8. Матрицы и определители.

8.1. Матрицы. Операции над матрицами (сложение, умножение на число, умножение). Свойства операций. Матричная алгебра.

8.2. Понятие определителя, минора, алгебраического дополнения. Различные методы вычисления определителей (правило треугольника, разложение по строке или столбцу, приведение к треугольному виду). Свойства определителей.

8.3. Обратная матрица. Теорема о единственности. Формула для вычисления. Критерий обратимости.

(1) гл.6 §1-3, 5; (2) §4-6, 13-15; (3) §26, 29-30, 38-39; (4) гл.4 §1.

9. Системы линейных уравнений. Понятие о частном и общем решении. Равносильность систем. Классификация систем по количеству решений. Теорема Кронкера-Капелли. Способ Гаусса решения систем линейных уравнений.

9.1. Понятие о системе линейных уравнений, общем и частном решении системы. Совместные, несовместные, определенные, неопределенные системы.

9.2. Элементарные преобразования систем линейных уравнений. Теорема об элементарных преобразованиях, применяемых к системе линейных уравнений.

9.3. Решение системы линейных уравнений способом Гаусса (способом последовательного исключения переменных). Три возможных случая. Теорема Кронекера-Капелли.

(1) гл.5 §2, 3; (2) §11; (3) §34.

10. Линейные операторы. Примеры и матричное представление. Матрицы линейных операторов в различных базисах. Собственные векторы и собственные значения линейного оператора.

10.1. Понятие оператора, линейного оператора. Примеры линейных и нелинейных операторов. Свойства.

10.2. Матрица линейного оператора. Теорема о взаимно-однозначном соответствии между линейными операторами и их матрицами. Действия над линейными операторами и их матричное представление. Оператор перехода от одного базиса к другому.

10.3. Собственные векторы и собственные значения линейных операторов. Определение. Характеристический многочлен линейного оператора. Метод вычисления собственных значений и собственных векторов линейных операторов. Приведение матрицы линейного оператора к диагональному виду.

(1) гл.8 §1-2, 5; (2) §31, 33.

11. Простые и составные числа. Бесконечность множества простых чисел. Каноническое разложение составного числа.

11.1. Определение простого и составного числа. Примеры. Теорема о наименьшем простом делителе составного числа. Решето Эратосфена. Теорема о бесконечности множества простых чисел.

11.2. Основная теорема арифметики (о разложении чисел в виде произведения простых множителей). Каноническое представление чисел. Примеры. Применение канонических представлений для нахождения НОД и НОК.

(1) гл.11 §1; (5) гл.2.

12. Сравнимость целых чисел по числовому модулю. Кольцо классов вычетов. Сравнения и их основные свойства. Полная и приведенная система вычетов.

12.1. Определение сравнимости целых чисел по данному натуральному модулю. Примеры. Свойства (достаточно доказать 1-2 свойства).

12.2. Определение класса вычетов по данному модулю. Теорема о кольце классов вычета (достаточно только сформулировать). Определения полной и приведенной системе вычетов. Примеры.

(1) гл.12 §1-3; (5) гл.7-9.

13. Линейные сравнения с одним неизвестным. Различные методы их решения. Теорема Эйлера и Ферма.

13.1. Понятие о полной и приведенной системе вычетов, о взаимно простых чисел. Определение функции Эйлера. Примеры вычисления функции Эйлера.

13.2. Понятие линейного сравнения с одним неизвестным. Исследование решения (случай, когда сравнение имеет единственное решение, не имеет решений, имеет несколько решений). Различные способы решения сравнений первой степени с одним неизвестным.

13.3. Теоремы Эйлера и Ферма. Их применение к решению сравнений.

(1) гл.12 §2-4; (5) гл. 9-11, гл.14.

14. Кольцо многочленов от одной переменной. Делимость в кольце многочленов.

14.1. Понятие о многочлене от одной переменной над произвольным кольцом.

14.2. Теорема о делении с остатком в кольце многочленов. Делимость многочленов. Основные свойства делимости.

14.3. Наибольший общий делитель двух многочленов. Теорема о существовании единственности. Алгоритмы Евклида. Наименьшее общее кратное двух многочленов. Свойства. Взаимно простые многочлены и их свойства.

(1) гл.14 §1-2; (2) §20-21, 47; (3) §7-8; (4) гл.1 §1, гл.2 §1.

15. Приводимые и неприводимые многочлены над различными полями.

15.1. Определение и примеры приводимых и неприводимых многочленов. Свойства (достаточно доказать одно). Многочлены, которые не являются ни приводимыми, ни неприводимыми.

15.2. Теорема о разложении многочлена в произведение неприводимых множителей, единственность.

15.3. Теорема о сопряженных корнях многочлена с действительными коэффициентами. Теорема о неприводимых над полем действительных чисел многочленах.

(1) гл.14 §2, гл.16 §2; (2) §48; (3) §9, 14; (4) гл.2 §2, гл.4 §3.

16. Корни многочлена. Теорема о количестве комплексных орней многочленов. Рациональные корни многочлена с целыми коэффициентами.

16.1. Понятие о корнях многочлена. Теорема Базу.

16.2. Алгебраическая замкнутость поля комплексных чисел (основная теорема алгебры и следствия из нее, достаточно доказать следствие о количестве комплексных корней многочлена). Теорема Виета.

16.3. Теорема о рациональных корнях многочлена с целыми коэффициентами.

(1) гл.16 §1, гл.17 §1; (2) §22-24; (3) §12-13, 17; (4) гл.1 §2, гл.4 §2, гл.5 §1.

Литература

1. Куликов Л.Я. Алгебра и теория чисел. – М.: Высшая школа, 1979. – 559 с.

2. Курош А.Г. Курс высшей алгебры. – СПб.: Лань, М.: Физматкнига. – 2007. – 432 с.

3. Окунев Л.Я. Высшая алгебра. – М.: Просвещение, 1996. – 336 с.

4. Винберг Э.Б. Алгебра многочленов. – М.: Просвещение. – 1980. – стр. 33-47.

5. Бухштаб А.А. Теория чисел. – М.: Просвещение, 1966 – 384 с.

6. Варпаховский Ф.Л., Солодовников А.С. Алгебра. – М.: Просвещение, 1974.

7. Дадаян А.А., Дударенко В.А. Алгебра и геометрия. – Минск: Высшая школа, 1989. – 288 с.

8. Виноградов И.М. Основы теории чисел. – М.: Наука, 1972. – 168 с.

9. Кострикин А.И. Введение в алгебру (в трех томах). – М.: Физматлит. – 2001.