7. Показательная форма комплексного числа

Если комплексному числу z = (cos j + i sin j), модуль которого равен 1, поставить в соответствие показательное выражение eⁱj, то получим соотношение

cos j + i sin j = eⁱj, (4)

которое называется формулой Эйлера.

Любое комплексное число z можно записать в виде z = reⁱj.

Эта форма записи комплексного числа называется показательной формой.

Итак, существуют три формы записи комплексного числа:

z = a + bi – алгебраическая форма; z = r (cos j + i sin j) – тригонометрическая форма; z = reⁱj – показательная форма.

Пример 12. Записать число

в показательной форме.

Решение. Здесь

Следовательно, показательная форма числа имеет вид

Возвышение в степень комплексных чисел

  Применяя формулу умножения комплексных чисел в случае n равных сомножителей, получаем правило возвышения комплексного числа в целую положительную степень:

[r (cosj + i sinj)]n = r n(cos n j + i sin n j),

(11)

т.е. для возвышения комплексного числа в целую положительную степень нужно его модуль возвысить в эту степень и аргумент умножить на показатель степени.   Полагая в формуле (11)  r = 1, получаем формулу Моавра:

(cosj + i sinj)n = (cos n j + i sin n j)

Извлечение корня из комплексного числа

  Корнем n-й степени из комплексного числа называется такое комплексное число, n-я степень которого равна подкоренному числу.   Таким образом, равенство:

равносильно равенству

rⁿ(cos ny + i sin ny) = r (cos j + i sin j)

  Но у равных комплексных чисел модули должны быть равны, и аргументы могут отличаться лишь кратным 2p, т.е.

rⁿ = r,     ny = j + 2kp,

откуда

где есть арифметическое значение корня и k - любое целое число. Таким образом мы получаем:

(16)

т.е. для извлечения корня из комплексного числа надо извлечь корень из его модуля, а аргумент разделить на показатель корня.   В формуле (16) число k может принимать всевозможные целые значения; однако можно показать, что различных значений корня будет только n, и они будут соответствовать значениям:

k = 0, 1, 2, ..., (n-1)

(17)

  Чтобы доказать это, заметим, что правые части в формуле (16) будут различными при двух различных значениях k = k₁ и k = k₂ тогда, когда аргументы и отличаются не кратным 2p, и будут одинаковыми, если указанные аргументы отличаются кратным 2p.   Но разность (k₁ - k₂) двух чисел из ряда (17) по абсолютному значению меньше n, а потому разность

не может быть кратна 2p, т.е. n значениям k из ряда (17) соответствуют n различных значений корня.   Пусть теперь k₂ - целое число (положительное или отрицательное), не заключающееся в ряде (17). Мы можем представить его в виде:

k₂ = qn + k₁

где q - целое число и k₁ - любое число из ряда (17), а потому

,

т.е. значению k₂ соответствует то же значение корня, что и значению k₁, заключающемуся в ряде (17). Итак, корень n-й степени из комплексного числа имеет n различных значений.   Исключение из этого правила представляет лишь частный случай, когда подкоренное число равно нулю, т.е. r = 0. В этом случае все указанные выше значения корня равны нулю.

Найти все значения корней:   а) ;   б) .

Решение.

а) Запишем комплексное число 1 в тригонометрической форме 1 = cos 0° + i sin 0°; затем по формуле (1), находим

Следовательно,

     при   k = 0;

     при   k = 1;

     при   k = 2;

     при   k = 3.

б) Записав комплексное число в тригонометрической форме

находим

Отсюда