1.6. Способы нахождения возможных перемещений
Поскольку
обобщённые координаты между собой
независимы, то каждую из них можно
изменять, оставляя остальные неизменными.
Если таким способом мысленно бесконечно
мало изменять положение системы, то
получим её различные возможные
перемещения. Естественно, что при этом
и точки системы будут получать какие-то
свои возможные перемещения. Все они
называются частными
возможными перемещениями
точек, происходящими от изменения одной
из обобщённых координат и обозначаются
и т.п. Индексы 1, 2 и т.д. указывают порядковый
номер той обобщённой координаты
,
которая изменяется на бесконечно малую
величину
и т.д. Конечно, можно дать системе
возможное перемещение сразу изменив
несколько или все
.
В реальных условиях действительные
перемещения системы и её точек происходят,
как правило,
при одновременном изменении всех
обобщённых координат на
и т.д. Такие
действительные перемещения точек
системы представляют собой полные
дифференциалы функций S
независимых переменных (по числу степеней
свободы):
,
(1.6)
в
которых слагаемыми являются частные
дифференциалы функций
Аналогично вычисляются и полные возможные перемещения точек системы:
(1.7)
В отличие от полных и частных дифференциалов функции S переменных они называются полными и частными вариациями этих функций.
Найдём,
например
в примерах, рассмотренных выше.
Кривошипно-ползунный механизм (см. рис. 1.11)
Пусть
.
Тогда, варьируя функции
,
получаем:
;
;
Аналогично находим вариации декартовых координат точек эллиптического маятника (см. рис. 1.12). Варьируя функции (г), (д), (е), получим:
;
;
.
Рассмотренный приём вычисления возможных перемещений точек (путём варьирования функций) является аналитическим. Его легко реализовать на компьютерах, предварительно записав сами функции, которые подвергаются этой операции.
Существует и геометрический способ. Он обладает большей наглядностью, но надо быть очень аккуратным в построениях и соответствующих вычислениях. Кроме этого обязательным является хорошее знание кинематики. С этими приёмами более подробно мы познакомимся при рассмотрении принципа возможных перемещений и при решении задач с его применением.
2. Принцип возможных перемещений
2.1. Идеальные связи
До сих пор из множества связей, накладываемых на точки и тела, мы рассматривали такие, которые характеризовали только геометрические и отчасти кинематические ограничения движений. К ним относились геометрические стационарные удерживающие связи. И в дальнейшем мы будем рассматривать только такие связи, но дополним их свойство таким, которое учитывает динамический характер взаимодействия тела и связи.
В статике действие связи учитывалось при помощи понятия «сила реакции связи». Здесь же мы рассматриваем перемещения несвободных точек, тел, систем. Действие любой силы на каких-то перемещениях точки её приложения оценивается работой этой силы. Встаёт вопрос: а совершают ли работу силы реакции, как её подсчитать? В реальных условиях, конечно же, силы реакции совершают работу. Например, работа сил упругости пружины при её деформировании, работа сил трения при скольжении тел по негладким поверхностям, работа сил сопротивления перекатыванию тел. В одних случаях они выполняют положительную роль, в других – отрицательную с точки зрения реализации тех или иных требуемых движений. Но есть и такие связи, реакции которых никакую работу не совершают или ею можно практически пренебречь. Например, в случае достаточно гибкой и практически нерастяжимой нити.
Условимся в дальнейшем рассматривать только такие связи, у которых силы реакции работу не совершают. Такие связи называются идеальными. К ним относятся гладкие (без трения) поверхности; стержневые связи с идеальными шарнирами; нерастяжимые нити. Конечно, в реальных условиях таких связей нет: невозможно полностью освободиться от действия сил трения, от сил упругости и т.п. Но можно перевести их в разряд активных сил, например, таких, как сила тяжести, и учитывать их действие наравне с действием других заданных сил.
Итак, все связи в дальнейшем будем считать идеальными, т.е. такими, что работа их сил реакции на любом возможном перемещении точки (тела, системы) равна нулю.