Методичка в РГР по основам автоматики

Требуется

1.Определить полосу пропускания замкнутой системы (в Гц) по ее амплитудно-частотной характеристике при ξ = 0,3 и двух значе-

ниях частоты собственных колебаний ω0 = 1 рад/с и ω0 = 1,5 рад/с.

2.Исследовать зависимость показателя колебательности M p от коэффициента затухания ξ с помощью компьютера, полагая ksi=0.1:0.01:0.707.

3.С помощью компьютера построить диаграмму Боде (ЛАЧХ) для

двух значений частоты ω0 = 10 рад/с и ω0 = 100 при ξ = 0,3 . Сделать выводы об устойчивости замкнутой системы.

4.С помощью компьютера построить переходные функции для двух значений частоты ω0 =10 рад/с и ω0 =100 при ξ = 0,3 .

Оценить показатели качества переходных процессов и влияние на них параметров системы.

5. С помощью компьютера построить переходные функции для двух значений коэффициента затухания ξ = 0,3 и ξ = 0,707 при

ω0 = 10 рад/с. Оценить показатели качества переходных процессов

и влияние на них параметров системы. Как влияет полоса пропускания на перерегулирование и время максимума переходной функции? На быстродействие?

6. Исследовать переходные процессы путем моделирования систе-

мы в Simulink.

Методические рекомендации

1. Амплитудно-частотные характеристики замкнутой системы для двух значений частоты собственных колебаний ω0 =1 и

ω0 =1,5 можно получить с помощью программы:

>>w=0:0.05:3; omega0=[1 1.5]; for k=1:2

ksi=0.3;

phinum=[omega0(k)^2]; %числитель передаточной функции phiden=[1 2*ksi*omega0(k) omega0(k)^2]; %знаменатель

2

phijomega=freqs(phinum,phiden,w); %АФЧХ. phimag=abs(phijomega); %АЧХ logmag=20*log10(phimag); %ЛАЧХ plot(w,logmag);

title('Frequency Response of phi(s) ') xlabel('Omega, rad/s') ylabel('logmag, dB')

grid on hold on end

По найденным графикам АЧХ оценить влияние собственной частоты ω0 на полосу пропускания системы ωп. Зависит ли максимум АЧХ от частоты?

2. Поскольку система имеет второй порядок, то её коэффициент затухания однозначно связан с максимумом амплитудной характе-

ристики M p , который имеет место на резонансной частоте ωp . Полоса пропускания ωп характеризует способность системы правильно воспроизводить входной сигнал. Она определяется частотой ωп,

на которой амплитудно-частотная характеристика системы уменьшается на 3 дБ относительно её значения на низких частотах. Можно установить связь между резонансной частотой и полосой пропускания системы и скоростью нарастания её переходной функции. Так,

при увеличении полосы пропускания ωп будет уменьшаться время

нарастания переходной функции. Кроме того, относительное перерегулирование переходной функции можно связать с показателем

колебательности M p , который, в свою очередь, определяется коэффициентом затухания ξ . Можно показать, что зависимость максимума амплитудно-частотной характеристики M p от коэффициента затухания ξ определяется соотношением

Эту зависимость можно получить с помощью программы: >>ksi=0.1:0.01:0.707;

Mp=1./(2*ksi.*sqrt(1-ksi.^2)); plot(ksi,Mp);

title('Mp of ksi ') xlabel('ksi') ylabel('Mp') grid on

3

Установить, как влияет величина резонансного пика M p на вели-

чину перерегулирования. Полоса пропускания системы ωп лишь приблизительно может быть связана с собственной частотой колебаний ω0 . Показать, что чем больше значение ωп при ξ = const , тем

быстрее переходная функция достигает установившегося значения. Желательно, чтобы частотные характеристики системы удовлетворяли следующим требованиям:

1)максимум амплитудно-частотной характеристики должен быть достаточно малым, например, M p < 1,5;

2)полоса пропускания системы должна быть достаточно большой, чтобы постоянную времени τ =1/ξω0 можно было считать малой.

3.Диаграммы Боде строится по передаточной функции разомкнутой системы. Программа построения для двух значений частоты собственных колебаний может иметь вид:

>>omega0=[10 100]; ksi=0.3;

for i=1:2

W=tf([omega0(i)^2],[1 2*ksi*omega0(i) 0]); margin(W)

grid on hold on end

Заметим, что передаточную функцию разомкнутой системы можно также задать в программе в виде «нули-полюсы- коэффициент усиления», а именно:

W=zpk([ ], [0 -2*ksi*omega0], omega0^2);

4. Переходная функция строится по передаточной функции замкнутой системы. Программа построения переходной функции для двух значений частоты собственных колебаний и постоянном коэффициенте затухания может иметь вид:

>> omega0=[10 100]; ksi=0.3;

for i=1:2

sys=tf([omega0(i)^2],[1 2*ksi*omega0(i) omega0(i)^2]); step(sys)

grid on hold on end

4

5.Программа построения переходной функции для двух значений коэффициента затухания при постоянной частоте собственных колебаний может иметь аналогичный вид:

>> omega0=10; ksi=[0.3 0.707]; for i=1:2

sys=tf([omega0^2],[1 2*ksi(i)*omega0 omega0^2]); step(sys)

grid on hold on end

6. Для выполнения п. 6 необходимо построить схему моделирования системы в Simulink (рис. 2).

Рис. 2. Схема моделирования системы второго порядка

Перед началом моделирования (Start simulation) необходимо ввести в командном окне (Command Window) числовые значения параметров системы, например,

>>Ksi=0.3;

omega0=10;

и лишь затем запустить модель.

5

Тема 4

Вариант 1 – Долженко Д. п.2 и п.3: T = 1 с и T = 5 с.

Вариант 2 – Забутько А. п.2 и п.3: T = 0,1 с и T = 0,5 с.

Исследование полосы пропускания и динамических характеристик фильтра первого порядка

Полоса пропускания системы является удобным средством оценки того, насколько хорошо она отрабатывает внешние воздействия. Для систем, у которых коэффициент усиления на низких частотах равен 0 дБ, полоса пропускания определяется частотой, на которой коэффициент усиления принимает значение – 3дБ. Чем

больше полоса пропускания системы ωП, тем больше скорость на-

растания ее реакции на ступенчатый входной сигнал и тем меньше время переходного процесса. Поэтому при детерминированных сигналах элементы системы следует выбирать так, чтобы ее полоса пропускания была как можно больше.

На рис. 1 показана структурная схема фильтра первого порядка.

Рис. 1. структурная схема фильтра первого порядка

Задана передаточная функция фильтра:

Этой передаточной функции соответствует RC -фильтр, электрическая схема которого показана на рис. 2.

Некоторые расчеты в методических рекомендациях относятся только к варианту 1

1

i R

Рис. 2. RC -фильтр

Требуется:

1.Получить передаточную функцию RC -фильтра по заданной электрической схеме.

2.Определить полосу пропускания фильтра, Гц, с помощью диа-

граммы Боде для двух значений постоянной времени: T = 1 с и

T= 5 с.

3.С помощью компьютера построить переходные функции при T = 1 с и T = 5 с. Оценить показатели качества переходных процессов. Оценить влияние полосы пропускания на перерегулирование, время максимума переходной функции и быстродействие.

4.Исследовать переходные процессы путем моделирования фильтра в Simulink.

Методические рекомендации

1.Передаточную функцию RC -фильтра можно получить с помощью закона Кирхгофа с последующим преобразованием Лапласа.

2.Диаграмму Боде для двух значений постоянной времени можно получить с помощью программы:

>>T=[1 5]; for i=1:2

W=tf([1],[T(i) 1]); bode(W)

grid on hold on end

На полученном графике отметить полосу пропускания для каждого случая. Пересчитать эти значения из рад/с в Гц по формуле

fП = ωп2π .

2

3. Переходную функцию для двух значений постоянной времени можно получить с помощью программы:

>> T=[1 5]; for i=1:2

W=tf([1],[T(i) 1]); step(W)

grid on hold on end

В какой системе (с большей или с меньшей полосой пропускания) переходный процесс протекает быстрее? Оценить влияние полосы пропускания на величину перерегулирования и на время достижения максимума переходной функции.

4. Для выполнения п. 4 необходимо построить схему моделирования системы в Simulink (рис. 3).

Окна установки параметров блоков Step и Transfer Fcn показаны на рис. 4.

Время моделирования (Simulation stop time) задать равным 30. Перед началом моделирования (Start simulation) необходимо ввести в командном окне (Command Window) числовое значение по-

стоянной времени, например,

>>T=5;

и лишь затем запустить модель.

3

Тема 5

Вариант 1 – Мирошниченко О. п.2 и п.3: T = 1 с и T = 5 с.

Вариант 2 – Оганян А.

п.2 и п.3: T = 0,1 с и T = 0,5 с.

Исследование RLC-фильтра

Электрическая схема RLC-фильтр показана на рис. 1.

Требуется:

1.По электрической схеме получить уравнения фильтра и передаточную функцию.

2.По найденной передаточной функции построить частотные характеристики фильтра (диаграммы Боде и Найквиста).

3.Определить полосу пропускания фильтра.

4.Найти реакцию фильтра с помощью модели Simulink:

а) на ступенчатое входное воздействие: б) на линейное входное воздействие.

Методические рекомендации

1. Используя законы Кирхгофа для токов в узле и напряжений в контуре, получить дифференциальное уравнение, связывающее

выходное напряжение v(t) и ток источника i(t) = g(t). Применив

к полученному уравнению преобразование Лапласа показать, что передаточная функция RLC-фильтра имеет вид:

Некоторые расчеты в методических рекомендациях относятся только к варианту 1

4

разования Лапласа.

2. Диаграммы Боде и Найквиста можно получить с помощью функций bode и nyquist. Программа решения этой задачи может иметь вид:

>>R=3; L=1; C=0.5; b0=R/(L*C); a0=1/(L*C); a1=R/L;

W=tf([b0],[1 a1 a0]) >>bode(W)

grid on >>nyquist(W) grid on

3. Полоса пропускания фильтра ωП является удобным средст-

вом оценки того, в какой области частот он хорошо отрабатывает внешние воздействия. Полоса пропускания примерно определяется частотой, на которой коэффициент усиления принимает значение – 3дБ от уровня ЛАЧХ на частоте среза. Чем больше полоса пропускания, тем больше скорость нарастания реакции фильтра на ступенчатый входной сигнал и тем меньше время переходного процесса.

Отметьте линиями на диаграмме Боде примерное значение полосы пропускания фильтра.

Точное значение полосы пропускания фильтра на уровне – 3дБ можно определить из уравнения L(ωп) = 20lgW ( jωп) = −3 дБ.

4. Схему модели RLC-фильтра в Simulink можно построить по его передаточной функции (1). Она показана на рис. 2.

5

Рис. 2. Схема моделирования RLC-фильтра

Для исследования реакции фильтра отдельно на ступенчатое (блок Step) и линейно возрастающее воздействия (блок Ramp) в схеме использован ручной переключатель (Manual Switch).

Перед началом моделирования (Start simulation) необходимо в командное окно (Command Window) ввести параметры электрической схемы фильтра и формулы для вычисления коэффициентов передаточной функции:

>> R=3; L=1; C=0.5; b0=R/(L*C); a0=1/(L*C); a1=R/L;

6