Шпаргалка по КСЕ
.doc
формулы - определение производной функции (скалярного поля) и(М) в точке М по направлению . - определение градиента скалярного поля - связь между градиентом скалярного поля и(М) и производной по направлению . - определение дивергенции векторного поля . - определение ротора векторного поля . - определение оператора “набла” или оператора Гамильтона. - выражение градиента скалярного поля и через оператор Гамильтона. - выражение дивергенции векторного поля через оператор Гамильтона. - выражение ротора векторного поля через оператор Гамильтона. - инвариантное определение дивергенции векторного поля . - циркуляция векторного поля вдоль кривой L в направлении, определяемом касательным вектором . - формула Стокса в векторной форме. - формула вычисления потенциала потенциального поля в поверхностно односвязной области. - инвариантное определение проекции на вектор ротора векторного поля .
|
Дивергенция в ортогональных криволинейных координатах , где Hi — коэффициенты Ламе.
Коэффициенты Ламе: .Отсюда:
Сферические координаты Коэффициенты Ламе: .Отсюда:
Параболические координаты Коэффициенты Ламе: .Отсюда:
Эллиптические координаты Коэффициенты Ламе: .Отсюда:
|
1.Потенциальное векторное поле Потенциальное (или безвихревое) векторное поле в математике — векторное поле, которое можно представить как градиент некоторой скалярной функции координат (потенциала). Необходимым и достаточным условием потенциальности векторного поля в трёхмерном пространстве является равенство нулю ротора поля. 2.Скалярное поле Скалярное поле на области () представляет собой произвольную функцию , определенную на . Поверхности уровня скалярного поля – это множества решений уравнения при заданных значениях C. Пример. На географической карте линии уровня (двумерный аналог поверхности уровня) показывают точки, лежащие на одной высоте. Аналогичные примеры – изотермы, изобары и т.д. 3.Векторное поле Векторное поле на области (или ) – это вектор, координаты которого являются функциями, определенными на . Примеры представляют собой силовое поле, поле скоростей и т.п. 4.Градиенд скалярного поля Градиент скалярного поля в циллиндрических координатах Градиент скалярного поля в сферических координатах Производная скалярного поля и по направлению если имеет направление grad u. свойства градиента. (- дифференцируемая функция)
|
1.Дивиргенция Дивергенция (от лат. divergere — обнаруживать расхождение) — дифференциальный оператор, отображающий векторное поле на скалярное (то есть операция дифференцирования, в результате применения которой к векторному полю получается скалярное поле), который определяет (для каждой точки), «насколько расходится входящее и исходящее из малой окрестности данной точки поле» (точнее — насколько расходятся входящий и исходящий поток). дивергенция — это дифференциальный оператор на векторном поле, характеризующий поток данного поля через поверхность малой окрестности каждой внутренней точки области определения поля. Определение дивергенции выглядит так: где ФF — поток векторного поля F через сферическую поверхность площадью S, ограничивающую объем V. в трёхмерном декартовом пространстве дивергенция будет определяться выражением
Пусть векторное поле задано в выбранной системе координат как . Назовем дивергенцией скалярное поле (при условии, что эти частные производные существуют). Легко доказать, что: . Свойства Следующие свойства могут быть получены из обычных правил дифференцирования.
или
или
2. Теорема Гаусса утверждает: Поток вектора напряженности электростатического поля через произвольную замкнутую поверхность равен алгебраической сумме зарядов, расположенных внутри этой поверхности, деленной на электрическую постоянную ε0.
Теорема Гаусса — основная теорема электродинамики, которая применяется для вычисления электрических полей. Она выражает связь между потоком напряжённости электрического поля сквозь замкнутую поверхность и зарядом в объёме, ограниченной этой поверхностью. Теорема Гаусса для напряжённости электрического поля в вакууме (электростатическая теорема Гаусса) Общая формулировка: Поток вектора напряжённости электрического поля через любую, произвольно выбранную замкнутую поверхность пропорционален заключённому внутри этой поверхности электрическому заряду. В системе СГСЭ: . В системе СИ: ,где
Данное выражение представляет собой теорему Гаусса в интегральной форме. В дифференциальной форме теорема Гаусса соответствует одному из уравнений Максвелла и выражается следующим образом в системе СИ: , в системе СГСЭ: . Здесь ρ — объёмная плотность заряда (в случае присутствия среды — суммарная плотность свободных и связанных зарядов), а — оператор набла. 3.Уравнение Пуассона для потенциала Уравнение Пуассона является одним из краеугольных камней электростатики. Нахождение φ для данного f — важная практическая задача, поскольку это обычный путь для нахождения электростатического потенциала для данного распределения заряда. В единицах системы СИ: где — электростатический потенциал (в вольтах), — объёмная плотность заряда (в кулонах на кубический метр), а — диэлектрическая проницаемость вакуума (в фарадах на метр). В единицах системы СГС:
В области пространства, где нет непарной плотности заряда, имеем: и уравнение для потенциала превращается в уравнение Лапласа:
|
1.Циркуляция векторного поля Циркуля́цией ве́кторного по́ля называется криволинейный интеграл второго рода, взятый по произвольному замкнутому контуру Γ. По определению где — векторное поле (или вектор-функция), определенное в некоторой области D, содержащей в себе контур Γ, — бесконечно малое приращение радиус-вектора вдоль контура. Окружность на символе интеграла подчёркивает тот факт, что интегрирование производится по замкнутому контуру. Формула Стокса Циркуляция вектора F по произвольному контуру Г равна потоку вектора через произвольную поверхность S, ограниченную данным контуром. где — Ротор (вихрь) вектора F. В случае, если контур плоский, например лежит в плоскости OXY, справедлива формула Грина где — плоскость, ограничиваемая контуром (внутренность контура). 2.Ротор Ро́тор, или вихрь — векторный дифференциальный оператор над векторным полем. Показывает, насколько и в каком направлении закручено поле в каждой точке. Ротор поля F обозначается символом rot F (в русскоязычной литературе) или curl F (в англоязычной литературе), а также где — векторный дифференциальный оператор набла. Математическое определение Ротор векторного поля — вектор, проекция которого на каждое направление равна пределу отношения циркуляции векторного поля по контуру L плоской площадки ΔS, перпендикулярной к этому направлению, к величине этой площадки, когда размеры площадки стремятся к нулю, а сама площадка стягивается в точку: .В трёхмерной декартовой системе координат вычисляется следующим образом:
Следующие свойства могут быть получены из обычных правил дифференцирования.
для любых векторных полей F и G и для всех действительных чисел a и b.
или
или При этом верно и обратное: если поле F бездивергентно, оно есть поле вихря некоторого поля G:
Верно и обратное: если поле безвихревое, то оно потенциально:
для некоторого скалярного поля
|
Уравнения Максвелла Первое уравнение Максвелла является обобщением закона полного тока и в дифференциальной форме записывается как Электрический ток и изменение электрической индукции порождают вихревое магнитное поле . Интегрформа Второе уравнение Максвелла является обобщением закона индукции Фарадея и в дифференциальной форме записывается так Изменение магнитной индукции порождает вихревое электрическое поле . ИнтФорма
Помимо уравнений Максвелла в дифференциальной форме, в ряде случаев удобно использовать уравнения Максвелла в интегральной форме
|