Функції кількох змінних
.pdf
21
Задача 12. Дослідити на екстремум функцію z f (x; y)
Варіант |
Функція |
Варіант |
Функція |
|
|
|
|
1 |
z y3 x3 9xy 1 |
2 |
z x3 y3 9xy 1, |
|
|
|
|
3 |
z 2x3 4x2 y2 2xy |
4 |
z x2 2 y3 4 y2 2xy 3 |
|
|
|
|
5 |
z x2 2y3 4y2 2xy |
6 |
z x2 2 y3 4y2 2xy 1 |
|
|
|
|
7 |
z x2 2 y2 2xy x |
8 |
z x2 3xy2 30x 18y |
|
|
|
|
9 |
z x3 8y3 6xy 4 |
10 |
z 8x3 y3 6xy 4 |
|
|||
11 |
z x3 8y3 6xy 1 |
12 |
z 8y3 x3 6xy 2 |
|
|
|
|
13 |
z y 3x2 y 30 y 18x |
14 |
z y2 3x2 y 30 y 18x |
|
|
|
|
15 |
z y2 3x2 y 30 y 18x |
16 |
z x3 8y3 4xy 2 |
|
|
|
|
17 |
z x2 xy y2 9x 6y |
18 |
z 3x 6 y x2 xy y2 |
|
|
|
|
19 |
z 2x2 xy2 5x y2 |
20 |
z x2 xy y2 2x 3y |
|
|
|
|
21 |
z x3 y3 9xy |
22 |
z x3 y3 3xy |
|
|
|
|
23 |
z x3 y3 3xy |
24 |
z 6xy x3 y3 |
|
|
|
|
25 |
z x2 3xy2 30x 18y |
26 |
z 30x2 18y x 3xy2 |
|
|
|
|
22
Варіант |
Функція |
Варіант |
Функція |
|
|
|
|
27 |
z 2 y x2 y x2 5y |
28 |
z x2 y 2 y2 x2 5y |
|
|
|
|
29 |
z x3 8y3 6xy 1 |
30 |
z 2xy 4x 2y |
|
|
|
|
Задача 13. Знайти найбільше та найменше значення функції z f (x; y)
у області, яка обмежена заданими лініями
Зразок розв’язку
Как Вам уже известно, если функция одной переменной y f (x) непрерывна на некотором отрезке a,b , то своего наибольшего (наименьшего) значения она может достигать или на концах промежутка, или в критических точках, которые принадлежат данному промежутку.
Тогда , по аналогии, если функция z (x, y) определена и непрерывна в
области D , то она достигает своего наибольшего и наименьшего значения (т.н. глобальный экстремум) либо в критических точках, которые лежат внутри области, или в точках, лежащих на границе области.
Т. о. правило нахождения наибольшего и наименьшего значения дифференцируемой в области D функция z (x, y) состоит в следующем:
1). Найти все критические точки функции, принадлежащие D , и вычислить значения функции в них.
2). Найти наибольшее и наименьшее значение функции z (x, y) на
границах области.
3). Сравнить все найденные значения функции и выбрать из них наибольшее М и наименьшее m .
1 способ:
Пример: Найти наибольшее и наименьшее значение функции z (x, y)
в области, ограниченной линиями. |
|
z x 2 4xy y 2 6x 2 y |
D : x 0, y 0, x y 4 0 |
Изобразим указанную область графически.
Y Найдем точки пересечения прямых. Граничные точки области:
|
A( 4;0) , B(0; 4) , O(0,0) |
В |
Затем находим все критические точки |
О |
|
|
функции. Для этого решим систему |
|
Х |
А
|
|
|
|
23 |
|
|
|
|
zx' |
0 |
2x 4 y 6 0 |
|
x 2 y 3 |
|
|||
' |
0 |
|
|
|
|
3) |
2 y 2 |
|
z y |
4x 2 y 2 0 |
4(2 y |
0 |
|||||
|
x 2 y 3 |
x 2 y 3 |
x 1 |
|
|
|
|
|
|
|
10 0 |
|
|
|
|
|
|
10 y |
y 1 |
y 1 |
|
|
|
|
||
Критическая точка ( 1;1) лежит в указанной области . И значения
фукнции в критической точке не принимается тогда в расчет.
Тогда перейдем к исследованию функции на границах области, которая состоит из :
- отрезка OA ; - отрезка OB ; - отрезка AB . 1) На участке OB y 0 , x 4;0
Выполним указанную подстановку и наша функция примет вид:
z x2 6x - функция одной переменной (своего наибольшего (наименьшего) значения она может достигать или на концах промежутка, или в критических точках, которые принадлежат данному промежутку). Найдем критические точки функции
z' 0 , 2x 6 0 , x 3 4;0
Поэтому будем находить значения функции только на концах интервала.
z( 4) ( 4)2 6( 4) 16 24 40 z(0) 0.
2). На участке OA x 0 y 4;0
Выполним указанную подстановку и наша функция примет вид: z y2 2y
Найдем критические точки. z' 0 , 2y 2 0 , y 1 4;0
Поэтому тоже будем находить значения функции только на концах интервала.
z( 4) ( 4)2 2( 4) 16 8 24
z(0) 0 |
x 4;0 |
3). На участке AB y x 4 , |
zx2 4xy y2 6x 2y = z x2 4x( x 4) ( x 4)2 6x 2( x 4) x2 4x2 16x (x2 8x 16) 6x 2x 8 4x2 24
Найдем критические точки для функции |
|
z ' 8x , |
8x 0 , x 0 4;0 |
z(0) 24
z( 4) 4 16 24 64 24 40
Т.о. M z( 4;0) 40 - максимальное значение функции в указанной
области
m z(0; 4) 24 - минимальное значение функции в указанной
области
24
Варіант |
Функція |
Область |
1 |
z x2 4xy y2 6x 2 y |
x 0 , y 0 , x y 4 |
|
|
|
2 |
z x2 4xy y2 6x 2 y |
x 0 , y 0 , x y 4 |
|
|
|
3 |
z x2 4xy y2 6x 2 y |
x 0 , y 0 , x y 4 |
|
|
|
4 |
z x2 4xy y2 6x 2 y |
x 0 , y 0 , x y 4 0 |
|
|
|
5 |
z y2 4xy x2 6 y 2x |
x 0 , y 0 , x y 4 |
|
|
|
6 |
z y2 4xy x2 6 y 2x |
x 0 , y 0 , y x 4 |
|
|
|
7 |
z x2 2xy 3 |
y 0 , y 4 x2 |
|
|
|
8 |
z x2 2xy 3 |
y 0 , y x2 4 |
|
|
|
9 |
z y2 4xy x2 6 y 2x |
x 0 , y 0 , x y 4 |
|
|
|
10 |
z y2 4xy x2 6 y 2x |
x 0 , y 0 , x y 2 |
|
|
|
Варіант |
Функція |
Область |
11 |
z y2 4xy x2 6 y 2x |
x 0 , y 0 , y x 2 |
|
|
|
12 |
z y2 2x3 4x2 2xy |
y 4, y x2 , x 0 x 0 |
|
|
|
25
13 |
z y2 2x2 4xy 6 y 5 |
x 0 , y 0 , x y 3 0 |
|
|
|
14 |
z y2 2x2 4xy 6y 5 |
x 0 , y 0 , x y 3 0 |
|
|
|
15 |
z y2 2x2 4xy 6y 3 |
x 0 , y 0 , x y 2 |
|
|
|
16 |
z y2 2xy x2 3y |
x 0 , y 4 x2 |
|
|
|
17 |
z x2 y2 2xy x y |
y 0 , y 4 x2 |
|
|
|
18 |
z x2 2y2 4xy 6x 6 |
x 0 , x 9 y2 |
|
|
|
19 |
z y2 2xy x2 x y |
y 0 , y 1 x2 |
|
|
|
20 |
z 2 y2 x2 4xy 6x 5 |
x 0 , x 9 y2 |
|
|
|
21 |
z x2 2 y2 4xy 6 y 1 |
x 0 , y 0 , x y 1 |
|
|
|
22 |
z y2 4xy 6 |
x 0 , x 1 y2 |
|
|
|
23 |
z x2 2y2 4xy 6 y |
x 0 , y 0 , x y 1 |
|
|
|
24 |
z y2 4xy 2x 2 |
x 0 , y 0 , x y 1 |
|
|
|
|
|
|
Варіант |
Функція |
Область |
25 |
z x2 6xy 6y 1 |
x 0 , y 0 , x y 2 |
|
|
|
26 |
z y2 4xy 4x 2 |
x 0 , y 0 , x y 3 |
|
|
|
26
27 |
z 3x 6 y x2 xy y2 |
y 1, x2 1 y |
|
|
|
28 |
z 2x 4 y 2x2 2xy y2 |
y 1, y2 1 x |
|
|
|
29 |
z 3x2 y2 2xy 2x 2 y |
x 0 , y 0 , y x 3 |
|
|
|
30 |
z x2 2 y2 2xy 2x 2 y |
x 0 , y 0 , y x 3 |
|
|
|
Задача 14. Розв’язати задачу.
1.Знайти прямокутник периметра l , який має найбільшу площу.
2.З усіх трикутників периметра 2l знайти той, який має найбільшу площу ( використати формулу для площі трикутника за його сторонами).
3.Знайти таку точку рівнобедреного прямокутного трикутника, для якої сума квадратів відстаней до його вершин буде найменшою.
4. Знайти точку трикутника A(0;0) , B(1;0) , C(0;1) сума квадратів відстаней якої до його вершин має найбільше значення.
5.Знайти точку чотирикутника A(0;0) , B(a;0) , C(0;a) , D(0;2a) сума квадратів відстаней якої до його вершин має найменше значення.
6.З шматка дроту довжиною l зробити каркас прямокутного паралелепіпеда з найбільшим об’ємом.
7.Визначити розмір відкритого прямокутного ящика з даним об’ємом V і з найменшою поверхнею.
8.З усіх прямокутних паралелепіпедів, що мають даний об’єм V , знайти той, повна поверхня якого найменша.
9.Дане додатне число a розкласти на три додатні доданки x, y, z так, щоб добуток xyz був найбільшим.
10.З усіх прямокутних паралелепіпедів, що мають дану поверхню S , знайти той, об’єм якого найбільший.
11.На площині XOY знайти точку M (x; y) сума квадратів відстаней якої
|
від трьох прямих : x 0 , y 0 , x y 1 0 є найменшою. |
|
|
|
||||
12. |
З усіх трикутників даного периметру 2 p знайти той, який при |
|||||||
|
обертанні навколо однієї із своїх сторін утворює тіло найбільшого |
|||||||
|
об’єму. |
|
|
|
|
|
|
|
13. |
На площині задані три матеріальні точки P (x ; y ) , |
P (x |
2 |
; y |
2 |
) , |
||
|
1 |
1 |
1 |
2 |
|
|
||
P3(x3; y3) з масами m1 , m2 , m3 відповідно. Де повинна бути розташована точка P (x ; y ) , щоб момент інерції даної системи
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
27 |
відносно точки |
|
P (x ; y ) був найменшим (тобто сума |
||||||||||||||
m |
|
P P |
|
2 |
m |
|
P P |
|
2 m |
|
P P |
|
2 |
повинна бути найменшою)? |
||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
1 |
|
1 |
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
3 |
|
3 |
|
|
|
14.Через точку M (a;b;c) провести площину, яка утворює з площинами
координат піраміду найменшого об’єму. |
|
|
|
|
|
|
15. Знайти найкоротшу відстань від точки M (1;2;3) до прямої |
x |
|
y |
|
z |
. |
|
3 |
|
||||
|
1 |
|
2 |
|
||
16.На площині x y 2z 0 знайти точку, сума квадратів відстаней якої від площин x 3z 6 і y 3z 2 була б найменшою.
17.На площині 3x 2z 0 знайти точку, сума квадратів відстаней якої від точок A(1;1;1) і B(2;3;4) була б найменшою.
18.У півкулю радіуса R вписати прямокутний паралелепіпед найбільшого об’єму.
19.З усіх прямокутних паралелепіпедів, що мають задану суму трьох вимірів a , знайти той, об’єм якого найбільший.
20.За яких умов сума трьох додатних доданків x , y , z найменша, якщо їх добуток xyz a ?
21.Визначити розміри циліндра найбільшого об’єму за умови, що його повна поверхня дорівнює S .
22.Визначити розміри конуса найбільшого об’єму за умови, що його бічна поверхня дорівнює S .
23.Визначити розміри прямокутного басейна так, щоб при заданій площі його поверхні S об’єм був найбільшим.
24.Знайти найбільший об’єм прямокутного паралелепіпеда при заданій сумі 12a усіх його ребер.
25.Знайти найбільший об’єм прямокутного паралелепіпеда за умови, що довжина його діагоналі дорівнює а.
26.На параболі у = 4х2 знайти точку, відстань якої до прямої х – у + 4 = 0 найменша.
27.Канал, який проводить воду до турбіни, має в перерізі форму
рівнобічної трапеції, площа якої дорівнює S . Визначити глибину каналу і гострий кут трапеції за умови, що периметр води в каналі буде найменшим.
28.На поверхні x2 y2 z2 1 знайти точку M 0 за умови, щоб об’єм піраміди M 0 ABC був найбільшим, якщо вершини піраміди розташовані в точках A(4;0;4) , B(1;1;1) , C(1;1;0) .
29.Задано точки A(4;0;4) , B(1;1;1) , C(1;1;0) . На поверхні x2 y2 z2 1
знайти точку S за умови, щоб об’єм піраміди SABC був найменшим. 30. Визначити розміри циліндра найбільшого об’єму за умови, що його
повна поверхня дорівнює S 6 дм2 .