РГР Дифуры [15 вариант]

y

= (ax +b)ex

час

′

x

x

yчас

= a e

+(ax +b)e

′′

x

x

x

x

x

yчас

= a e

+ a e

+

(ax +b)e

= 2ae

+(ax +b)e

′′′

x

x

x

x

x

yчас

= 2a e

+ a e

+(ax +b)e

= 3ae

+(ax +b)e

′′′

′′

′

x

yчас

+ 4 yчас

+ 4 yчас

=

(9x +15)e

3aex +(ax +b)ex + 4

(2aex +(ax +b)ex )+ 4 (a ex

+(ax +b)ex )−(9x +15)ex = 0

(9a −9)x +15a +9b −15 =

0

−15 +15a +9b = 0

a =1

9a −9 = 0

b = 0

y = xex

час

y = y

общ

+ y = C e−2 x +C

2

xe−2 x +C + xex

час

1

3

yчас

= Acos 5x + B sin 5x

′

= −5Asin 5x +5B cos 5x

yчас

′′

= −25Acos 5x −25B sin 5x

yчас

′′

+ yчас = 2 cos 5x +3sin 5x

yчас

(−25A + A −2)cos 5x +(−25B + B −3)sin 5x = 0

−(24 A + 2)cos 5x −3(1 +8B)sin 5x =

2 + 24 A = 0

A = −1/12

0

+8B = 0

1

B = −1/ 8

y = −cos 5x

− sin 5x

час

12

8

sin x − cos 5x − sin 5x

y = y

общ

+ y

= C cos x +C

2

час

1

12

8

5 _16 _15

y ''+ 4 y = 4 ctg 2x, y(π / 4) = 3, y '(π / 4) = 2

k2 + 4 = 0 k = ±2i

yобщ

= C1 sin 2x +C2 cos 2x

частное решениебудемискать методомвариации

произвольныхпостонных.ПустьC1 = C1 (x), C2 = C2 (x)

C′sin 2x +C

′ cos 2x = 0

1

2

cos 2x

2C1′cos 2x −2C2′sin 2x

=

4

sin 2x

W =

sin 2x

cos 2x

= −2 sin2 2x −2 cos2 2x = −2

2 cos 2x

−2sin 2x

C1′ =

−cos 2x 4 ctg 2x

=

2

cos2 2x

C1

= cos 2x −ln cos x +ln sin x +C3

W (x)

sin 2x

C2′ =

sin 2x 4 ctg 2x

= −2 cos 2x C2 = −sin 2x +C4

W (x)

y = (cos 2x −ln cos x +ln sin x +C3 ) sin 2x +(−sin 2x +C4 ) cos 2x

y ' =

−sin 2x 2 − −sin x + cos x sin 2x

+(cos 2x −ln cos x + ln sin x +C

) cos 2x 2 +

cos x

3

sin x

+(−cos 2x 2)cos 2x +(−sin 2x +C4 ) (−sin 2x 2)

y(π / 4) = 3

C

1 +(−1 +C

4

) cos 2x = 3

C3

=

3

3

'(π / 4) = 2

2)= 2

= 0

y

(−1 2 +1 +1) 1 +(−1 +C4 ) (−1

C4

y = (ln tg x +3) sin 2x

проверка

y(π / 4) = (ln tg (π / 4)+3)sin π2 = (ln1 +3) 1 = (0 +3) 1 = 3

1

y ' =

1

sin 2x +(ln tg x +3) cos 2x 2 =

2

x

tg x

cos

1

2 sin x cos x +

(ln tg x +3) cos 2x 2

= 2 + 2(ln tg x +3) cos 2x

=

sin x cos x

y '(π / 4)=

2 +

π

cos

π

π

+3

0 = 2

2 ln tg

4

+3

2

= 2 + 2 ln tg

4

1

2 cos 2x

y ''

= 2

1

cos 2x +

(ln tg x +3) (−sin 2x) 2

=

−4 (ln tg x +3) sin 2x

2

x

tg x

cos

sin x cos x

y ''+ 4 y ' =

2 cos 2x

−4

(ln tg x +3) sin 2x + 4(ln tg x +3) sin 2x =

2 cos 2x

=

4 cos 2x

= 4 ctg 2x

sin x cos x

sin x cos x

2sin x cos x