[ Будылин ] Ряды и интегралы Фурье
.pdf→− a
→− e2
1→− |
→− |
λ e1 |
+ λ2 e2 |
e1 |
1→− |
→− |
→− |
c e1 |
+ c2 e2 |
|
|
Рис. 1: Перпендикуляр — наименьшее расстояние до подпространства
Ряды Фурье Интегралы Фурье Предметный указатель Литература
Веб – страница
Титульный лист
JJ II
J I
Страница 21 из 127
Назад
Полный экран
Закрыть
Выход
2.3.Ряды Фурье на пространстве непрерывных 2π−периодических
функций
Очевидно, пространство [комплекснозначных] непрерывных периодических с периодом 2π функций является комплексным векторным пространством: такие функции можно складывать и умножать на комплексные числа не выходя за рамки этого множества функций. Превратим это пространство в унитарное, введя в нем скалярное произведение
|
2π |
f(x)g(x) dx . |
(2.10) |
||
hf|gi = 2π Z0 |
|||||
1 |
|
|
|
|
|
Свойства 1)–3) скалярного произведения очевидны. Четвертое свойство является следствием непрерывности рассматриваемых функций. Действительно, если
|
2π |
|f(x)|2 dx = 0 , |
kfk2 = 2π Z0 |
||
1 |
|
|
то f(x) ≡ 0 именно благодаря своей непрерывности. 6
Обозначим это унитарное пространство [комплекснозначных] непрерывных пе-
периодом |
2π |
функций через |
C2π |
. Через |
en , n Z, |
будем обозначать |
|||||||
риодических с inx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
функции x 7→e |
. Покажем, что функции en образуют ортонормированную систему |
||||||||||||
в C2π. |
|
|
|
2π |
|
|
|
|
|
2π |
|
|
|
hen|emi = 2π Z0 |
einxe−imx dx = 2π Z0 |
ei(n−m)x dx = δnm , |
|||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
см. (1.2). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
6 Для разрывных функций такого заключения сделать уже нельзя |
|
|
Ряды Фурье Интегралы Фурье
Предметный указатель
Литература
Веб – страница
Титульный лист
JJ II
J I
Страница 22 из 127
Назад
Полный экран
Закрыть
Выход
Если f — произвольная непрерывная периодическая с периодом 2π функция, то ее коэффициенты Фурье относительно ортонормированной системы (en) равны
|
|
|
|
2π |
|
(2.11) |
|||
cn(f) = 2π Z0 |
f(x)e−inx dx . |
||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
Заметим, что в силу леммы Римана-Лебега |
|
|
|||||||
|
2π |
|
|
|
|
||||
|
Z0 |
f(x)einx dx n→∞→ 0 . |
|
||||||
Неравенство Бесселя принимает вид |
|
|
|
|
|||||
+∞ |
|
|
|
|
1 |
|
2π |
|
|
|
|
|
|
|
Z |f(x)|2 dx , |
|
|||
n= |
|
|cn|2 6 2π |
|
||||||
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−∞ |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
где cn = cn(f) и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2π |
|f(x)|2 dx , |
|
|
|
kfk2 = 2π Z0 |
|
|||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
Далее мы покажем, что для f C2π неравенство Бесселя превращается в равенство
+∞ |
|
|
1 |
2π |
||
|cn|2 |
= |
Z |f(x)|2 dx |
||||
n= |
|
2π |
||||
X |
|
|
|
|
||
|
−∞ |
|
|
|
0 |
и называется равенством Парсеваля или уравнением замкнутости.
Ряды Фурье Интегралы Фурье
Предметный указатель
Литература
Веб – страница
Титульный лист
JJ II
J I
Страница 23 из 127
Назад
Полный экран
Закрыть
Выход
Функции вида
n
X
Tn(x) = λkeikx
k=−n
называются тригонометрическими полиномами. Среди всех тригонометрических полиномов степени не выше n наилучшей аппроксимацией (в смысле среднеквадратичной нормы) функции f(x) является частичная сумма ряда Фурье этой функции
n
X
f(x) ≈ ck(f)eikx .
k=−n
2.4.Свертка периодических функций
Определение 2.8. Пусть f и g — произвольные непрерывные периодические с периодом 2π функции. Их сверткой f g называется функция
|
2π |
f(t)g(x − t) dt , x R. |
f g (x) = 2π Z0 |
||
1 |
|
|
Очевидно, свертка f g — периодическая с периодом 2π и непрерывная функция:
|
1 |
2π |
|
1 |
2π |
|
|
f g (x + 2π) = |
Z0 |
f(t)g(x + 2π − t) dt = |
Z0 |
f(t)g(x − t) dt = f g (x) , |
|||
|
|
||||||
2π |
2π |
поскольку g периодична. Чтобы показать непрерывность, заметим, что g — равномерно непрерывна, т.е.
ε > 0 δ > 0 : |x2 − x1| < δ |g(x2) − g(x1)| < ε .
Ряды Фурье Интегралы Фурье Предметный указатель
Литература
Веб – страница
Титульный лист
JJ II
J I
Страница 24 из 127
Назад
Полный экран
Закрыть
Выход
Фиксируем |
ε > 0 |
и выберем такое |
δ |
|
по числу |
|
ε |
, где |
|
max |
|
. Тогда при |
|||||
|
|
|
|||||||||||||||
|x − x0| < δ |
|
|
|
|
|
|
|
|
M |
M = 06t62π |
|f(t)| |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|f g (x) − f g (x0)| = 2π Z f(t)[g(x − t) − g(x0 − t)] dt |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2π |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
6 2π Z0 |
|f(t)||g(x − t) − g(x0 − t)| dt |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 M |
|
|
2π |
|f(t)| dt 6 M · M = ε . |
|
||||||||||
|
|
· 2π Z0 |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
ε |
|
1 |
|
|
|
|
|
ε |
|
|
Теорема 2.9. Пусть f — периодическая с периодом 2π и непрерывная функция. Если функция g является непрерывно дифференцируемой периодической с периодом 2π, то свертка f g также является непрерывно дифференцируемой периодической с периодом 2π и
|
2π |
f(t)g0(x − t) dt . |
(f g)0(x) = 2π Z0 |
||
1 |
|
|
Доказательство. Следствие теоремы о дифференцировании интеграла по параметру: в данном случае частная производная подынтегральной функции
∂x∂ [f(t)g(x − t)] = f(t)g0(x − t)
является непрерывной функцией обеих переменных.
Ряды Фурье Интегралы Фурье
Предметный указатель
Литература
Веб – страница
Титульный лист
JJ II
J I
Страница 25 из 127
Назад
Полный экран
Закрыть
Выход
Следствие 2.10. Если g непрерывно дифференцируема k раз, то свертка f g (где f — непрерывна) — тоже k раз непрерывно дифференцируема и
(f g)(k) = f g(k) .
Интересны также следующие свойства свертки.
Теорема 2.11. Свертка функций является билинейной, коммутативной и ассоциативной операцией, т.е.
1.(λf + µg) h = λf h + µg h ,
2.f g = g f ,
3.f (g h) = (f g) h .
Доказательство. Линейность по первому аргументу очевидна в силу линейности интеграла. Линейность по второму аргументу может быть установлена аналогично, но она также является следствием коммутативности. Докажем коммутативность.
|
|
2π |
f(t)g(x − t) dt = [x − t = u, dt = −du] |
|||||||
f g (x) = 2π Z0 |
||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= −2π |
x−2π |
2π |
|
x |
g(u)f(x − u) du |
||||
|
Z |
f(x − u)g(u) du = |
Z |
|||||||
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
x−2π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2π |
|
|
|
|
|
|
|
|
= 2π Z0 |
g(u)f(x − u) du = g f (x) . |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
Ряды Фурье
Интегралы Фурье Предметный указатель Литература
Веб – страница
Титульный лист
JJ II
J I
Страница 26 из 127
Назад
Полный экран
Закрыть
Выход
Докажем теперь ассоциативность.
|
|
|
|
|
2π |
|
|
|
|
2π 2π |
f(s)g(t − s)h(x − t) dsdt |
||||
(f g) h (x) = 2π Z0 |
f g (t)h(x − t) dt = 4π2 |
Z0 |
Z0 |
||||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2π |
ds f(s) |
2π−s |
|
|
|
|
2π |
2π |
|||||
= 4π2 Z |
Z |
g(u)h(x − s − u) du = |
4π2 Z |
ds f(s) Z g(u)h(x − s − u) du |
|||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
0 |
|
−s |
|
2π |
0 |
|
0 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
= 2π Z0 |
|
f(s)g h (x − s) ds = f (g h) (x) . |
|||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Для приложений важность понятия свертки определяется следующим свойством, которое также объясняет свойства, описанные в предыдущей теореме.
Теорема 2.12. Пусть f и g — произвольные непрерывные периодические с периодом 2π функции. Тогда
cn(f g) = cn(f) · cn(g) ,
где cn — коэффициент Фурье соответствующей функции относительно ортонормированной системы экспонент en.
Доказательство. Заметим, сначала, что
|
1 |
2π |
|
1 |
2π |
|
|
f en (x) = |
Z0 |
f(t)ein(x−t) dt = einx |
Z0 |
f(t)e−int dt = cn(f)en(x) , |
|||
|
|
||||||
2π |
2π |
||||||
так что |
|
|
f en = cn(f)en . |
|
|||
|
|
|
(2.12) |
Ряды Фурье
Интегралы Фурье
Предметный указатель
Литература
Веб – страница
Титульный лист
JJ II
J I
Страница 27 из 127
Назад
Полный экран
Закрыть
Выход
Тогда
cn(f g) = (f g) en (0) = f (g en) (0) = f [cn(g)en] (0) = cn(g)f en (0) = cn(g)cn(f) .
В приложениях отображение f 7→f g описывает прохождение сигнала f через фильтр g. В результате амплитуда cn(f) n-ой гармоники сигнала умножается на cn(g). Заметим, что в силу теоремы Римана-Лебега, не может существовать идеального фильтра, не искажающего сигнал:
6 g : f g = f .
Но вернемся к теореме 2.9. Она позволяет установить одно важное для дальнейшего свойство.
Обозначим через C21π множество непрерывно дифференцируемых периодических с периодом 2π функций. Это подмножество в C2π.
Теорема 2.13 (Плотность C1 |
в C |
2π |
). Множество функций C1 плотно в C |
2π |
, |
|
2π |
|
|
2π |
|
||
т.е. f C2π и ε > 0 g C21π: |
|
|
|
|
|
|
|
def |
max |
|f(x) − g(x)| < ε . |
|
|
|
kf − gk∞ = |
06x62π |
|
|
|||
Доказательство. Функция f — равномерно непрерывна и, следовательно, для |
|
|
||||
ε > 0 δ > 0 : |
|x2 − x1| < δ |f(x2) − f(x1)| < ε . |
|
|
Пусть ε > 0 фиксировано и δ найдено. Возьмем произвольно функцию ω C21π, удовлетворяющую следующим условиям:
1. ω(x) > 0 ,
Ряды Фурье
Интегралы Фурье Предметный указатель Литература
Веб – страница
Титульный лист
JJ II
J I
Страница 28 из 127
Назад
Полный экран
Закрыть
Выход
−2π |
0 |
δ |
2π |
|
Рис. 2: Сглаживающая функция
2.ω — четная функция,
3.ω(x) = 0 при x [δ, π] ,
2π
4. 21π R ω(x) dx = 1 ,
0
см. рис. 2.
Подобрать такую функцию нетрудно. Например, можно взять функцию k(cos πxδ + 1), ограничить ее сначала на интервал (−δ, δ), затем продолжить нулем на оставшуюся часть интервала [−π, π] и далее продолжить периодически на всю ось. Константу k следует выбрать так, чтобы выполнялось условие нормировки (4).
Ряды Фурье Интегралы Фурье Предметный указатель Литература
Веб – страница
Титульный лист
JJ II
J I
Страница 29 из 127
Назад
Полный экран
Закрыть
Выход
Мы покажем (со ссылкой на теорему 2.9), что свертка f ω годится на роль функции g. Заметим прежде всего, что в силу четности и периодичности,
|
|
|
|
|
|
|
2π |
|
|
|
|
|
2π |
|
|
|
|
|
|
|
|
2π |
|
|
|
||
|
|
|
|
2π Z0 |
ω(t) dt = 2π Z0 |
ω(−t) dt = 2π Z0 |
ω(x − t) dt = 1 . |
||||||||||||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|||
Тогда, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2π |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
2π |
|
|
|
|
|
|||
|f(x) − g(x)| = f(x) |
Z |
ω(x − t) dt − |
|
|
Z f(t)ω(x − t) dt |
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
2π |
2π |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
2π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
6 |
Z0 |
|f(x) |
− f(t)|ω(x − t) dt = |
|
|
Z |
|f(x) − f(t)|ω(x − t) dt |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
2π |
2π |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|x−t|6δ |
|
ε |
Z |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
ω(x − t) dt = ε . |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2π |
|x−t|6δ
2.5. Сходимость рядов Фурье
Далее нам понадобится чуть более общий вариант леммы Римана-Лебега.
Теорема 2.14 (Лемма Римана-Лебега). Если f — непрерывная функция на [a, b],
то
b
Z
f(x)eiλx dx → 0 .
λ→∞
a
Ряды Фурье Интегралы Фурье
Предметный указатель
Литература
Веб – страница
Титульный лист
JJ II
J I
Страница 30 из 127
Назад
Полный экран
Закрыть
Выход