4. Процедура получения оценок максимального правдоподобия

В основе метода максимального правдоподобия лежит исходное предположение о том, что “лучшим” оценкам a₀^*, a₁^*,..., a_n^* “истинных” значений параметров эконометрической модели ₀, ₁,..., _n должен соответствовать наиболее вероятный набор “фактических” значений ошибки е₁^*, е₂^*,..., е_T^*, рассматриваемых как “своего рода оценки” ее истинных значений ₁, ₂,..., _T и поэтому удовлетворяющих предположениям об iid-свойствах.

Таким образом, максимум произведения р(е₁)р(е₂)...р(е_Т) соответствует наиболее вероятному сочетанию значений _t, t=1, 2,..., T, обеспечиваемому “наилучшими” оценками параметров модели. При этом имеется в виду, что для произвольного набора значений фактической ошибки е₁,е₂,...,е_T произведение вероятностей р(е₁)р(е₂)...р(е_Т ) в данном случае выражает вероятность совместного распределения их значений, соответствующих определенному набору оценок параметров a₀, a₁,..., a_n.

С учетом этого, оценки параметров эконометрической модели могут быть получены в результате максимизации целевой функции следующего вида:

по известным значениям зависимой переменной у_t и матрице значений независимых факторов Х размера Т(п+1).

y = Х = , (2.110)

Оптимальные значения оценок параметров a₀^*, a₁^*,..., a_n^* и дисперсии фактической ошибки _e², соответствующие ее максимуму, должны обеспечивать и максимум ее логарифма. Иными словами, при определении значений этих оценок можно решать задачу максимизации

В условиях независимости разновременных ошибок _t и _t–i

Оптимальные значения a₀^*, a₁^*,..., a_n^* и _e² в этом случае могут быть найдены путем решения системы из п+2 дифференциальных уравнений в частных производных по этим параметрам:



В векторно-матричной форме:

у=Х+, (2.113)

вектор ошибки можно представить в виде:

=у –Х, (2.114)

а последнее слагаемое в выражении (2.111) записать как скалярное произведение вектора ошибки строки на ее столбец. С учетом этого

(у–Х)(у –Х). (2.115)

Дифференцируя выражение (2.115) по неизвестному вектору параметров  и по неизвестной дисперсии ошибки _², получим следующую векторно-матричную форму записи системы (2.112):

l/ = (– Ху+ ХХ)=0;

l/_²= (у –Х)(у –Х)=0. ^(2.116)

Поскольку _²0, из первого уравнения системы (2.116) непосредственно получаем вектор оценок ММП коэффициентов линейной эконометрической модели в следующем виде:

a^*=a=(ХХ )^–1Ху, (2.117)

а из второго – оценку ММП дисперсии ошибки эконометрической модели:

_е² = (у –Хa)(у –Хa)=

31