которые ожидаются к поступлению в течение ряда лет.

Поскольку дисконтирование является одним из базовых процессов в финансовых взаимоотношениях, поэтому для определения приведенной стоимости планируемых в будущем доходов используются специальные таблицы, в которых PVопределяется в зависимости от заданных значенийrиn. В этом случае используется формула:

где: - дисконтный множитель.

Дисконтный множитель FM2 (r, n) показывает сегодняшнюю цену одной денежной единицы будущего, то естьчему с позиций текущего момента равна одна денежная единица, циркулирующая в сфере бизнеса, n периодов спустя от момента отсчета при заданной доходности и чистоте начисления процентов.

Значение дисконтного множителя убывает cсростом величины процентной ставки и длительности финансовой операции. Следовательно, при такого рода измененияхnиr, величина приведенной стоимости уменьшается.

Если условиями финансовой операции предусмотрено m–кратное начисление процентов, то приведенная стоимость определяется по формуле:

Пример. Из какого капитала можно получить 4 тыс. руб. через 5 лет наращением сложных процентов по ставке 12% годовых, если наращение осуществляется: а) ежегодно; б) ежеквартально?

 ежегодное начисление процентов:

тыс. руб.

ежеквартальное начисление процентов:

ты. руб.

Выполним по тем же данным расчет с помощью финансовых таблиц:

 ежегодное начисление процентов:

тыс. руб.

 ежеквартальное начисление процентов:

тыс. руб.

Используя ранее рассмотренные формулы можно приводить в сопоставимый вид оценку доходов от инвестиций, ожидаемых к поступлению в течение ряда лет. В этом случае процентная ставка в дисконтном множителе устанавливается инвестором и равна тому относительному размеру дохода, который инвестор хочет или может получить на инвестируемый им капитал.

Пример.

Что выгоднее: получить2,8 тыс. руб. через 3 года, или 2,9 тыс. руб. через 4 года, если можно поместить деньги на депозит под сложную процентную ставку 10% годовых?

Задача решается с позиции текущего момента.

тыс. руб. .тыс. руб.

Значит, с позиции текущего момента выгоднее получить 2,8 тыс. руб. через 3 года, т.к. 2,104 тыс. руб. больше, чем 1,981 тыс. руб.