Статистическая физика / Решение задач для практических занятий

Последнее равенство можно записать в виде

Здесь учтено, что согласно определению температуры бозе– конденсации

разность интегралов в фигурных скобках можно разложить в ряд по малому параметру :

В последний интеграл основной вклад дают малые значения переменной . Поэтому для получения предельного значения интеграла при экспоненты можно разложить в ряды, ограничиваясь линейными членами. В результате получаем:

31

Используя полученные результаты, находим

или

32

состоящего из классических молекул, которые соответствуют модели «гармонический осциллятор – жесткий ротатор», а атомы имеют разные массы и . Использовать, что

Решение:

Свободная энергия идеального газа Больцмана определяется равенством:

Здесь – статистическая сумма одной молекулы, которая в классическом пределе определяется статистическим интегралом:

«гармонический осциллятор – жесткий ротатор» функция Гамильтона молекулы имеет вид

33

Здесь масса молекулы; ; расстояние между атомами в молекуле, при котором потенциальная энергия взаимодействия атомов имеет минимальное значение

;момент инерции молекулы как жесткого ротатора.

Дальнейшее рассмотрение проводится в предположении, что отсчет энергии производится от значения . С учетом выражения для функции Гамильтона статистическую сумму молекулы можно записать в виде

34

Подставляя полученные соотношения в выражение для свободной энергии идеального газа Больцмана, а также учитывая формулу Стирлинга , находим

Следовательно,

Полученные результаты соответствуют принципу равномерного распределения энергии по степеням свободы с учетом того, что на одну колебательную степень свободы приходится вклад, равный , во внутреннюю энергию в пересчете на одну частицу, а в теплоемкость вклад, равный .

35

Задача № 19. Определить вклад в термодинамические функции идеального газа Больцмана от нормальных колебаний молекулы с

Здесь – колебательное квантовое число. Как обычно, отсчет энергии будем вести от основного энергетического уровня

. Соответствующая статистическая сумма представляет собой сумму членов геометрической прогрессии и может быть вычислена точно:

Здесь характеристическая температура колебаний. Соответствующие вклады в термодинамические функции могут быть вычислены с помощью обычной процедуры:

36

Здесь вклады в термодинамические функции идеального газа Больцмана в пересчете на одну молекулу от нормальных колебаний молекулы с частотой в модели «гармонический осциллятор», соответственно, в свободную энергию, энтропию, внутреннюю энергию и теплоемкость. При этом, полученные результаты соответствуют закону равномерного распределения энергии по степеням свободы при высоких температурах , а при низких температурах

Очевидно, вклад в давление отсутствует, так как соответствующие величины не зависят от объема, занимаемого идеальным газом.

37

Задача № 20. Вычислить второй вириальный коэффициент как функцию температуры для неидеального квазиклассического газа частиц, потенциальная энергия взаимодействия которых имеет вид:

получаем следующее выражение для второго вириального коэффициента:

38

Рассмотрим теперь систему твердых сфер. Из вида потенциала взаимодействия следует, что в этом случае групповая функция равна: . Следовательно,

Таким образом, для системы твердых сфер второй вириальный коэффициент всегда положителен и не зависит от температуры.

Рассмотрим теперь систему частиц, взаимодействующих

Здесь выполнено интегрирование по частям. Вводим новую переменную и получаем

Таким образом, для этого потенциала второй вириальный коэффициент также всегда положителен, что характерно для любых взаимодействий с отталкиванием, и с ростом температуры уменьшается до нуля.

39

Задача № 21. Определить температуру Бойля для неидеального квазиклассического газа частиц, взаимодействие между которыми задается потенциалом прямоугольной потенциальной ямы:

Решение:

Из вида потенциала взаимодействия следует, что в этом случае групповая функция равна:

.

Следовательно,

Следовательно, температура Бойля равна

40