11. Взаимное расположение плоскостей.

Возможны два случая взаимного расположения двух плоскостей в пространстве:

-Параллельны

-Пересекаться

Опр. Две плоскости в пространстве называются параллельными, если они не пересекаются, в  противном случаи они пересекаются.

Теорема 1: Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны.

Теорема2: Если плоскость проходит через прямую, перпендикулярную другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны.

Перпендикулярные плоскости: Две пересекающиеся плоскости называются перпендикулярными, если третья плоскость, перпендикулярная прямой пересечения этих плоскостей, пересекает их по перпендикулярным прямым.

12. Нормальное уравнение плоскости

Нормальным уравнением плоскости называется ее уравнение, написанное в виде

,

где  ,  ,   - направляющие косинусы нормали плоскости, p - расстояние от начала координат до плоскости, где    – углы между нормалью плоскости и осями координат    соответственно. При вычислении направляющих косинусов нормали следует считать, что она направлена от начала координат к плоскости (если же плоскость проходит через начало координат, то выбор положительного направления нормали безразличен).

 Определение. Вектор   перпендикулярен плоскости и называется ее нормальным вектором.

13. Общее уравнение прямой.

Прежде чем вводить общее уравнение прямой на плоскости введем общее определение линии.

Определение. Уравнение вида

F(x,y)=0 (1)

называется уравнением линии L в заданной системе координат, если этому удовлетворяют координаты х и у любой точки, лежащей на линии L, и не удовлетворяют координаты никакой точки, не лежащей на этой линии.

Степень уравнения (1) определяет порядок линии. Будем говорить, что уравнение (1) определяет (задает) линию L.

Определение. Уравнение вида

Ах+Ву+С=0 (2)

при произвольных коэффициентах А, В, С (А и В одновременно не равны нулю) определяют некоторую прямую в прямоугольной системе координат. Данное уравнение называется общим уравнением прямой.

14. Нормированное уравнение прямой

Пусть дана прямая l. Проведем через начало координат прямую n, перпендикулярную l. Пусть Р - точка пересечения прямых. Возьмем единичный вектор  .

 

         Выразим уравнение l через два параметра:

  и  угол  

         Пусть М(х,у) принадлежит l. Тогда проекция   на ось, определяемую вектором  , равна р, то есть при условии пр_n , так как   единичный вектор, то согласно определению скалярного произведения прn ,= . Так как  ,  а вектор  , то скалярное произведение имеет вид

.

         Следовательно, точка М принадлежит прямой l означает, что координаты этой точки удовлетворяют уравнению

                                                .                                         (1.8)

Это и есть нормированное уравнение прямой l.

15. Каноническое уравнение прямой

Каноническое уравнение получается из параметрическиx уравнений делением одного уравнения на другое:

Вывод:

где   — координаты   и   направляющего вектора прямой,   и   координаты точки, принадлежащей прямой.

Параметрические уравнения прямой

Параметрические уравнения прямой могут быть записаны в виде:

где   — производный параметр,   — координаты   и   направляющего вектора прямой.