V. Основные положения метода эффективных полюсов и нулей

Метод эффективных полюсов и нулей (МЭПН) ориентирован на преимущественное использование ЭВМ для решения задач проектирования САР. Метод позволяет решать задачу оптимизации на ЭВМ заданного критерия качества при наличии большого количества ограничений и варьируемых параметров. Метод имеет достаточно простые алгоритмы, что создает возможность не трудоемко выполнить ручные расчеты показателей качества процессов для определения исходных значений параметров элементов САР, используемых далее для расчетов на ЭВМ.

Расчеты с использованием МЭПН являются приближенными. Погрешности могут достигать 10-30%. Поэтому на заключительном этапе расчета требуется численное моделирование процессов.

Исходной предпосылкой к применению метода является выполнение требования по колебательности системы . Данное требование имеет вид

₍₂₀₎

Колебательность характеризует запас устойчивости САР и связана с расположением корней характеристического уравнения на комплексной плоскости (рис.11):

(21)

где - угол, внутри (и на границах) которого расположены все корни характеристического уравнения системы.

На рис.11 показано расположение четырех корней условной системы

Область изменения параметров элементов системы, где требование (20)

выполняется, называется рабочей областью.

Рис.11. Схема расположения корней

VI. Расчет границ рабочей области

Рабочей является область изменения параметров элементов системы,

внутри которой выполняется требование по запасу устойчивости. Так как

переменных параметров в системе может быть много, то рабочая область в

общем случае ограничивается многомерной поверхностью. Если переменных

параметров два, то рабочая область будет представлять собой часть плоскости.

Именно такой случай имеет место в данном курсовом проекте. Указанная часть

плоскости располагается в системе координат, в которой по одной из осей (ось

ординат) откладывается коэффициент усиления системы , а по другой оси

тот параметр, который наибольшим образом влияет на показатели переходного

процесса. Таким параметром в данном проекте является постоянная времени

корректирующего элемента. Расположение рабочей области в системе

координат ограничивается линиями, называемыми границами. Количество

таких линий-границ зависит от порядка характеристического уравнения

системы. Для системы третьего порядка (19) таких линий-границ четыре.

Математически они представляются следующими соотношениями:

(22)

В этих соотношениях знак равенства предназначен для описания линий-границ,

а знак неравенства – пространству с той стороны кривой, где выполняются

требования по запасу устойчивости.

Перед началом работы с соотношениями (22) целесообразно определить

численные значения параметров, образующих коэффициенты уравнения (19).

Для этого должны использоваться исходные данные – параметры

гидравлической емкости для номинального режима:

, м	,м		г/с	г/г	г/г	ρ, г/л
4,1	0,3	0,30	280	1,1	0,09	1000

Данные характеристик регулирующего органа: ,

В учебном пособии [1] приведены формулы для расчета параметров. Так,

формулы для определения постоянной времени объекта управления имеют

вид:

(23)

Формула для определения площади проходного сечения вентиля на номинальном режиме получена из уравнения равновесного режима. Коэффициент расхода учитывает влияние местных сопротивлений, .Для выполнения расчетов целесообразно привести размерности к системе СИ. Выполняем расчет по формулам (23):

Далее необходимо рассчитать постоянные параметры, входящие в состав

коэффициента передачи разомкнутой системы (16). Переменным параметром

здесь является коэффициент усиления электронного усилителя. Коэффициент

_{усиления магнитного усилителя задается}

Методика достаточно проста, поэтому здесь расчет этого коэффициента не

выполняется, а задается. На схеме (рис. 2) выходным сигналом измерителя

является напряжение U_h. Выходным сигналом датчика уровня (сильфонного

типа) является линейное перемещение свободного конца сильфона.

Следовательно, на схеме (рис. 2) в состав измерителя введена еще и мостовая

_{электрическая измерительная схема. С учетом этого}

(0.009 – коэффициент передачи сильфона, 100 – коэффициент передачи

мостовой измерительной схемы).

Следующими постоянными параметрами являются коэффициент

передачи объекта управления и коэффициент передачи регулирующего

органа . В пособии [1] приводятся формулы для расчета этих коэффициентов:

_{Для определения kPO необходимо вычислить:}

_{Далее рассчитываем величину kPO:}

Для расчета параметров k_ДВ и k_Ред необходимо знать параметры двигателя. В системах регулирования обычно применяют двигатели постоянного тока с независимым либо другим типом возбуждения. Для выбора двигателя пользуются таблицами, размещаемыми в справочной литературе [1]. Выбор двигателя осуществляют по требуемой мощности, которая рассчитывается по формуле

_{где MCT – момент статического сопротивления нагрузки, кг*м,}

n_PO – максимальная частота вращения оси регулирующего органа, об/мин.

P – мощность двигателя, Вт.

Момент M_СТ прикладывается к оси регулирующего органа, т. е. к вентилю для его вращения. Поэтому для определения величины момента необходимо знать марку вентиля. Марка вентиля также определяется по справочной литературе. В этой литературе приводятся расходные, геометрические и др. характеристики в том числе и величина M_СТ. Чтобы воспользоваться справочником, необходимо знать максимальный расход жидкости через вентиль. В данной работе таким расходом является величина уноса жидкости тканью из рабочей емкости

_{Для принятых исходных данных}

Если расход жидкости изменяется в пределах (0,2 ÷ 0,6) м³, то величину

M_СТ можно выбирать из диапазона (1,5 ÷ 2,5) кг·м. Максимальная частота

вращения регулирующего органа n_РО рассчитывается по формуле

_{где m – количество оборотов вентиля, совершаемого за время переходного процесса tп, m=0,2φmax.}

_{Время переходного процесса tп = 25 с., то с учетом φmax = 10 об}

_{Принимаю MCТ = 2кг*м, то по формуле можно рассчитать мощность двигателя}

В приложении пособия [1] данной мощности соответствует двигатель

постоянного тока независимого возбуждения СЛ-221. Двигатель имеет

следующие характеристики:

Номинальное напряжение В 110

Полезная мощность Вт 13

Скорость вращения 3600

Ток якоря, А 0,35

Ток обмотки возбуждения, А 0,05

Момент на волу, 0,035

Сопротивление якоря, 115

Сопротивление обмотки 2040

возбуждения, Ом

Пусковой момент, 0,105

Момент инерции, 0,014

Вес, кг 1,2

_{Теперь рассчитываю оставшиеся коэффициенты передач kДВ и постоянную время двигателя TДВ. Для расчета kP необходимо определить передаточное число редуктора i.}

_{где nPO– скорость вращения регулирующего органа.}

_{Коэффициент передачи}

_{Коэффициент передачи двигателя}

_{Постоянная времени двигателя}

_{Рассмотрим содержание коэффициентов уравнения (19) с учетом полученных численных значений параметров:}

_где

Для упрощения расчетов можно пренебречь малыми слагаемыми в составе первых двух коэффициентов. В результате получатся следующие выражения для коэффициентов уравнения (19):

₍₂₄₎

_{Введем обозначения:}

₍₂₅₎

С учетом коэффициентов К₁–К₅, выражения (24) приобретают простой и

удобный для расчета границ рабочей области вид

₍₂₆₎

Далее можно получить уравнения границ рабочей области. Для этого

необходимо использовать неравенства (22) и выражения (26). Уравнения имеют

вид

₍₂₇₎

Выражения (27) становятся уравнениями границ рабочей области при

замене знака «меньше или равно» на знак «равенства». Видно, что границ

должно быть четыре. Ранее уже указывалось, что рабочая область строится в

плоскости изменения двух параметров k_ЭУ и Т_ОС. Следовательно, для расчета

кривых, отражающих границы рабочей области необходимо наметить

некоторый диапазон изменения параметра Т_ОС. Затем этот диапазон разбить на

равные интервалы и для каждой точки, разделяющей смежные интервалы по

формулам (25) и (27) вычислить соответствующие им значения коэффициента

k_ЭУ. Далее строятся кривые и определяется рабочая область.

Выполним расчет рабочей области для рассматриваемого варианта

исходных данных. Расчет начнем от формул (25), так как все необходимые

расчеты до этого были уже выполнены. Напомним, что ранее было задано

k_МУ = 100. В результате получены следующие значения коэффициентов

(28)

Диапазон изменения постоянной времени корректирующего элемента Т_OC

может быть достаточно большим. Однако, при выборе диапазона необходимо

ориентироваться на заданную величину времени переходного процесса – t_п. В

данном задании t_п = 25 с. Поэтому диапазон изменения постоянной Т_ОС не

_{должен превышать 9} с.

На рис. 12 представлена рабочая область. Рабочая область образована кривыми k_ЭУ1 , k_ЭУ4 и осью ординат. Кривая k_ЭУ3 своим «зубцом» вошла в рабочую область и незначительно ее уменьшила. В рабочей области размещена кривая

ρ = 1, разделяющая ее на подобласти с апериодическими и колебательными переходными процессами. Для определения подобластей, в которых ρ > 1 или

ρ < 1 необходимо выполнить пробный расчет, в одной из них, значения ρ по формуле

(29)

Рис.12. Рабочая область

Расчет показал, что в подобласти выше кривой ρ < 1, следовательно, здесь

переходные процессы апериодические.

При определении места расположения рабочей точки в рабочей области

необходимо учитывать желаемую форму переходного процесса и время его

завершения – t_пп. Предположим, что требуется апериодическая форма

переходного процесса. В этом случае время переходного процесса будет

соответствовать (с точностью метода 10-30%) величине, рассчитанной по

формуле

С учетом (25)

После подстановки в последнее выражение k_МУ = 100 формула для расчета времени переходного процесса приобретает вид

Анализируя эту формулу, можно заметить, что первое слагаемое в ней

практически не формирует время t_пп, так как в рабочей области величина

коэффициента усиления k_ЭУ находится в диапазоне . Второе же

слагаемое вносит существенный вклад в формирование времени переходного

процесса. Если принять k_ЭУ=10⁸ и t_п = 25 c, то окажется, что величина постоянной времени T_OC=8,3 с. Координаты k_ЭУ=10⁸, T_OC=8,3 с определяют место расположения рабочей точки в рабочей области.

Данные k_ЭУ=10⁸, T_OC=8,3 с и (28) позволяют по формулам (25) и (26) рассчитать коэффициенты уравнения движения системы (19). Результаты расчета:

Для получения переходного процесса необходимо численно решать

уравнение системы. Для численного решения применяется метод Рунге Кутта.

Метод широко известен, характеризуется высокой точностью и устойчивостью

решений. Для решения можно самостоятельно сделать программу. Однако в настоящее время широко распространены информационные системы МАТLAB

и MathCAD, в которых уже разработаны функции (решатели), предназначенные

для решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений.

Это такие решатели как ode23, ode45, ode15 (MATLAB) и др. Преимуществом

решателей является малый объем подготовительной работы и простота применения.

При любом варианте решения требуется уравнение системы

представить в форме Коши. Рассмотрим, какие действия при этом необходимо

выполнить. Пусть уравнение системы имеет вид

(30)

Представим данное уравнение в форме Коши. Для этого запишем его в виде

(31)

Выражение (31) запишем относительно старшей производной yp³

Далее обозначим y = y₁ и запишем систему в виде

(32)

Система (32) представляет собой запись уравнения (30) в форме Коши.