Ряды Фурье - Соколовська Г.В. Кусік Л.І.- 2007

Добавил:

Volokhoff Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Одесский национальный морской университет

Предмет:

Высшая математика

Файл:

y f (x)sin nx

y f (x)sin nx

парна, тому

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

06.06.2019

Размер:

612.03 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 22

									11
	1	( 1)n 1 1	( 1)n 1	1
							.
		n 1	n 1				.
		n 1	n 1
Отже, для коефіцієнтів an					з непарними номерами n 2k 1,k N : a2k 1 0.
Якщо n парне (n 2k) , то:
			a2k			2		1		1	4			.

										2k 1	(4k	2
								2k 1		2k 1	(4k		1)

Очевидно, що

f1 (x)sin nx dx 0, n 1, ,

як інтеграл від непарної функції в симетричних

границях.

Таким чином, розвинення функції

y sin x на інтервалі

(0; ) в ряд косинусів має

вигляд:

4cos 2kx

sin x

(4k

k 1

Розв’язання задачі варіанта 32.

f (x)

1 x,

0 x 1,

Функцію

1 x 2

треба розкласти в ряд синусів на інтервалі

(0;2). Це означає, що спочатку її слід продовжити на інтервал (-2;2) як непарну.

1 x,

x 1;0 ,

Одержимо функцію

f (x) 1 x,

x 0;1 ,

x 2, 1

1, 2 .

На рисунку 4 зображено її графік.

Обчислимо коефіцієнти ряду Фур’є для функції f1 (x) на інтервалі (-2;2):

	1	2			1	2		nx
a	1		f (x)dx 0,	a	1		f (x)cos	nx	dx 0,	n 1, ,
	2				2			2

0			1	n			1
		2				2

як інтеграли від непарних функцій в симетричних границях.

				1	2				nx						2				nx			1
	b			2		f (x)sin				2			dx			f (x)sin			2	dx			(1
	b					f (x)sin							dx			f (x)sin				dx			(1
		n					1									1
					2										0							0
u 1 x,								du dx										2(x 1)				nx		1
u 1 x,								du dx																1
				nx								2			nx						cos
				nx								2			nx						cos
dv sin							dx, v							cos					n				2	0
dv sin							dx, v							cos					n				2	0
					2						n					2
	2			4				nx	1				2			4		n ,
									1
						sin											sin			n 1, .
	n		2n2			sin						n			2n2		sin			n 1, .
	n		2n2					2	0			n			2n2			2
									0

x)sin		nx dx
		2
	2	1	nx dx
		cos
	n
		0	2

Рис. 4

Отже, розвинення функції y f (x) в ряд синусів на інтервалі (0;2) має вигляд:

sin

n 1

, а для непарних

Враховуючи те, що для парних номерів

(n 2k, k 1, ) : b

4( 1)k 1

(n 2k 1, k 1, ): b2k 1

, маємо:

(2k 1)

(2k 1)2 2

4( 1)k 1

(2k 1) x

f (x)

sin

(2k 1)

k 1

sin 2 kx .

Завдання 4. Записати розвинення функції y f (x)

в ряд Фур’єна інтервалі

( l;l)

№

варіа-

f (x)

варіа-

f (x)

нта

cos x,

/ 2 x 0,

1/ 4, 2 x 1,

0 x / 2

1 x

x, 1/ 2 x 0,

| x |

sin( x) , 0 x 1/ 2

6x 1, 3 x 1,

2x 3, 1 x 1/ 2,

1 x 3

1/ 2 x 1

x 2, 1/ 3 x 0,

sin 2x,

/ 2 x 0,

cos x ,

0 x

/ 2

x 2,

0 x 1/ 3

№									№						l
варіа-					f (x)			l	варіа-			f (x)			l
варіа-					f (x)			l	варіа-			f (x)
нта									нта
	2 x, 2 x 1,									x / 2, 1 x 0,
9							2		10			0 x 1		1
	x2 ,				1 x 2					0,		0 x 1
	x		2	, 2 x 1,								0 x 1,
			2							1,		0 x 1,
11					1 x 2		2		12		x , 1 x 4			2
		0,			1 x 2						x , 1 x 4
	0,					1 x 0,				x2 / 3, 3 x 0,5
	0,					1 x 0,
13							1		14			0,5 x		3
13		x / 3,				0 x 1	1		14	2,			3	3
	1	x / 3,				0 x 1				2,			3
15					\| x 2 \|		4		16			4x 1		3

17					x / 2		1		18		cos(x / 2) x			2
17							1		18		cos(x / 2) x			2

19					2x 5		3		20			3 x2		1

21					5x 4		2		22			3x 2		1

														2
														2

23					1 x / 6		1,5		24		(2 3x) / 4			1

25						3			26			cos2 (5x)		2
25						3	2		26			cos2 (5x)		2
							2

27				sin2 (x / 4)					28			7x		2
27				sin2 (x / 4)			3		28			7x		2
							3

							1
29					3x				30		cos2 (x / 2)
							2
														5



31					\| 2x \| 3
31					\| 2x \| 3		4
							4

Розв’язання задачі варіанта 31.
	2x 3,	якщо / 4 x 0,
Функція	f (x) \| 2x \| 3		на проміжку		,
	2x 3,	якщо 0 x / 4		4		4

задовольняє умови теореми (2). Крім того ця функція є парною, тому розвинення в ряд

Фур’є цієї функції складається лише з косинусів. Обчислимо коефіцієнти an за формулами (7):

a0 8					/ 4						8 (x2 3x)									2	12
a0 8					(2x 3)dx						8 (x2 3x)							0			12		;
																		/ 4
				0																	2
				0																	2
			8		/ 4												u 2x 3,							du 2dx
an			8			(2x 3)cos(4nx)dx																				1					=
an						(2x 3)cos(4nx)dx																				1					=
				0												dv cos(4nx)						v						sin(4nx)
																dv cos(4nx)						v						sin(4nx)
																									4n
																									4n
	8	(2x 3) sin(4nx)									/ 4					1	/ 4						1							/ 4
											/ 4						/ 4

																	sin(4nx)										cos(4nx)
																	sin(4nx)										cos(4nx)
						4n										2n							n			2				0
																										2				0
											0						0
											0						0
										0,				якщо				n парне,
	1			1 ( 1)			n
										2
	n		2							2			,		якщо			n непарне.

												2
								n
Таким чином,
															2		12				2 cos(4x(2n 1)
									f (x)																				.
									f (x)								4					(2n 1)2							.
																	4		n 1			(2n 1)2

<<< < Предыдущая 12 / 22

Соседние файлы в предмете Высшая математика

#
06.06.20192.56 Mб20Методичка.doc
#
06.06.2019486.7 Кб7Неопределенный интеграл - Звекова Н.П. Полетаева Л.О. 2009.pdf
#
06.06.2019657.71 Кб6операційне числення Слинько 2011.pdf
#
06.06.2019764.21 Кб5Операційне числення. ТР.pdf
#
06.06.2019620.65 Кб5Ряды - Мазур Н.А. - 2003.pdf
#
06.06.2019612.03 Кб8Ряды Фурье - Соколовська Г.В. Кусік Л.І.- 2007.pdf
#
06.06.2019428.59 Кб4Сист-лін-рівн-ТР-Семіренко-к2.pdf
#
06.06.2019269.52 Кб3Статистичний ряд - Мазур..pdf
#
06.06.2019814.81 Кб11Т.Р . 1999 Вступ до аналізу. Похідна.pdf
#
06.06.20192.04 Mб8Т.Р . 1999 г. Неопределенный интеграл k1.doc
#
06.06.2019497.21 Кб23Т.Р . 2005 Елем. аналітичної геом..pdf