билеты по матану

Аналогично зафиксируем вторую переменную. Тогда

Необходимое условие для наличия экстремума функции двух переменных:

Точки, в которых выполняется это условие, называются точками подозрительными на экстремум или стационарными точками

Замечание:

Все точки экстремума содержатся среди стационарных точек (если функция дифференцируема), но не каждая стационарная точка является точкой экстремума

Градиент. Производная по направлению

Если имеет направление оси , то

Если имеет направление оси , то

Понятие производных по направлению обобщает понятие частных производных

Градиентом функции в точке называется вектор с координатами

Свойства градиента:

1. Г радиент указывает направление наибольшего возрастания функции, т.е. из всех производных по направлению в данной точке производная по направлению градиента является наибольшей

2. Градиент ортогонален к линии уровня

Линия уровня – линия, которая получается при пересечении поверхности с уровнем с плоскостью

Первообразная функция, неопределенный интеграл, свойства неопределенного интеграла*

Функция называется первообразной для , если

Первообразная для определена неоднозначно. Если является первообразной, то первообразной будут и все функции вида ( – произвольная постоянная)

Теорема (Структура множества всех первообразных)

Все первообразные для заданной имеют вид , где – любая первообразная, – произвольная постоянная

Доказательство:

Пусть , – первообразные для . Покажем, что их разность является постоянной величиной:

Рассмотрим

ч.т.д

Множества всех первообразных для заданной называются неопределенным интегралом от

Интегрирование – нахождение интеграла. Операция является обратной к дифференцированию, т.е. для того чтобы проверить правильно ли взят интеграл нужно продифференцировать ответ. Если интеграл взят правильно, то она совпадает с подинтегральнной функцией

Свойства неопределенного интеграла:

1. Линейность

Интегрирование – линейная операция

2. Интегрирование по частям

Доказательство:

Замечание:

Название формулы интегрирование по частям объясняется следующим образом:

• Если мы решили брать какой-то интеграл по частям, то процесс интегрирования начинается с того, что мы подинтегральную функцию представляем в виде

• С помощью интегрирования находим функцию :

• Далее в формулу интегрирования по частям входит , ищем интеграл

По частям интегралы берут от следующих функций:

где – многочлен в степени , .

Интегрировать нужно раз

За выбираются обратные тригонометрические

функции

3. Замена переменной

4. Подведение множителя под знак дифференциала

Этот метод совпадает с заменой переменной, но без введения новой буквы

Определенный интеграл

Площадь криволинейной трапеции

непрерывна на промежутке ,

это приближение будет тем точнее, чем уже полоски и чем больше

В пределе, когда полоски вырождаются в вертикальные отрезки и погрешность стремиться к нулю

Определение определенного интеграла

Дана функция на промежутке . Разобьем промежуток на частей точками

Составим сумму по формуле

называется интегральной суммой для функции на промежутке .

Определенным интегралом от функции на промежутке называется предел

Геометрический смысл определенного интеграла

. Тогда совпадает с площадью заштрихованной ступенчатой фигур.

Таким образом, геометрический смысл определенного интеграла состоит в том, что он для положительной функции совпадает с площадью соответствующей криволинейной трапеции

Свойства определенного интеграла

1. аддитивность

Верно для любого числа слагаемых

2. 

3. Линейность

4. Если , то

Доказательство:

, т.к.

Теорема о среднем значении

Н а промежутке найдется точка , такая что

Доказательство:

,

По одной из теорем о значении непрерывности функции, они заполняют весь промежуток между наименьшим и наибольшим значением

Формула Ньютона-Лейбница*

Замечание:

Известно, что определяется по неоднозначно, но они все имеют вид и при двойной подстановке постоянная сокращается, т.е. правая часть формулы Ньютона-Лейбница не зависит от выбора первообразной

Доказательство:

Мы доказали, что интеграл с переменным верхним пределом является первообразной для подинтегральной функции.

Пусть – другая первообразная. Любые две первообразные отличаются на постоянную

Д лина дуги кривой

На каждом из кусков заменим кривую на

прямую

В ычислим длину каждого:

Будет точным равенством, если

Выражение, стоящее под знаком предела является интегральной суммой для функции на промежутке

Предел интегральной суммы равен соответствующему определенному интегралу – формула длины дуги

Вычисление объемов (по площадям поперечных сечений)

Дано тело

– площадь поперечного сечения в точке

Будем считать, что части настолько мелкие, что в пределах каждого отрезка поперечное сечение мало меняет форму

Приближение тем лучше, чем меньше куски

, где – площадь основания, – высота цилиндра

…

Выражение, стоящее под знаком предела, является интегральной суммой для функции на промежутке

Предел интегральной суммы равен соответствующему определенному интегралу

Несобственный интеграл

При определении интеграла мы считаем, что подинтегральная функция непрерывна и промежуток интегрирования конечен. Если одно или оба из этих условий нарушаются, то интеграл называется несобственным

Определенный интеграл по бесконечному промежутку

1. 

Предположим, что

Такой предел не обязан существовать. Если он существует, то интеграл называется сходящимся; если конечного предела не существует, то говорят, что интеграл расходится

2. 

Предел не обязательно существует. Если предел существует, то интеграл сходящийся, в противном случае расходящийся

3. 

интеграл сходящийся, если сходятся оба интеграла правой части

Замечание:

Интегралы, стоящие справа, нужно исследовать на сходимость по отдельности

Интегралы от разрывных функций

функция имеет разрыв на промежутке

1. 

2. Разрыв второго рода

Если этот предел существует, то интеграл называется сходящимся, в противном случае говорят, что интеграл расходится

Предел не обязательно существует