С т а т и к а корабля модуль 5.3

2.7. Элементы площади ватерлинии

Чтобы определить V, х_с , z_с , необходимо знать площади ватер­линий S и абсциссы х_f центров тяжести этих площадей. Для расчета остойчивости следует вычислить моменты инерции площадей ватерлиний относи­тельно координатных осей Ох, Оу и оси ff, проходящей через центр тяжести пло­щади ватерлинии.

Вначале найдем элементы площади ватерлинии для судна, сидя­щего прямо и на ровный киль. Выделим элементарную площадь, (рис. 1) длиной dx и шириной 2у: dS = 2ydx, тогда

. (1)

Рис. 1. К определению элементов площади симметричной ватерлинии

Абсцисса центра тяжести площади ватерлинии равна

х_f =M_y / S , (2)

где M_y — статический момент площади ватерлинии относительно оси Оу. Для определения М_у выпишем сначала выражение для ста­тического момента элементарной площади dS: dM_y = xdS = x2ydx, откуда

. (3)

Теперь получим формулы для определения осевых моментов инерции площади ватерлинии относительно главных центральных осей

Найдем момент инерции dI_x элементарной площади dS, для чего воспользуемся известной из теоретической механики формулой для момента инерции площади прямоугольника относительно главной центральной оси: , где b = dx, h = 2y, т. e.

,

тогда

. (4)

Момент инерции площади ватерлинии S относительно оси ff равен

, (5) где I_у - момент инерции площади ватерлинии относительно оси Оу, определенный по формуле

, (6) так как элементарный момент инерции площади dS равен ; Sx²_f — переносный момент инерции.

В процессе эксплуатации судно может плавать с начальным кре­ном, когда ватерлиния несимметрична относительно ДП. Чтобы рас­считать для данного случая площадь, статические моменты, моменты инерции и другие элементы введем правые у_п и левые у_л ординаты (рис. 2).

Рис. 2 К определению элементов площади несимметричной ватерлинии

Согласно рис. 2 выражение для площади элемента с учетом того, что у_п отрицательна, можно записать в виде dS = y_n dx— у_л dx =(у_п - у_л) dx , а площадь ватерлинии как

. (7)

Аналогично для статического момента площади S относительно оси Оу получим

(8)

Тогда

(9)

Для несимметричной ватерлинии статический момент площади относительно оси Ох не равен нулю. Статический момент для правой элементарной площадки равен

,

для левой –

,

суммарный -

.

Тогда формула для полного статического момента запишется в виде

(10)

Центр тяжести F площади ватерлинии будет находиться от ДП на расстоянии

(11)

Для моментов инерции элементарной площадки можно записать следующие выражения

; .

Следовательно, моменты инерции относительно осей координат бу­дут равны

; (12)

. (13)

Но в дальнейшем в расчетах нам потребуются моменты инерции относительно осей, проходящих через центр тяжести F площади ватерлинии. Они определяются по формулам

;

. (14)

Формула (10) позволяет вычислить также статический момент погруженного объема М_xz несимметричного судна относительно ДП, а затем и ординату ЦВ у_с. Статический момент может быть представлен как интеграль-ная сумма статических моментов элементарных объемов

,

или с учетом (10)

.

Ордината ЦВ

. (15)