1surovtsev_v_a_f_p_ramsey_i_programma_logitsizma

4. Количество вещей в мире и трансцендентальный смысл аксиомы бесконечности 201

штейна, что выражение “Имеется два объекта, которые …” можно выразить через “($x, y) …” [4, 4.1272] осмысленно только тогда, когда разные имена, которые можно подставить на место переменных в этом выражении, будут обозначать разные объекты. И в системе онтологических представлений Витгенштейна это вполне нормально, поскольку, так как «объект прост» [4, 2.02], то «два объекта различаются только тем, что они разные» [4, 20233], и это различие можно показать употреблением разных имён. Объекты могут обладать всеми одинаковыми свойствами, тем не менее они остаются различными, если употребляются разные имена.

Но в системе РМ всё обстоит совершенно не так. И это связано с возможностью различения объектов. Если Витгенштейн предполагает, что объекты различны уже тем, что они различны, то Рассел считает, что различие должно выражаться каким-то свойством объектов. А в этом случае употребление различных имён недостаточно, поскольку если все свойства объектов одинаковы, то их невозможно различить, а значит, это один объект, и использование разных имён здесь не поможет. Таким образом, получается, что то, что Витгенштейн стремится показать, в системе РМ не только сказать, но и показать невозможно.

В данном случае системаРМ исходит из определения Лейбницем тождества неразличимых: два объекта суть один объект, если

рит, что две вещи неразличимы, если они обладают одинаковыми свойствами (см. выше §1.4.5). Поэтому на различие вещей, если все их свойства совпадают, нужно прямо указывать, поскольку это их различие является отношением, которое необходимо для введения различных объектов. Отсюда вытекает, что в PM от выражений вида ‘x ≠ y’ невозможно избавиться, если нужно принять существование различных объектов, поскольку различие имён в данном случае роли не играет. Это связано с тем, что имена ‘a’ и ‘b’ обозначают один объект, если все свойства, приписываемые объектам a и b одинаковы, поскольку при этом a и b оказываются одним объектом. Очевидно, что здесь подходы Витгенштейна и Рассела различны. В РМ можно сказать то, чего не может сказать Витгенштейн, а именно, что разные символы могут обозначать один и тот же объект.

И хотя Рассел принимает критику Витгенштенйна, в системе РМ от выражений тождества и различия объектов, использующих знаки

определённая онтологическая идея. Объекты не просто различны, различие проявляется в определённых свойствах этой системы. В ЛФТ Витгенштейн предлагает способ перевода выражений со зна - ком ‘=’ из РМ в собственную систему [4. 5531–5532], основанную на предлагаемом им соглашении о том, что тождество объектов должно выражаться тождеством знаков, а различие объектов– различием знаков [4, 5.53]. Однако, как было показано выше (§ 3.2), воплощение этой идеи уже на уровне тех утверждений, которые не вызывают сомнения в своей логической природе, связано со значительными затруднениями и вряд ли может быть реализовано в полной мере.

И связано это прежде всего с тем, что в РМ с помощью знака равенства выражаются действительно весьма важные положения. Так, в рецензии на ЛФТ Рамсей указывает:

Отбрасывание равенства может иметь серьезные последствия для теории множеств и кардинальных чисел. Например, едва ли правдоподобно заявление, что два класса равночисленны, только если существует однозначное соответствие, чьей областью является один класс, а конверсной областью – другой, если такие отношения

не могут быть построены посредством равенства [22. C. 75].

Это замечание действительно существенно, поскольку через взаимно однозначное соответствие в системе РМ вводится понятие кардинального числа как класса всех равночисленных классов. Можно указать на то, что Витгенштейн вЛФТ обходит это возражение, предлагая собственное определение кардинального числа как показателя логической операции [4. 6.021], что приводит его к выводу, что «теория классов в математике совершенно излишня» [4. 6031]. Но это указывает также и на то, что представление о соотношении логики и математики у Витгенштейна совершенно иное, чем у Рассела, что, прежде всего, связано с пониманием специфики математических утверждений, которые в ЛФТ рассматриваются как уравнения, касающиеся знаков и поэтому позволяющие из одних утверждений, не принадлежащих математике, получать другие утверждения, точно так же не принадлежащие математике(подробнее см. выше § 3.1). Подход Витгенштейна к утверждениям математики кажется несколько упрощённым, но он импонирует Рамсею, который в той же рецензии пишет, что предложения математики, согласно Витгенштейну,

4. Количество вещей в мире и трансцендентальный смысл аксиомы бесконечности 203

являются равенствами, получаемыми написанием ‘=’ между двумя пропозициями, которые могут быть подставлены вместо друг друга. Я не вижу, как этот подход предполагает охватить всю математику, и он, очевидно, неполон, поскольку существуют также неравенства, которые трудно объяснить. Легко, однако, заметить, что ‘Я имею более двух пальцев’ не предполагает значимости ’10 > 2’, ибо, если вспомнить, что различные знаки должны иметь различные значения, оно просто представляет собой‘($ x, y, z) : x, y, z есть мои пальцы’

[22. C. 76].

Таким образом, Рамсей согласен, что нечто можно показать особенностями символической системы, хотя, с другой стороны, он сомневается в том, что всё, что можно выразить средствами PM, укладывается в соглашение, принимаемое Витгенштейном в ЛФТ.

Размышления над слабыми и сильными сторонами позицийPM

и ЛФТ в конечном счёте приводят Рамсея к созданию собственной теории тождества (см. выше § 3.6), на основании которой переосмысливается характер АБ, которая начинает рассматриваться как тавтология, т.е. как предложение логики (см. ниже § 4.5). Однако эта оригинальная теория выросла из не менее интересной попытки Рамсея синтезировать идеи Рассела и Витгенштейна, которая представлена в рукописях«Бесконечность» и «Количество вещей в мире» [81], анализ которых помогает многое прояснить как в генезисе теории, так и в её окончательном варианте, использующем экстенсиональные функции.

4.3. Рамсей о трансцендентальном смысле аксиомы бесконечности

В рукописи Ф.П. Рамсея, озаглавленной «Бесконечность», есть следующий пассаж:

Аксиома бесконечности у Рассела состоит в том, что существует бесконечное число различимых вещей. Это – эмпирическая пропозиция и, следовательно, не может входить в математику. 2. Аксиома бесконечности имеет также трансцендентальную интерпретацию (опустим ‘различимые’ или, скажем, бесконечность атомарных пропозиций). Интерпретируемая таким образом, она входит в философию математики, поскольку много важных вопросов включает её истинность [81. P. 179].

первых, что означает применительно к аксиоме термин эмпирический, особенно если это касается математической аксиомы, пусть и в трактовке Рассела? Во-вторых, в каком смысле здесь следует понимать термин трансцендентальный и что он может дать для понимания позиции самого Рамсея?

В интерпретации Рассела, которая заключается в том, что математика есть развитая логика, понятия математики должны переводиться в термины логики и, таким образом, утверждения математики становятся утверждениями логики. При этом логика сохраняет аналитический характер, т.е. не выходит за рамки тождественных преобразований в структуре знаковой системы. Таковыми должны, в конечном счёте, быть и утверждения математики. Но если мы обращаемся к АБ, утверждающей, что существует бесконечное число вещей в мире, всё оказывается не так просто. Как показывает Рассел, то, что содержательно утверждаетАБ, не может быть введено чисто

аналитически, поскольку приводит к логическим противоречиям (в частности, к парадоксу Рассела). Не может АБ основываться и на содержательном смысле самой идеи бесконечности, как бы она ни понималась. Рассел утверждает, что содержание данной идеи не может быть обосновано ни a priori, ни a posteriori, поскольку первое не состоятельно, а второе не убедительно. Априорные конструкции, вводящие идею бесконечности, грешат либо смутностью употребляемых при этом понятий, либо неправильно трактуемыми отношениями между понятиями и подпадающими под эти понятия объектами. Неубедительность апостериорного введения идеи бесконечности Рассел видит в том, что в этом случае она становится предметом веры, а не рационального доказательства (см. выше § 4.1). Поэтому Рассел принимает АБ в качестве содержательного условия доказательства некоторых математических утверждений, которые вполне могли бы быть другими, если бы оказалось, что другим является мир, для описания которого предназначена его система. И здесь нетрудно понять, почему АБ в этом смысле Рамсей считает эмпирической. Понимаемая таким образом, она является эмпирически истинной или эмпирически ложной ,иследовательно, не может входить в математику.

Более того, речь у Рассела идёт о различимых вещах, поскольку любое утверждение о множественности объектов предполагает наличие у них различных свойств, так как принимаемый Расселом

4. Количество вещей в мире и трансцендентальный смысл аксиомы бесконечности 205

принцип тождественности неразличимых Лейбница приводит к тому, что вещи, у которых все свойства одинаковы, являются не множественностью, но одной вещью. Однако нет ничего логически противоречивого в том, чтобы вещи обладали всеми одинаковыми свойствами, но при этом были разными вещами. Таким образом, АБ у Рассела оказывается эмпирической как в силу понимания характера вещей, о количестве которых она утверждает, так и в силу характера её верификации. Рамсей чётко осознаёт эти особенности подхода Рассела, и именно поэтомуАБ в такой интерпретации считается Рамсеем эмпирической.

Трансцендентальный смысл АБ, с которым, как полагает Рамсей, связаны основные вопросы философии математики, требует более детального рассмотрения. И здесь, прежде всего, следует указать, что ‘трансцендентальное’ в понимании Рамсея основано на утверждении из ЛФТ: «Логика не теория, а отражение мира. Логика трансцендентальна» [4. 6.13]. С точки зрения Витгеншетйна, любая знаковая система обладает двумя особенностями. С одной стороны, она что-то говорит, с другой стороны, она нечто показывает. Показывает сама структура языка, говорит же то, что выражается в рамках этой структуры. В этом смысле трансцендентальность логики заключается в том, что логика, как наиболее адекватное выражение структуры языка, ставит границу осмысленного и бессмысленного. То, что укладывается в рамки структуры, – осмысленно (т.е. может быть истинным или ложным), то, что превосходит эти рамки, – не просто ложно, но бессмысленно в силу того, что не может быть выражено.

Термин «трансцендентальный» здесь используется не в смысле И. Канта, поскольку речь в ЛФТ идёт исключительно о внеличностной репрезентации мира. Как утверждает Витгенштейн, субъект не обнаруживает себя в мире, но является его границей[4. 5.632]. Трансцендентальность логики заключается в том, что структура языка задаёт условия возможности осмысленности того, что в нём может быть выражено. При этом условия возможности сами не выражены в языке, они показаны необходимыми чертами используемых знаков. Как считает Витгенштейн: «То, что может быть показано, не может быть сказано» [4. 4.1212], поскольку показанное является условием возможности того, что можно сказать. Добавим, однако, и то, что нечто осмысленно сказать нельзя, если условия возможности этого высказывания не заложены в особенностях, показываемых самой знаковой системой. Особенности знаковой сис-

4. Количество вещей в мире и трансцендентальный смысл аксиомы бесконечности 207

воречивости приводит к трансцендентальной истинности, поскольку эмпирическая осмысленность предполагает возможность знаковой системы эту осмысленность выразить или, точнее, показать в свойствах самой знаковой системы:

Ясно, что может существовать ¥ атомов и независимо от того, является ли это эмпирическим фактом. И эта возможность влечёт ¥ объектов, как если бы они были возможными атомами. Таким образом, ясно, что трансцендентально взятая аксиома бесконечности является истинной, хотя эмпирически она сомнительна [81. P. 178].

Эмпирическая сомнительность не приводит к трансцендентальной ложности, поскольку трансцендентальные условия истинности у Рамсея зависят исключительно от возможности знаковой системы показать, что может быть осмыслено, а что – нет. Если идея бесконечности и сомнительна в смысле Рассела, поскольку предполагается, что никоим образом невозможно доказать бесконечность вещей в мире, то это отнюдь не означает, что она сомнительна вообще, поскольку её смысл может быть выражен в рамках знаковой системы.

И именно знаковая система должна показать, что если о бесконечности можно говорить, то уже возможность это сказать должна, так или иначе, быть.

Ещё более определённо о трансцендентальном смысле идеи бесконечности Рамсей высказывается в рукописи «Количество вещей в мире», где говорит:

Просто сама идея бесконечности доказывает её существование. Здесь мы должны избежать неправильного понимания. Значки на бумаге, сделанные математиками, имеющими дело с бесконечностью, будучи конечными по числу, не доказывают существование бесконечности; но осмысленность этих значков– и мы знаем, что они являются осмысленными, понимая их, – доказывает то, что нам требуется [81. P. 175].

Сама возможность говорить о бесконечности должна указывать на то, что, в том или ином смысле, идея бесконечности включена в способ рассуждения. Символические приспособления в виде использования переменных, принятых в математике, не играют особой роли. Точно так же можно использовать знак ¥, но сам «знак ¥ не доказывает ничего» [81. P. 178]. Использование переменных, так же как использование этого знака, указывает только на то, что идею бесконечности можно осмысленно употреблять.

В конечном счёте, в пользу осмысленности употребления идеи бесконечности Рамсей приводит два аргумента, которые можно обозначить как формальный и содержательный. Формальный аргумент связывается с возможностью построения рефлексивных функций, содержательный – с возможностью осмысленных утверждений о физическом мире. Осмысленность формального введения идеи бесконечности Рамсей основывает на том, что

трансцендентальную интерпретацию аксиомы бесконечности можно прояснить, заметив, что «аксиома бесконечности» = «‘существует рефлексивная функция’», т.е. аксиома бесконечности относится к тому же порядку, что и математические пропозиции [81. P. 179].

И на существование таких рефлексивных функций указывает уже способ записи логических операций, повторное применение которых к самим себе приводит к тому же самому результату, но имеет другой смысл (в частности, отрицания как самого по себе, так и в возможной комбинации с другими логическими операциями). Так, например, Рамсей утверждает:

Аргумент в пользу существования бесконечности может быть основан на природе нашей логической нотации. Осмысленность ‘~р’ зависит от её конструируемости согласно правилу выражения природы отрицания, согласно которому бесконечность форм можно сконструировать ‘~р’, ‘~~~р’, ‘~р.Ú.~р’ … Таким образом, бесконечность предполагается нашей нотацией; и поскольку наша нотация осмысленна, актуальная бесконечность должна быть. Опятьтаки аргумент не заключается в том, что существование значков ~, Ú и т.д. доказывает существование бесконечности, но это доказывается осмысленностью этих значков [81. P. 176].

В частности, на природе подобной логической нотации основывается способ введения Витгенштейном понятия натурального числа как показателя степени операции [4. 6 – 6.03]. И, как считает Рамсей, если подобный способ введения чисел имеет хоть какой-то смысл, то должна иметь смысл и АБ:

Если что-то есть в идее числа у Витгенштейна, бесконечный ряд чисел был бы доказан сразу же возможностью отрицания бесконеч-

ность раз [81. P. 179].

Содержательный аргумент основан на осмысленности допущений, которые могут приниматься в рамках физической теории:

4. Количество вещей в мире и трансцендентальный смысл аксиомы бесконечности 209

Я могу сказать: “Существует бесконечное число атомов”. Это может быть ложным, но это, возможно, истинно и, следовательно, осмысленно. И если это что-то подразумевает, то должно быть бесконечное число вещей. Таким вещам не обязательно быть материальными объектами, поскольку для обнаружения действительной формы пропозиции требуется анализ, в который мы не можем здесь вдаваться, поскольку это увело бы нас в сложнейшие метафизические вопросы. Но, грубо говоря, это включает возможность сказать: ‘Здесь есть атом’ о бесконечности ‘здесь’ [81. P. 175].

Таким образом, в пользу осмысленности употребления идеи бесконечности Рамсей указывает на несамопротиворечивость как -до пустимых формальных построений, так и гипотетических предположений о содержании мира. Но поскольку и то, и другое – возможно, оправдан и трансцендентальный аргумент, который сводится

кследующим шагам:

1.Осмысленность идеи бесконечности влечёт трансцендентальную истинность АБ, поскольку она должна демонстрировать свойства знаковой системы, в которой идея бесконечности может быть выражена.

2.Идея бесконечности осмысленна, в пользу чего свидетельствуют приведённые выше формальный и содержательный аргументы, т.е. в рамках принятой знаковой системы эти аргументы могут быть выражены как истинные или ложные утверждения.

Следовательно,

3.АБ – трансцендентально истинна, т.е. её истинность должна демонстрироваться особенностями знаковой системы, которая предполагает разговор о бесконечности ввиду осмысленности приводимых аргументов.

УРамсея трансцендентальное понимание АБ позволяет придать ей чисто логический характер как условия возможности любого содержательного рассуждения, в отличие от Рассела, у которого, так или иначе, речь о бесконечности идёт в содержательном смысле. Все мотивы Рассела оправдывают введениеАБ post factum. Он рассуждает следующим образом: а) необходимо получить нечто; b) без АБ этого получить невозможно; с) следовательно, нужно ввести её в качестве условия. В этом случаеАБ выступает в качестве условия sine qua non, условия, без которого невозможно получить некоторые требуемые следствия. Но это условие не имеет трансцендентального

210 Ф.П. Рамсей и программа логицизма

характера, поскольку не является исходной предпосылкой, но привлекается лишь для доказательства ряда результатов.

Однако для Рамсея трансцендентальный смыслАБ заключается в том, что мы не должны приходить к ней post factum из-за невозможности что-то без неё доказать. Её трансцендентальный смысл заключается как раз в том, что ряд вопросов мы без неё просто не можем поставить, т.е. сама возможность постановки вопроса о бесконечности должна заключаться в особенностях знаковой системы, где она ставится. Возьмём, к примеру, эвклидову геометрию, многие доказательства которой предполагаютАБ. Если бы эта геометрия в точности прилагалась к реальности, то тем самым АБ была бы доказана. Однако ясно то, что эвклидова геометрия«применяется к реальности лишь приблизительно» [81. P. 180], а значит, условия, при которых она считается внутренне согласованной, предполагаются способами её выражения, но не её соответствием с действительностью. То есть раз уж геометрия Эвклида есть, то бесконечность должна предполагаться в способах эту геометрию выразить. В этом заключается суть аргументации Рамсея. В отличие от Рассела, который в перспективе имеет действительный мир, пытаясь связать с логикой вопрос: «Бесконечен ли действительный мир?», Рамсея интересует проблема: «Как возможна АБ?». Если для Рамсея АБ есть условие возможности самой постановки вопроса о бесконечности, то для Рассела она является условием его решения.

Таким образом, трансцендентальный характер этой проблемы, связанный с выразительными возможностями знаковой системы, радикально отличается от содержательного вопроса Рассела. Важно только предложить способ реализации этой возможности, что равно нахождению такого символического выражения, который был бы чисто формальным. Один из способов такого представления Рамсей предлагает в рукописи «Количество вещей в мире», суть которого сводится к следующему: 1) используется изобразительная функция тавтологий, которые, вслед за Витгенштейном, Рамсей рассматривает как способ демонстрации свойств знаковой системы; 2) тавтологии ничего не говорят, но показывают свойства знаковой системы, в которой нечто можно сказать о мире; 3) используя тавтологии, можно показать и количество вещей в мире, описываемом в определённой знаковой системе. В следующем параграфе рассмотрим подробнее, как это представлено в данной рукописи, поскольку, хотя этот подход и не нашёл применения вОМ, сам по себе он представляет