Высшая математика. Контрольная работа №1. Вариант 9. 2012
..docПостроить график функции преобразование графика функции .
Задача 79: .
Решение.
Задачи 81–90
Задана функция на отрезке . Требуется: 1) построить график функции в полярной системе координат по точкам, давая аргументу значения через промежуток ; 2) найти каноническое уравнение полученной линии в прямоугольной декартовой системе координат, начало которой совпадает с полюсом, а положительная полуось абсцисс – с полярной осью, и по уравнению определить тип линии.
Задача 99: .
Решение
Составим таблицу значений:
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
r |
<0 |
<0 |
<0 |
25,57 |
6 |
3.4 |
2.49 |
2.11 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2.11 |
2.49 |
3.4 |
6. |
25.57 |
<0 |
<0 |
<0 |
Соединяя точки, являющиеся концами этих отрезков, получаем график данной линии:
2. Подставляя и в уравнение заданной линии, получим
, , ,
, , ,
, .
Полученное уравнение есть уравнение ветви гиперболы с полуосями с центром в точке (4, 0).
Задачи 91–100
Найти указанные пределы, не пользуясь правилом Лопиталя.
Задачи 99
Решение.
а) = ===
===.
б) = ==
===
===.
в) = =====.
г) = =
=====
=====.
Задачи 101–110
Задача 109 Заданы функция и два значения аргумента и . Требуется: 1) установить является ли заданная функция непрерывной или разрывной для каждого из заданных значений; 2) в случае разрыва найти пределы при приближении к точке слева и справа; 3) сделать схематический чертеж.
Решение.
Найдем область определения функции: . Функция неопределенна при .
Чтобы определить является ли функция непрерывной в заданной точке, воспользуемся критерием непрерывности функции. Для этого для каждой точки найдем односторонние пределы.
Для точки
; ; .
Согласно критерия т.к. , то функция непрерывна в точке .
Для точки
; .
Согласно критерия т.к. , то функция имеет в точке разрыв второго рода.
Сделаем схематический чертеж функции.
Задачи 111–120
Задана функция различными аналитическими выражениями для различных интервалов изменения аргумента. Найти точки разрыва функции, если они существуют, и установить их тип. Сделать чертёж.
Задача 119:
Решение.
Очевидно, что и являются точками, подозрительными на разрыв, так как функция в них не определена. В остальных точках функция непрерывна, так как на каждом из интервалов , , она определена и является элементарной.
Вычислим односторонние пределы в подозрительных точках:
,
,
Поскольку а функция в точке определена, то при функция непрерывна.
Функция в точке точка разрыва второго рода.
Построим график с учетом проведенного исследования.