Границя функції.

Нехай функція визначена в деякому околі Х точки (крім можливо самої точки ).

Число А називається границею функції при , якщо для довільного існує число таке, що для всіх, які задовольняють нерівність: , виконується нерівність .

Пишуть:

- - окіл точки

- - окіл точки А

Геометрично це означає: що будь – якій точці з - околу відповідає деяка точка з - околу.

Приклад. Довести, що .

З умови: .

Нехай задано число . Знайдемо таке число , що для всіх х, що задовольняють нерівність виконується нерівність.

1. 



2. тепер покажемо, що для будь – якого виконується

 , отже

Властивості границь.

Якщо кожна з функцій і має скінченну границю при , то справедливі формули:

1. 

2. 

3. 

4. 

5. 

Правила обчислення границь.

1. Якщо функція дробово – раціональна, то для знаходження границі чисельник і знаменник розкладають на множники, які потім скорочують, причому скоротитись повинен той множник, який обертається в нуль.

2. Якщо чисельник функції – стала величина, а границя знаменника дорівнює нулю, то границя такої функції є нескінченність.

3. Якщо функція містить знаки радикалів, то чисельник і знаменник помножають на вираз, спряжений до чисельника (знаменника), а потім застосовують формулу різниці квадратів. Вирази ; називаються спряженими.

4. Якщо функція містить корінь третього степеня, то чисельник і знаменник помножають на неповний квадрат суми або різниці, а потім застосовують формулу суми або різниці кубів.

5. Границя функції, яка представляє собою многочлен, при є нескінченність.

6. Границя на нескінченності дробово – раціональної функції, у якої степінь чисельника і знаменника однакові дорівнює відношенню коефіцієнтів при старших членах.

7. Границя на нескінченності дробово – раціональної функції, у якої степінь чисельника менша за степінь знаменника, дорівнює нулю.

8. Границя на нескінченності дробово – раціональної функції, у якої степінь чисельника більша за степінь знаменника, дорівнює нескінченності.

Нескінченно малі та нескінченно великі функції.

Функція називається нескінченно малою величиною при , якщо

Функція називається нескінченно великою величиною при , якщо

Властивості нескінченно малих величин:

1. Сума скінченного числа нескінченно малих величин є нескінченно мала величина;

2. Якщо при - нескінченно мала, то - нескінченно велика;

Якщо - нескінченно велика, - нескінченно мала;

3. Границя відношення постійної величини до нескінченно великої дорівнює нулю:

4. Границя відношення постійної величини до нескінченно малої дорівнює нескінченності:

Правила порівняння нескінченно малих величин.

Нехай і нескінченно малі величини при , тоді:

1. якщо , то і називаються нескінченно малими одного порядку;

2. якщо , то називається нескінченно малою вищого порядку, ніж ;

3. якщо , то називається нескінченно малою нижчого порядку, ніж ;

4. якщо , то називається нескінченно малою -го порядку відносно ;

5. якщо , то і називаються еквівалентними нескінченно малими ( );

6. якщо , при , то

Приклад. Довести, що функції і при є нескінченно малими одного порядку, якщо і .

Основні пари еквівалентних нескінченно малих функцій.

Приклад. Користуючись основними еквівалентностями, обчислити границю.

Важливі границі.

При обчисленні границь часто використовують такі границі:

- перша важлива границя;

Наслідки:

1. 

2. 

3. 

4. 

5. 

- друга важлива границя.

Наслідки.

1. 

2. 

Приклади. Обчислити границі.

1. 

2. 

Неперервність функції.

Функція називається неперервною в точці , якщо вона в цій точці визначена і нескінченно малому приросту аргумента відповідає нескінченно малий приріст функції: .

Функція називається неперервною в точці ,якщо виконуються слідуючи умови:

1. функція визначена в точці ;

2. існує границя функції в точці ;

3. значення функції в точці співпадає із значенням границі в точці .

Число А називається границею функції справа при , , якщо функція визначена у правому - околі точки , і для будь – якого знайдеться таке , що для всіх , взятих з інтервалу виконується нерівність .

Позначають

Число А називається границею функції зліва при , , якщо функція визначена у лівому - околі точки , і для будь – якого знайдеться таке , що для всіх , взятих з інтервалу виконується нерівність .

Позначають

Функція називається неперервною в точці ,якщо виконуються слідуючи умови:

1. функція визначена в точці і в деякому околі цієї точки;

2. існують односторонні границі і ;

3. односторонні границі рівні між собою і дорівнюють значенню функції в точці : ==.

Якщо функція при має розрив, то для виявлення характеру розриву знаходять односторонні границі. В залежності від поведінки функції в околі точки розриву розрізняють три основних види розриву.

Точка називається точкою розриву  роду, якщо

1. існують односторонні границі;

2. односторонні границі не рівні.

Точка називається точкою розриву  роду, якщо хоча б одна з односторонніх границь не існує або нескінченна.

Точка називається точкою усуненого розриву, якщо

1. існують односторонні границі;

2. односторонні границі рівні;

3. значення односторонніх границь не дорівнює значенню функції в точці .

Контрольні запитання.

1. Що називається послідовністю?

2. Що називається границею числової послідовності?

3. Що називається границею функції?

4. Сформулюйте властивості границь.

5. Сформулюйте та покажіть на прикладах правила обчислення границь.

6. Яка функція називається нескінченно малою, нескінченно великою?

7. Сформулюйте властивості нескінченно малих величин.

8. Сформулюйте правила порівняння нескінченно малих величин.

9. Назвіть основні пари еквівалентних нескінченно малих функцій.

10. Сформулюйте першу та другу важливі границі.

11. Яка функція називається неперервною в точці ?

12. Сформулюйте означення точок розриву.