Вепринцев В.И. Основы теории цепей
.pdf
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
131 |
|
|
|
|
|
|
|
& |
|
|
Z& |
|
|
& |
|
& |
|
|
& |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
1C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
U |
= |
|
|
|
|
|
(U chg |
+ Z |
|
|
I shg), |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
1 |
|
|
Z& |
|
|
|
|
|
2 |
& |
|
|
|
2C |
2 |
& |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
Z&2C |
|
|
|
|
|
|
|
U& |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
& |
|
|
& |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
I1 |
= |
|
|
|
|
(I2chg + |
|
|
|
|
shg). |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
Z&1C |
|
|
|
|
& |
|
Z&2C |
|
|
& |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
Если четырехполюсник симметричен Z& |
= Z& |
2C |
, то |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1C |
|
|
|
|
|
& |
|
& |
|
|
& |
|
|
|
& |
& |
& |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
U1 =U2chg |
+ Z2C I2shg, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
U& |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
& |
= |
& |
& |
+ |
|
2 |
& |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
I1 |
I2chg |
|
Z& |
|
|
shg. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
При согласованной нагрузке Z&H = Z& |
2C , Z& |
2C I&2 |
=U& |
2 , |
chg& + shg& = eg& ,
система уравнений принимает вид:
U&1 =
I&1 =
Z&1C U& eg& ,
Z&2C 2
Z&2C I& eg&.
Z&1C 2
Постоянная передачи в общем случае величина комплексная g& = a + jb.
Характеристические сопротивления также величины комплексные
Z& |
= |
|
Z& |
|
e jϕ1C , Z& |
2C |
= |
|
Z& |
2C |
|
e jϕ2C . |
|
|
|
|
|||||||||
1C |
|
|
1C |
|
|
|
|
|
|
|
Амплитуды или действующие значения напряжений и токов на входе и выходе четырехполюсника связаны через характеристиче-
132
ские сопротивления и постоянную передачи следующими выражениями:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
& |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
& |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Z |
|
|
|
|
|
|
& |
|
|
|
|
|
|
|
j |
|
(ϕ |
−ϕ ) |
|
|
||||
|
|
|
|
jϕU 1 |
|
|
|
|
|
|
1C |
|
|
|
|
|
|
|
a |
jϕU 2 |
|
|
|
2 |
1C |
2C |
|
jb |
|||||||||||
|
|
U1 |
|
e |
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
U2 |
|
e e e |
|
|
e , |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Z& |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
& |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
I& |
e jϕI 1 |
= |
|
|
Z2C |
|
|
|
|
|
I& |
|
ea e jϕI 2 e j |
2 |
|
(ϕ2C −ϕ1C )e jb. |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Z& |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таким образом, вещественная часть постоянной передачи а характеризует изменение амплитуды или действующего значения тока и напряжения при прохождении сигнала через четырехполюсник. Мнимая составляющая b характеризует фазовый сдвиг между входным и выходным напряжениями или токами,
ϕ |
|
−ϕ |
= |
1 |
|
|
(ϕ |
−ϕ |
|
|
) |
+ jb, ϕ |
|
−ϕ |
|
= |
1 |
(ϕ |
|
−ϕ |
) + jb . |
|||||||||||
|
|
|
2C |
I1 |
I 2 |
|
2C |
|||||||||||||||||||||||||
U1 |
|
|
|
U 2 |
2 |
|
|
|
|
1C |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
1C |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
Для симметричного четырехполюсника |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
& |
|
|
e |
jϕU 1 |
= |
|
& |
|
a |
e |
jϕU 2 |
e |
jb |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
U1 |
|
|
U2 |
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
I&1 |
|
e jϕI 1 = |
|
I&2 |
|
eae jϕI 2 e jb. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b− коэффициент фазы измеряется в радианах или градусах и ра-
вен
b =ϕU1 −ϕU 2 =ϕI1 −ϕI 2 .
Коэффициент а −собственное затухание определяется как
|
|
|
|
U& |
|
|
|
|
|
I& |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
a = ln |
|
|
|
|
1 |
|
= ln |
|
|
|
1 |
|
|
|
(непер). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
& |
|
|
|
& |
|
|
|
|||||||
|
|
|
U |
2 |
|
|
|
|
|
I2 |
|
|
133
Затуханию а = 1 неп соответствует уменьшение амплитуды или действующего значения напряжения или тока в е = 2,718 раза.
Врадиотехнике часто легче измерить мощность сигнала на входе
ивыходе, кроме того, при расчетах предпочтительнее применять не натуральные, а десятичные логарифмы. Поэтому затухание измеряют в белах:
a |
= lg |
U1I1 |
|
= lg |
S1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
(бел) |
U2 I2 |
|
|
|
S2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
S |
|
U 2 |
I 2 |
a |
|
U |
1 |
|
I |
|||||||
Поскольку |
|
1 |
= |
|
1 |
= |
1 |
, |
= 2lg |
|
= 2lg |
1 |
. |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
S2 |
|
U22 |
I22 |
(бел) |
|
U2 |
|
I2 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
Единица бел достаточно велика поэтому пользуются 0,1 бел называемой децибел.
a |
= 20lg |
U1 |
= 20lg |
I1 |
=10lg |
S1 |
, |
|
|
|
|
||||||
(дб) |
U2 |
|
|
I2 |
|
S2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
1 дб ≈ 0,115 неп; |
1 неп ≈ 8,7 дб. |
|
Рабочее и вносимое затухание четырехполюсника
Рассмотренное выше собственное затухание четырехполюсника является мерой передачи сигнала с входа на выход без учета влияния источника сигнала и реальной нагрузки.
В общем случае четырехполюсник включен между источником с внутренним сопротивлением Z&i и нагрузкой Z&H (рис.87).
134
Рис.87
Для оценки влияния условий согласования четырехполюсника с генератором и нагрузкой на передачу сигнала вводится рабочее затухание четырехполюсника, которое определяется как
aP = 1 ln S0 , 2 S2
где S0 −максимальная полная мощность, которую генератор отдает в нагрузку, согласованную с его внутренним сопротивлением, S2 −полная мощность, выделяемая в нагрузке, подключенной к вы-
ходу четырехполюсника.
Максимальная полная мощность выделяется на сопротивлении, равном внутреннему сопротивлению генератора:
|
|
|
|
& |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
&2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
& |
&2 |
|
|
E |
|
|
|
|
& |
|
|
|
E |
|
|
S = |
Z I |
= |
|
2Z&i |
|
|
|
Z |
|
= |
|
4Z&i |
|
. |
||
0 |
i |
1 |
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Полная мощность, выделяемая в нагрузке:
|
|
|
&2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
S2 = |
U&2 I&2 |
= |
|
U |
|
|
|
2 |
|
. |
|||
& |
|
|||||
|
|
|
|
ZH |
|
Рабочее затухание в этом случае
|
1 |
|
|
&2 |
& |
|
|
|
& |
|
|
|
1 |
|
|
& |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
aP = |
ln |
|
E |
|
ZH |
= ln |
|
E |
|
|
+ |
ln |
|
ZH |
|
. |
||||
2 |
|
& |
|
&2 |
|
|
& |
2 |
|
2 |
|
& |
|
|
||||||
|
|
|
4Zi |
|
U2 |
|
|
2U |
|
|
|
|
Zi |
|
|
135
Задающее напряжение генератора
E& =U&1 + Z&i I&1 = A&11U&2 + A&12 I&2 + Z&i ( A&21U&2 + A&22 I&2 ).
Учитывая, что |
I&2 |
= |
U& |
2 |
|
, |
получим |
||||||
|
& |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
ZH |
|
|
|
|
||
E& |
= A& |
+ |
A& |
+ Z& |
A& |
|
+ |
Z& |
A& |
||||
|
12 |
|
|
i |
22 |
. |
|||||||
& |
& |
|
& |
||||||||||
11 |
|
|
i |
21 |
|
|
|
||||||
U2 |
|
|
ZH |
|
|
|
|
|
|
|
ZH |
Заменив в последнем выражении А −параметры на характеристические
& |
= |
|
Z& |
|
|
|
& |
= |
& & |
|
& |
= |
1 |
|
|
|
|
|
|
1C |
& |
& |
|
|
|
& |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
A11 |
Z& |
|
|
chg, A12 |
Z1C Z |
2C shg, A21 |
Z& |
Z& |
|
shg, |
|||||||
|
|
2C |
|
|
|
|
|
|
|
|
2C |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1C |
|
||
& |
|
|
Z& |
2C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A22 |
= |
|
|
|
chg |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Z& |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
& |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и подставив полученное выражение в формулу для рабочего затухания, после некоторых преобразований имеем:
|
|
|
|
Z& |
+ Z& |
|
|
|
Z& |
+ Z& |
|
|
|
& |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
a |
P |
= a + ln |
|
i |
|
1C |
|
+ ln |
|
H |
|
2C |
|
+ ln |
1 |
− p p e−2 g |
, |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
2 |
Z& |
Z& |
|
|
|
2 |
Z& |
Z& |
|
|
|
1 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
i |
1C |
|
|
|
|
H |
2C |
|
|
|
|
|
где p = |
Z& |
i |
− Z& |
, |
p |
|
= |
Z& |
H |
− Z& |
2C |
|
|
1C |
2 |
|
|
− коэффициенты отражения на |
|||||||
& |
|
& |
& |
|
& |
|
||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Z |
i |
+ Z |
|
|
|
|
Z |
H |
+ Z |
2C |
|
|
|
1C |
|
|
|
|
|
|
|
входе и выходе четырехполюсника соответственно.
136
Таким образом, рабочее затухание содержит четыре составляющих. Первая составляющая −собственное затухание четырехполюсника а. Вторая составляющая характеризует степень рассогласования генератора с входом четырехполюсника, третья −степень рассогласования выхода четырехполюсника с нагрузкой. Четвертая составляющая появляется лишь тогда, когда не согласованы и вход, и выход, т. е. когда оба коэффициента отражения не равны нулю. На практике эта составляющая обычно мала, и ей можно пренебречь.
Следует отметить, что при согласовании входа четырехполюсника с генератором ( Z&i = Z&1C ), вторая составляющая равна нулю. Если еще обеспечить согласование четырехполюсника с нагрузкой ( Z&H = Z&2C ), то третья и четвертая составляющие также обращают-
ся в нули, и рабочее затухание равно собственному затуханию четырехполюсника.
Вместо рабочего затухания нередко применяется другой параметр − вносимое затухание. В этом случае полная мощность, поступающая в нагрузку, сравнивается с полной мощностью, которую генератор отдавал бы в нагрузку при их прямом соединении, т. е. вносимое затухание
aBH = 1 ln S12 , 2 S2
|
|
|
&2 & |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где S = |
|
E ZH |
|
|
− полная мощность, которую генератор от- |
|
|
2 |
|||||
12 |
|
& |
& |
|
|
|
|
|
(Zi |
+ ZH ) |
|
|
|
давал бы в нагрузку при их прямом соединении. Вносимое затухание можно связать с рабочим затуханием
aBH |
= |
1 |
ln |
S12S0 |
= |
1 |
ln |
S0 |
− |
1 |
ln |
S0 |
= aP − |
1 |
ln |
S0 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
2 S2S0 |
2 S2 |
|
2 S12 |
2 S12 |
Можно показать, что
137
1 |
ln |
S0 |
= ln |
|
Z&i + Z&H |
|
. |
|
2 |
S12 |
2 Z&i Z&H |
||||||
|
|
|
|
Поэтому вносимое затухание определяется:
aBH = aP − ln Z&i +& Z&&H ,
2 Zi ZH
т. е. из рабочего затухания исключается затухание, вызванное несогласованностью генератора с нагрузкой.
Если aP = 0, полные мощности на входе и выходе четырехполюсника равны. Если aP < 0, четырехполюсник является усилителем сигнала.
Передаточные функции четырехполюсника
Передаточной функцией нагруженного четырехполюсника называется отношение комплексных амплитуд или комплексных действующих значений отклика к комплексным амплитудам или комплексным действующим значениям воздействия.
Если входное воздействие представляет собой напряжение генератора, а откликом четырехполюсника на это воздействие − напряжение или ток на выходе, то комплексные передаточные функции имеют вид:
K& |
= |
U&2 |
и Y& |
= |
I&2 |
, |
|
& |
|||||
U |
& |
21 |
|
|
||
|
|
E |
|
|
E |
|
где K&U − комплексный коэффициент передачи по напряжению,
Y&21− комплексная передаточная проводимость.
Если входное воздействие представляет собой ток на входе четырехполюсника, а откликом четырехполюсника на это воздействие
138
− напряжение или ток на выходе, то в этом случае комплексные передаточные функции:
K&I = |
I&2 |
и Z&21 = |
U& |
2 |
, |
& |
& |
|
|||
|
I |
|
I |
|
|
|
1 |
|
1 |
|
K&I − комплексный коэффициент передачи по току,
Z&21 − комплексное передаточное сопротивление.
Передаточные функции четырехполюсника могут быть выражены через первичные параметры и сопротивление нагрузки. Например,
K& |
= |
U&2 |
|
= |
|
|
|
U&2 |
|
|
= |
|
Z&H |
|
. |
|||||||
|
|
|
|
& |
& |
|
& & |
& |
|
& |
||||||||||||
U |
|
|
|
& |
|
|
|
|
|
+ |
|
& |
|
|
|
|||||||
|
|
|
E |
|
|
|
|
A U |
2 |
A I |
2 |
|
A Z |
H |
+ A |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11 |
|
|
12 |
|
11 |
|
|
12 |
|
|||
В режиме холостого хода ( Z&H = ∞) |
|
|
||||||||||||||||||||
K& |
|
= |
|
|
1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
& |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
UXX |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
11 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
При согласованном включении ( Z&H = Z&2C ) симметричного четырехполюсника
|
|
|
|
|
|
A& |
|
A& |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
22 |
|
12 |
|
|
|
|
|
|
|||
K&UC = |
Z& |
+ A&12 |
= |
|
|
A& |
|
A& |
|
|
= |
|
1 |
= e |
& |
|
A&11Z&2C |
|
A& |
A& |
11 |
|
A& A& + A& A& |
−g |
|||||||||
|
2C |
|
|
21 |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
A& |
22 |
|
12 |
+ A& |
|
11 22 |
12 21 |
|
|
|||
|
|
|
11 |
& |
& |
|
12 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
A A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
21 |
|
11 |
|
|
|
|
|
|
|
.
Последняя формула устанавливает связь между передаточной функцией по напряжению и постоянной передачи симметричного согласованного на выходе четырехполюсника.
Аналогичным образом можно получить остальные передаточные функции в различных режимах работы. Например,
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
139 |
|
|
K&I = |
I&2 |
= |
|
|
I&2 |
|
|
= |
|
|
1 |
|
. |
& |
& |
& |
& |
& |
& |
& |
|
& |
|||||
|
I |
|
A U |
+ A I |
2 |
|
A Z |
H |
+ A |
||||
|
1 |
21 |
2 |
22 |
|
|
|
21 |
22 |
|
В режиме короткого замыкания на выходе
K&IКЗ = &1 .
A22
Если четырехполюсник симметричен ( A&11 = A&22 ), то коэффици-
ент передачи по напряжению в режиме холостого хода на выходе равен коэффициенту передачи по току в режиме короткого замыкания также на выходе.
Лекция 16.
Эквивалентные схемы пассивных линейных четырехполюсников
Для анализа прохождения сигнала через четырехполюсник в общем случае необходимо знать его первичные, например, A& −параметры (или характеристические параметры g&, Z&1C , Z&2C ). В том
случае, когда внутреннее устройство четырехполюсника неизвестно, параметры можно определить экспериментально из опытов холостого хода и короткого замыкания. Если же схема четырехполюсника известна, то параметры его могут быть рассчитаны по заданным значениям сопротивлений элементов, его составляющих.
Пусть известны сопротивления Z&a , Z&b , Z&c Т-образного четырехполюсника (рис.88, в). Найдем выражения для первичных A& −параметров в зависимости от этих сопротивлений.
140
Рис.88
|
В системе уравнений |
|||
|
& |
& & |
& & |
|
U1 |
= A11U2 |
+ A12 I2 , |
||
|
& |
& & |
& & |
, |
I |
= A U |
+ A I |
||
|
1 |
21 21 |
22 2 |
|
A& |
= |
|
U& |
1 |
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
U& |
|
|
|
|
=1 + |
|
Z& |
a |
|
, A& |
|
= |
|
|
I& |
|
|
|
|
= |
I& |
|
= |
1 |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
, |
|||||||||||||||||||
& |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
& |
|
|
|
& |
|
|
|
& |
& |
|
& |
|
||||||||||||||||||||||||||||
11 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
21 |
|
& |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
U |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
U |
1 |
|
|
|
& |
|
|
|
|
|
Z |
c |
|
|
|
|
|
U |
|
|
|
|
|
I Z |
c |
Z |
c |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
I&2 |
=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
I&2 |
=0 |
1 |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
& |
|
|
& |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Zc |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Za + Zc |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
A& |
= |
U&1 |
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
U&1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= Z& |
+ Z& |
+ |
|
Z&a Z&b |
, |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
& |
|
|
|
|
& |
& |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
12 |
|
& |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
a |
b |
|
|
|
& |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
I |
2 |
|
& |
|
|
|
|
|
|
|
U1 |
|
|
|
|
ZbZc |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Zc |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
U2 |
=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
& & |
|
|
& |
|
|
& |
|
& |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(Z&a |
+ |
|
|
ZbZc |
|
) |
|
|
Zb |
+ Zc |
|
Zb |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
& & |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Zb + Zc |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|