Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1264 вуза, 4631 предмета.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Одесский национальный морской университет
Предмет:
Высшая математика
Файл:

операційне числення Слинько 2011

.pdf
Скачиваний:
6
Добавлен:
06.06.2019
Размер:
657.71 Кб
Скачать
☆

Розв’язання

Очевидно, що

 

 

 

p1 0, k1

2,

 

 

 

p2 1, k2

 

1,

 

 

p3 2, k3 1

Скористаємося формулою для

 

f t

 

 

(Теорема 2):

 

 

 

 

 

 

 

 

 

j 3

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d

k j 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f t

k

 

 

 

 

 

lim

 

 

 

 

p p j k j f p e pt

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

j

1 ! p

p

j

dp

k j 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

j 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d

2 1

 

 

 

 

 

 

 

p 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lim

 

 

 

 

 

 

 

 

p2

 

 

 

 

 

 

 

 

e pt

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p2 p 1 p 2

 

 

 

 

 

 

1 ! p 0 dp2 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d

1 1

 

 

 

 

 

 

 

p 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lim

 

 

 

 

 

p

 

1

 

 

 

 

 

 

 

e pt

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 1 ! p 1 dp1 1

 

 

 

 

 

 

p2 p 1 p 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d

1 1

 

 

 

 

 

 

 

p 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lim

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p

2

 

 

 

 

 

 

e pt

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 1 ! p 2 dp1 1

 

 

 

 

 

 

 

p2 p 1 p 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d

 

 

 

 

 

p 1

 

 

 

 

 

 

 

p 1

 

 

 

 

 

 

lim

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

e pt

 

lim

 

 

 

 

 

 

 

 

e pt

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 p

2

 

p 2

 

 

p 0 dp p

 

 

 

 

 

p 1 p2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lim

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

e pt

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p

2 p2 p 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Знайдемо похідні, а потім окремо кожну з границь:

d

 

p 1

e pt

 

 

p 1

e pt t

 

 

 

 

 

 

 

 

p 1 p 2

p 1 p 2

dp

 

 

 

 

p 1 p 2 p 1 2 p 1 e pt

p 1 2 p 2 2

Переходячи до границі, дістаємо

 

 

 

 

 

 

lim

 

d

 

 

p 1

 

 

e pt

 

 

t

 

3

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 4

 

p0 dp p 1 p

 

 

 

 

 

 

а далі

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p 1

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

lim

 

 

 

 

e pt

et ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

p 1 p2 p

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p 1

 

 

 

 

 

1

 

e 2t

lim

 

 

 

 

e pt

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p 2 p2 p 1

 

 

12

 

 

 

 

 

 

21

Додаючи останні три вирази, знаходимо шуканий оригінал.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

t

 

2

 

 

 

 

 

1

 

 

f

p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f t

 

 

et

 

e 2t

 

 

p2 p 1 p 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4 2 3

 

 

 

12

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2)

 

 

 

f

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p 1 2 p

3 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Розв’язання

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Корені v p такі:

 

 

p1 1; k1 2;

p2 2; k2

 

3.

 

 

 

 

Тоді маємо

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

j 2

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

d

k j 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p p j k j

f p e pt

 

 

 

 

k j 1

!

lim

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dpk j 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

j 1

 

 

p p j

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d

2 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lim

 

 

 

 

 

p 1 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

e pt

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 1 ! p 1 dp21

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p 1 2 p 2 3

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d

3 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lim

 

 

 

 

 

 

p 2 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

e pt

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3 1 ! p 2 dp3 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p 1 2 p 2 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

d 2

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lim

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

e pt

 

 

 

 

lim

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

e pt

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p 1 dp p

2 3

 

 

 

 

 

2! p 2 dp2

p

1 2

 

 

 

 

 

Знайдемо похідні і окремо всі границі, маємо:

d

 

e pt

 

 

te pt p 2 3

e pt 3 p 2 2

 

e pt pt 2t 3

 

 

 

 

 

 

 

 

p 2 3

p 2

p 2 4

dp

 

 

 

d

2

e pt

 

d

te pt p 1 2 e pt 2 p 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dp2

p 1 2

 

 

 

p 1 4

 

 

 

dp

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d

 

e pt pt t 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p 1 3

 

 

 

 

 

dp

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

te pt pt t 2 e pt t p 1 3 e pt pt t 2 3 p 1 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p 1 6

 

 

22

e pt pt2 t 2 t p 1 3 pt 3t 6 ,

p 1 4

а далі

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d

 

 

 

e pt

 

 

 

lim

 

e pt pt 2t 3

et t 3 ;

 

lim

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p 2 4

 

 

 

 

 

p1 dp

p 2 3

 

p1

 

t

 

t p 1 3 pt 3t 6

 

1 lim

d

2

 

e

 

 

 

 

 

1 lim e

 

pt

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

pt

 

 

 

 

 

 

 

 

 

pt

 

 

2

 

 

 

 

 

2

 

 

 

2

 

 

p2

dp2

 

p 1 2

 

 

2 p2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p 1 4

 

=

 

 

 

 

 

e2t t 2

4t 6 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Додаючи останні два вирази, знаходимо оригінал

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

t 2e2t

4te2t 6e2t 2tet 6et .

 

f

p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f t

 

 

 

p

1 2 p 2 3

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3).

 

 

 

f p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p 1 p 2 p 4 p 4

 

 

 

 

 

Розв’язання

Оскільки у знаменнику всі корені дійсні і прості, то використаємо

Теорему 2.

Маємо

u p p 2;

v p p 1 p 2 p 4 p 4 p4 p3 18 p2 16 p 32;

 

 

 

 

3

3 p

2

36 p 16.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

v p 4 p

 

 

 

 

 

Знаходимо корені v p

 

 

 

 

 

 

 

 

p1 1;

 

p2 2;

p3 4;

p4 4.

Далі одержуємо

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u p

 

 

1

 

 

u p

 

4

 

1

 

 

1

 

 

 

 

 

;

 

 

2

 

 

 

 

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

v p1

 

45 v p2

 

36

 

9

 

23

 

u p

 

 

 

6

 

 

 

 

3

 

u p

4

 

 

 

 

2

 

1

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

80

40

 

 

 

 

144

72

 

 

 

 

 

v p3

 

 

 

 

 

v p4

 

 

 

 

 

 

 

 

Отже, оригінал має вигляд

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

j 4 u p

j

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

1

 

 

 

 

3

 

1

 

f t

 

 

 

 

 

 

e p j t

 

 

e t

e2t

e4t

e 4t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

45

 

9

 

 

40

72

 

 

 

j 1 v p j

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4).

f p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p p 1 p2 4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Розв’язання

Оскільки f p є правильним раціональним дробом, то розкладаючи

цей дріб на суму простих елементарних дробів і використовуючи властивості перетворення Лапласа, знайдемо оригінал

 

1

A

 

B

 

C p D

 

 

f p

p p 1 p2 4

 

 

 

 

 

 

 

p

p 1

p2 4

Для визначення коефіцієнтів A, B, C, D маємо тотожність

1 A p 1 p2 4 Bp p2 4 p Cp D p 1 p3 Як записати верт. Лінію на 4 строчки?

Отже , використовуючи властивість лінійності, одержуємо

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

1

1

 

1

1

 

 

 

 

1

 

 

p

 

f p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p p 1 p2 4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

p

5

p 1

20

p2 4

 

1

 

 

1

 

1

 

 

1

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

f t

 

 

et

 

cos 2t

 

 

 

sin 2t

 

 

 

 

p2 4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

 

 

4

 

5

 

 

 

20

 

 

 

 

10

 

 

 

 

24

 

 

 

1

5)

f p

 

p2 p 7

 

 

 

Розв’язання

Використаємо елементарні прийоми для розкладання цього дробу на суму таких дробів, оригінали яких відомі:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

27

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p2 p 7

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 2

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

27

 

27

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

27

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

За формулою 10 таблиці маємо

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

27

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

27

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f

 

 

e2 sin

 

t, або

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

27

 

 

 

 

 

 

1 2

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

27

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

27

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t

2

 

3

 

 

 

 

3 3

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f

 

e2 sin

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

9

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p

 

 

 

e p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6)

 

 

f

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Розв’язання

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Наявність множника e p вказує на необхідність застосування

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

властивості запізнювання. Тут

 

 

1;

 

 

 

 

 

 

 

e t , тому

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

e

p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p

 

 

 

 

 

e t 1 t 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Приклади для самостійного розв’язку.

25

Знайти оригінали по даним зображенням, використовуючи Теорему 1 і

2.

1)f p 1p cos 1p ;

2)f p sin 1p ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3)

f p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p4 5 p2 4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p2 1

 

 

 

 

 

 

4)

f p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

;

 

 

 

p p 1 p 2 p 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5)

f p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p 1 3 p 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6)

f p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p2 4 p 3

 

 

 

 

 

 

 

 

Відповіді:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1)

f t 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

;

 

 

 

2

! 2

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2)

f t 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

;

2

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

1 ! 2 !

3)

f t

 

1

 

 

 

 

 

ch2t cht ;

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4)

f t

1

 

 

 

 

 

e t

 

5

e2t

 

 

5

e3t

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

5)

f t

 

1

 

 

 

 

 

2t 2e t

2te t e3t ;

8

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

e t e3t ;

 

 

 

 

 

 

 

 

6)

f t

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5). Поняття про згортку функцій. Теорема про згортку.

26

Нехай дано дві функції f1 t і f2 t . Згорткою функцій f1 t і f2 t називається функція F t , що визначається рівністю:

t

F t f1 t f2 d .

0

Враховуючи, що операція згортання дещо схожа на операцію множення, згортку позначають таким чином:

F t f1 t f2 t .

Згортка функцій підпорядковується переставному закону, тобто

f1 t f2 t f2 t f1 t

Теорема про згортку ( множення зображень ).

 

 

Нехай функції

f1 t з показником зростання S1 відповідає зображення

 

p , де Re p S1, функції f2 t з показником зростання S2 - зображення

f1

 

p і Re p S2 ,

S1 S2. Тоді добутку зображень

 

p

 

p

f2

f1

f2

відповідає оригінал, зображений згорткою оригіналів:

f1 p f2 p f1 t f2 t при Re p S1.

Цю теорему можна сформулювати ще й таким таким чином: операції множення двох функцій у просторі зображень відповідає операція згортки їхніх оригіналів у просторі оригіналів.

Приклади

Користуючись теоремою про згортку, знайти оригінали, що відповідають таким зображенням:

 

 

 

p

1)

f p

 

 

p 1 p2 1

 

 

 

Розв’язання

27

Скористаємося теоремою про згортку. З цією метою зображення у вигляді добутку двох множників, оригінали яких відомі:

1

 

 

 

 

 

 

 

 

p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

et ,

 

 

 

 

cos t. Тоді

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p 1

 

p2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

et cos t.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p 1 p2

1

 

p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 p2 1

 

 

 

 

 

Далі маємо

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t

 

 

 

 

 

 

u cos

du sin d

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

F t f1 t f2 t et cos d

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

dv et d

v et

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t

 

 

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u sin

du cos d

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

et cos

 

 

et sin d

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dv et d

v et

 

 

 

 

 

 

 

 

 

et

sin

 

t

 

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

et cos t

 

et cos d

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

et cos t sin t et cos d .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t

 

 

 

 

 

 

F t et

cos d et cos t sin t et cos d

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

Отже,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p

 

 

 

 

 

 

 

1

sin t cos t et .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p 1 p2

1

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2)

 

 

f p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p2 1 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Розв’язання

Як і в прикладі 1) маємо

28

 

 

 

p

 

 

 

 

 

 

p

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

p

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

;

 

 

cos t;

sin t.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p2 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p2 1 p2 1

 

 

p2 1

 

p2 1

Тому, вважаючи, що

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f1 p

 

 

 

 

 

 

cos t

f1 t ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p2

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f2 p

 

 

 

 

sin t

f2 t ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p2

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Знаходимо

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t

 

 

 

 

 

 

p

 

p f1 t f2 t

f1 t f2

d ,

 

 

f1

f2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Тобто

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p

 

 

 

 

 

 

 

p

 

 

 

1

 

 

 

 

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cos t sin d

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p2 1 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p2

1 p2

1 0

 

 

 

 

1 t sin t sin t d

2 0

 

1 t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cos 2 t

 

 

 

sin 2 t sin t d

1

 

 

 

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sin t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

2

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

cos t

t sin t

cos t

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t sin t.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

2

 

 

2

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3)

 

 

 

f p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p2 1 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Розв’язання

Запишемо зображення у такому вигляді

29

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p

 

 

 

 

 

 

 

p

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f p p2 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p2 1

p2 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Використавши формули 8 і 9 таблиці, маємо

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cht,

 

 

 

 

 

 

sht,

тобто

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p2

 

 

 

 

 

 

 

p2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p

 

 

 

 

 

 

 

p

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cht sht

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p2 1 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p

2 1 p2

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Для остаточного розв’язання запишемо

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

F t cht sht ch t sh d

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

t

sh t sh t

d

1

t

sh 2 t sht d

 

 

 

2

 

2

 

0

 

ch 2 t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t

 

 

 

1

 

 

cht

 

 

 

 

cht

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sht

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

tsht

 

 

 

 

tsht.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

2

 

 

2

 

 

 

 

 

2

 

 

2

 

Отже,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

tsht.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p2 1 2

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4)

 

 

 

p2 4 p2 9

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Розв’язання

Запишемо

 

 

 

 

 

 

 

 

p2

 

 

 

 

p

 

p

 

p2 4 p2

9

p2

 

 

 

 

4 p2 9

30

Соседние файлы в предмете Высшая математика
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности