[ Филиппов ] Теория упругости (лекционный материал)
.PDF
41
M (x) = f ∆ϕ = f ∂∂ϕx ∆x ,
или, с учетом крутильной жесткости цилиндра f = πµR4 , 2∆x
M (x) = πµ2R4 ∂∂ϕx .
Суммарный момент сил, действующий на выделенный фрагмент:
∆M = M (x) − M (x − ∆x) ≈ |
∂M |
∆x = |
πµR4 ∂2ϕ |
∆x . |
|
∂x |
2 ∂x2 |
||||
|
|
|
Крутильное ускорение связано с моментом сил соотношением:
∆M = ∆I ∂2ϕ, ∂t2
где ∆I = 12 πρR4∆x - момент инерции выделенного фрагмента стержня,
откуда следует
1 |
πρR4∆x |
∂2ϕ |
= |
1 |
πµR4∆x |
∂2ϕ. |
|
2 |
∂t2 |
2 |
|||||
|
|
|
∂x2 |
После сокращения подобных членов, приходим к уравнению волнового движения:
∂∂2tϕ2 = (c )2 ∂∂x2ϕ2 ,
где c = |
µ |
- скорость распространения крутильных волн. |
|
ρ |
|
42
5.6.Волны изгиба в стержнях
Продольные волны в непрерывной среде имеют свой аналог – продольные волны в стержнях. А есть ли, применительно к стержням, аналог поперечных волн в бесконечной среде. Если к стержню приложить поперечную нагрузку, то возникнет деформация изгиба. Короткое силовое возмущение в поперечном направлении (удар) приведет к возникновению изгибных волн. Рассмотрим этот вопрос подробнее.
Рассмотрим малый участок стержня (Рис. 5.8), испытывающего малые изгибные отклонения от равновесного положения z(x). На выделенный
фрагмент в поперечных сечениях действует перерезающая сила Fп = −∂∂Mx ,
суммарное воздействие этих сил описывается выражением
|
|
|
∆F = F (x + |
∆x |
) − F (x − |
∆x |
) ≈ |
∂F (x) |
∆x = − |
∂2M |
∆x . |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
n |
|
2 |
n |
2 |
|
|
|
∂x |
|
|
∂x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Момент сил, возникающий при изгибе стержня, равен |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
M = EI |
1 |
|
= EI |
∂2 z |
, |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
R |
∂x2 |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
откуда следует: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
∆F = −EI |
∂4 z |
|
∆x . |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
∂x4 |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
С другой стороны: |
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−Fn (x − ∆x 2) |
|
|||
∆F = ∆ma = ∆m ∂ |
z , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂t2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где ∆m = ρ∆xS . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∆z |
|
|
|
|||
В результате получаем: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Fn (x + ∆x 2) |
x |
||||||||
|
∂2 z |
|
∂4 z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
ρ∆xS |
= −EI |
∆x |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
∂t |
2 |
∂x4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 5.8 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
или
43
∂2 z |
= − |
EI ∂4 z |
. |
(5.2) |
|
∂t2 |
ρS ∂x4 |
||||
|
|
|
Полученная формула представляет собой волновое уравнение для изгибных волн в тонком стержне. Отметим, но силы, которые возникают и поддерживают это волновое движение – перерезывающие силы, силы, связанные с деформацией сдвига. Поэтому эти волны и можно рассматривать как аналог поперечных, сдвиговых волн в бесконечной упругой среде.
Волновое уравнение (5.2) необычное, в нем присутствует производная 4-ой степени по координате. К чему это приведет?
Будем искать решение в виде
f (x,t) = B cos(kx −ωt) .
Получим
−ω2 f = −ρEIS k4 f
1
или k = ± ω ρS 4 .
EI
Следовательно, скорость распространения волны есть
|
|
|
|
1 |
c = |
ω |
= ± |
|
EI 4 |
k |
ω |
. |
||
|
|
|
ρS |
|
Скорость |
|
распространения |
||
волны оказывается зависящей от частоты: c = c(ω), это явление
называется дисперсией. Одно из следствий – при изгибах стержня форма упругого волнового возмущения меняется с течением времени (рис. 5.9), в отличие от случая продольных волн в стержне (рис. 5.10), где дисперсия отсутствует. На
|
|
|
|
t |
u(x,t) |
|
|
|
t + ∆t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t + 2∆t |
0 |
20 |
40 |
60 |
80 |
|
|
x |
|
|
|
|
Рис. 5.9 |
|
|
|
|
t |
|
|
u(x,t) |
|
t + ∆t |
|
|
|
|
t + 2∆t |
|
|
0 |
20 |
40 |
60 |
80 |
x
Рис. 5.10
44
указанных рисунках показана зависимость формы упругих возмущений от времени, в начальный момент импульс возмущений обладает гауссовой формой.
Лекция 6
5.7. Собственные колебания стержней
0 |
l |
||
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 5.11
Рассмотрим тонкий стержень длины l, обладающий модулем Юнга E и плотностью ρ. Предположим, что в результате возмущений в стержне возникли продольные волны вдоль направления x. Будем искать решение для продольных смещений u(x,t) в виде:
u(x,t) =u+ (x,t) +u−(x,t)
где функции
u+ (x,t) =u0 cos(ωt − kx + ϕ+ ) , u−(x,t) =u0 cos(ωt + kx +ϕ−)
описывают прямую и обратную волны. Преобразуя сумму косинусов в произведение, получаем:
u(x,t) = 2u0 cos(kx + ∆2ϕ)cos(ωt + ϕ0 )
где ∆ϕ= ϕ− −ϕ+ сбой фазы при отражении волны от конца стержня, и
ϕ0 |
= |
ϕ− + ϕ+ |
. Найденная формула для смещения описывает |
|
2 |
||||
|
|
|
стационарные колебания с амплитудой, зависящей от координаты x
(стоячую волну):
u(x,t) =U (x)cos(ωt +ϕ0 )
45
где U (x) = 2u0 cos(kx + ∆2ϕ) .
Рассмотрим фому стоячих волн при различных граничных условиях на концах стержня.
закрепленные концы u(0)=u(l)= 0
Один конец (левый) закреплен, второй (правый)- свободен.
u(0)= 0 ; ∂u |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂x |
|
x=l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1) Свободные концы: F(0)= F(l)= 0 . |
|
|
|
|
|
||||||||||||
Учитывая закон Гука F |
= E ∂u |
, эти условия можно записать в виде: |
|||||||||||||||
|
|
S |
∂x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
∂u |
|
|
= 0 ; |
∂u |
|
= 0 . |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
′ |
∂x |
|
x=0 |
∆ϕ |
|
|
∂x |
|
x=l |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
+ |
) , из граничных условий вытекает: |
|||||||||||
Поскольку U (x) = −2u0k sin(kx |
|
2 |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
′ |
|
|
|
∆ϕ |
) |
= 0, следовательно∆ϕ = 0 ; |
|||||||||
|
|
U (0) = −2u0k sin( |
2 |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
||
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; (n = 1,2,3,…). |
|
U (l) = −2u0k sin(kl) = 0 ; следовательно kl = nπ; kn = n |
l |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Уравнение для смещений принимает вид |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u(x,t) = ∑Un (x)cos(ωnt + ϕ0 ), |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ω = c k |
n |
= n π |
|
E |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
1 |
|
|
l |
|
ρ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
- циклическая частота собственных колебаний стержня;
Un (x) = 2u0 cos(kn x)
- пространственная амплитуда колебаний.
46
ω1 - основной тон; ω2 - первый обертон;
ω3 - второй обертон и т.д.
Отметим следующие свойства стоячей волны.
а) В точке x амплитуда колебаний составляет U (x). Значения u(x,t) в точке x меняются от − U (x) до U (x).
б) При переходе через узел фаза колебаний меняется на π. Колебания в фазе, если точки разделены четным числом узлов, и в противофазе, если нечетным.
в) Положения |
узлов |
находятся из |
условия U |
n |
(x(n) ) = 2u |
0 |
cos(k |
x(n) ) = 0, |
||||||
|
|
|
x(n) = n π x(n) = (i − |
|
|
|
i |
2i −1 |
|
|
n i |
|||
откуда следует |
k |
|
1)π, или x(n) |
= |
l . Узлы должны |
|||||||||
|
|
|||||||||||||
|
|
n |
i |
l i |
2 |
|
i |
|
|
2n |
|
|
|
|
лежать в интервале от 0 до l, поэтому |
i=1,2,…,n. |
|
Волна имеет n узлов |
|||||||||||
(Рис. 5.12). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Первые два из указанных свойств являются универсальными, третье - зависит от вида граничных условий.
2) Закрепленные концы: смещения на концах стержня равны нулю. Величина смещений определяется амплитудой, что при x = 0 дает:
U (0) = 2u0 cos(∆2ϕ) = 0 ,
откуда следует ∆2ϕ = (2m −1)π2 , где m - целое число, или
∆ϕ = −π+ 2πm .
Второе слагаемое кратно 2π, потому не существенно. Сбой фазы при отражении от закрепленного конца стержня: ∆ϕ = −π. Амплитуда описывается функцией
U (l) = 2u0 cos(kl − π2) = 2u0 sin(kl) = 0 ,
откуда следует kl = nπ, или
kn = n πl ; ωn = n πl 
Eρ .
|
|
|
|
|
|
|
|
47 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Спектр собственных частот тот же, что и в случае свободных концов, |
||||||||||||||||
изменилась только форма пространственной амплитуды: |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
Un (x) = 2u0 sin(kn x) . |
|
|
|
|
|
|
||||
Положения узлов: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
sin(k |
x(n) ) = 0 |
; k |
x(n) = n |
π x(n) =iπ; |
x(n+1) = i l , |
|
|
||||||
|
|
|
|
n |
i |
|
n |
i |
l |
i |
|
i |
|
n |
|
|
где i=0,1,2…n . Волна имеет n+1 узел (Рис. 5.13). |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
1 |
Свободные концы |
|
|
|
1 |
|
Закрепленные концы |
|
|||||||
|
|
основной тон |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
основной тон |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
U(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-1 |
|
|
|
U(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
-U(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
-U(x) |
|
|
|
|
-1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
1 |
первый обертон |
|
|
|
1 |
|
первый обертон |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
(x) |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
(x) |
0 |
|
|
|
|
|
|
U |
|
|
|
|
|
|
|
U |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
-1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
-1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
второй обертон |
|
|
|
1 |
|
второй обертон |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
-1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
-1 |
|
|
|
|
|
|
|
0,0 |
0,2 |
0,4 |
0,6 |
0,8 |
1,0 |
|
0,0 |
0,2 |
0,4 |
0,6 |
0,8 |
1,0 |
|||
|
|
|
|
|
x/l |
|
|
|
|
|
|
|
|
x/l |
|
|
|
|
|
Рис. 5.12 |
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 5.13 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
48 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3) Один из концов закреплен, другой свободен. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
Ищем решение, используя результаты двух первых рассмотренных |
||||||||||||||||||||||
|
случаев. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
U (0) = 2u0 |
cos(∆ϕ) = 0 , |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∆ϕ = −π. |
|
|
|
|
||||||
|
1 |
Закрепленный и свободный |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|||||
|
концы |
|
|
|
|
′ |
|
= −2u0k sin(kl − |
) = 2u0k cos(kl) = 0 |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
U (l) |
2 |
||||||||||||||||
|
|
|
|
основной тон |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
cos(kl) = 0 ; |
|
kl = (n − 1)π |
|
|
||||||||||||
|
0 |
|
|
|
U(x) |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
-U(x) |
|
k |
n |
= (n − 1) π |
; |
|
ω = (n − 1) π E |
|
||||||||||
|
-1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
l |
|
|
|
n |
|
|
2 |
l |
ρ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
1 |
первый обертон |
Разность частот ωn+1-ωn как и раньше: |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
(x) |
|
|
|
|
|
ω |
n+1 |
−ω = π |
E |
, |
|
но |
|
ω1 |
в |
два |
раза |
||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
l |
ρ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
U |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
меньше. |
Пространственная |
амплитуда |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
-1 |
|
|
|
|
описывается выражением |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
второй обертон |
|
|
|
|
|
Un (x) = 2u0 sin(kn x) . |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Основной тон - один узел. Первая |
|||||||||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
гармоника - 2 узла. Слева - всегда узел. |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
Справа - всегда пучность. |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
-1 |
|
|
|
|
Положения узлов: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
0,0 |
0,2 |
0,4 |
0,6 |
0,8 |
1,0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x/l |
|
|
|
|
|
|
|
|
−1) |
|
(n) |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin (2n |
2l |
xi |
= 0 ; |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
Рис. 5.14 |
|
|
|
|
|
|
|
(2n −1) |
|
π x(n) =iπ; |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2i |
|
|
|
|
2l |
|
i |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
x(n) = |
|
|
l ; |
|
i=0,1,2, |
…n-1. Волна |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
2n −1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
имеет n узлов (Рис. 5.14). |
|
|
|
|
|||||||||||||
49
6.ОСНОВЫ ОБЩЕЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
6.1.Тензор напряжений
Элементарный объем. Поверхность внутреннего разреза. Напряжения на
S1:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
σ = |
F1,x1 |
|
; σ = |
F1,x2 |
; σ = |
F1,x3 |
. |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11 |
|
S1 |
|
|
|
12 |
|
|
|
S1 |
|
|
13 |
|
|
S1 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Аналогично на все 3 поверхности внутреннего раздела: S1, S2, S3. Получаем |
|||||||||||||||||||||||||||||||
набор 9 значений σik, i = 1,2,3; k = 1,2,3. |
|
Всего 9 компонент. Величина σik |
|||||||||||||||||||||||||||||
характеризует наиболее полно все внутренние напряжения в теле. |
|
||||||||||||||||||||||||||||||
Можно показать, что этот тензор второго ранга симметричен: σik =σki. |
|||||||||||||||||||||||||||||||
6.2. |
Тензор деформаций |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Две точки. До деформацииr ≡{x1, x2 , x3}. После деформации r′ ≡{x1′, x2′, x3′}. |
|||||||||||||||||||||||||||||||
Вектор смещения |
r |
|
r′ |
|
r |
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
u |
= r |
−r ; |
ui = xi − xi ; i = 1,2,3. |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
Деформация полностью определена, если известна |
векторная |
функция |
|||||||||||||||||||||||||||||
ur(rr) =ur(x1, x2 x3 ) . Рассмотрим, как изменится расстояние между близкими |
|||||||||||||||||||||||||||||||
точками с координатами xi и xi+dxi (i = 1,2,3). |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
До деформацииdl2 = ∑(dxi )2 = ∑dxidxi |
≡ dxidxi |
= dxi |
2 . |
Суммирование по |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
повторяющимся индексам. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
После деформации: xi xi′ = xi +ui (x1, x2 , x3 ) ; |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
xi + dxi xi′ = xi + dxi +ui (x1 + dx1, x2 + dx2 , x3 + dx3 ) ≈ |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
≈ x + dx +u (x , x |
|
, x |
) + |
∂ui |
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
∂x |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
i |
|
i |
|
i |
1 |
2 |
3 |
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
∂ui |
|
|
|
|
|
|
|
∂ui |
|
|
|
|
k |
|
|
∂ui ∂ui |
|
|
|
|
|
|||||
′ 2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
(dl ) |
= |
(dxi + |
|
dxk ) |
|
= dxi |
+ 2 |
|
dxidxk |
+ |
|
|
|
dxk dxm |
|
||||||||||||||||
∂x |
|
∂x |
∂x |
∂x |
m |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|||
′ 2 |
= |
(dl) |
2 |
+ 2εik dxidxk |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
(dl ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
εik = |
1 ( |
∂ui |
+ |
∂uk |
+ |
∂um ∂um ) |
|
|
|
т.к. |
|
∂um |
|
|
|
то |
всегда |
считают |
|||||||||||||
|
|
|
|
<<1, |
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
2 |
∂xk |
|
|
∂xi |
|
∂xi |
∂xk |
|
|
|
|
|
|
|
|
∂xi |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
εik = 1 ( ∂ui + ∂uk ) 2 ∂xk ∂xi
Симметричный тензор второго ранга.
50
6.3.Обобщенный закон Гука
σik =Cikjlεjl ;
Cikjl – тензор модулей упругости, 81 компонента, много зависимых, поскольку σik и εjl – симметричные тензора.
Это – обычный подход в теории упругости сплошных сред. Требует соответствующего математического аппарата, но позволяет рассчитывать фактические любые задачи.
ЗАДАЧИ
1.Найти массу груза, подвешенного к концу круглой невесомой балки
радиуса 5 см и длиной 5 м, если стрела прогиба составляет 5 см, а модуль Юнга материала балки равен E = 2 1011 Н/м2.
2.К круглому стержню радиуса 1 см и длиной 1 м, расположенному вертикально с закрепленным верхним концом, подвешен груз массой 1
кг. Найти полное удлинение стержня (под действием груза и сил тяжести), если модуль Юнга материала стержня E = 2 1011 Н/м2, а плотность ρ = 7,5 103 кг/м3.
3.Тонкий невесомый стержень круглого сечения радиуса 2 мм и длиной 20 см расположен вертикально, нижний его конец закреплен. На
верхнем конце закреплен малый по размерам груз массой 1 г. Модуль Юнга материала стержня равен E = 2 1011 Н/м2. Груз на конце стержня
отводят вбок и отпускают. Найти частоту (в Герцах) |
малых |
поперечных колебаний груза. |
|
4.Найти отношение скоростей продольной и поперечной волн в неограниченной упругой среде с коэффициентом Пуассона 0,40.
5.В тонком стержне длиной 40 см с незакрепленными концами возбуждены собственные продольные колебания. Найти частоту и расположения узлов для колебания первой гармоники. Модуль Юнга материала стержня E = 2 1011 Н/м2, а плотность ρ = 7,5 103 кг/м3.
6.В тонком стержне длиной 30 см с одним закрепленным и одним свободным концами возбуждены собственные продольные колебания. Найти частоту и расположения узлов для колебания первой гармоники.
Модуль Юнга материала стержня E = 2 1011 Н/м2, а плотность ρ = 7,5 103 кг/м3.