Втуп до аналізу. Похідна та її застосування. ТР 2006 рік
.pdfМІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ
ОДЕСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ МОРСЬКИЙ УНІВЕРСИТЕТ
ВСТУП ДО АНАЛІЗУ.
ПОХІДНА ТА ЇЇ ЗАСТОСУВАННЯ.
збірник завдань
для ТИПОВого РОЗРАХУНКу
Одеса – 2006
МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ ОДЕСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ МОРСЬКИЙ УНІВЕРСИТЕТ
КАФЕДРА «ВИЩА ТА ПРИКЛАДНА МАТЕМАТИКА»
ВСТУП ДО АНАЛІЗУ.
ПОХІДНА ТА ЇЇ ЗАСТОСУВАННЯ.
збірник завдань
для ТИПОВого РОЗРАХУНКу
Одеса – 2006
Збірник завдань для типового розрахунку опрацьовано кандидатом фізико-математичних наук Сиваш Світланою Борисівною – старшим викладачем кафедри «Вища та прикладна математика» Одеського національного морського університету.
До збірника включено варіанти завдань за наступними розділами: границя функції, неперервність та диференційованість функцій; геометричний зміст похідної; диференціал функції одної змінної та його застосування до наближених обчислень; повне дослідження функції та побудова її графіка.
Збірник може бути використаний для студентів всіх спеціальностей денної та заочної форм навчання.
Збірник завдань для типового розрахунку схвалено кафедрою «Вища та прикладна математика» ОНМУ 23 травня 2006р. (протокол № 10).
Рецензент – канд. фіз.-мат. наук доцент Ю.О. Григор’єв.
3
Завдання 1. Не користуючись правилом Лопіталя, обчислити
границі:
Варіант 1 |
Варіант 2 |
а)
б)
в)
г)
д)
lim |
1 2x x(x2 |
4x) |
|
|
3)(x2 3) 8x |
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x (x2 |
|
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lim ( |
x2 x 5 |
x2 3x) |
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||||||||||||
x |
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lim |
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3x2 2x 5 |
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||||||
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x 11 |
x2 3x 3 |
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|||||||||||||
lim |
cos 2x cos 4x |
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|||||||||
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x 0 xarctg5x |
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||||||||
lim |
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ln(1 7x2 ) |
е) |
|
2x 5 |
1 4 x |
|||||||||
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|
lim |
|
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|||||
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e |
sin2 2 x |
|
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|||||||||
x 0 1 |
|
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|
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|
x 2x 3 |
|
а)
б)
в)
г)
д)
lim |
x3 3x2 x(x2 1) |
||||
|
x2 5x 2 |
||||
x |
|
||||
|
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|
|
|
|
lim ( |
|
6x 5 1 3x ) |
|||
x |
|
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|
lim
x2 5 3
x 2 2 3x2 4x
lim
1 cos x
x 0 (arcsin 2x)2
lim |
x ln(1 4x) |
е) |
lim |
x 4 |
1 5x |
|||
|
|
|
|
|
|
|||
e |
0,5 x |
1 |
|
|||||
x 0 |
|
|
x x 2 |
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Варіант 3
а) |
lim |
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(1 2x)3 8x3 |
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|||||||||
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x (1 2x)2 4x2 |
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||||||||||||
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|||||||
б) |
lim (2x |
|
4x2 3x 2) |
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||||||||||||||
|
x |
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|||
в) |
lim |
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5x 1 2 |
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3x2 x 4 |
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x 1 |
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||||||||||||
г) |
lim |
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x2 |
4x3 |
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|||||||
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x 0 sin 2x sin 4x |
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||||||||||||
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ln(1 tgx / 2) |
|
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x 5 |
1 |
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д) |
lim |
|
е) |
lim |
|
x |
||||||||||||||
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|||||||||
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e |
3x |
e |
2 x |
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|
x 0 |
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|
x 0 |
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2x 5 |
Варіант 4
а) |
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lim |
(x 1)2 x2 4x |
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|||||||||||
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x2 (5x 1)2 |
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||||||||
|
|
x |
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|||||||
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б) |
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lim ( |
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x2 3x 2 |
x2 3) |
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||||||||||
|
x |
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в) |
|
lim |
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x 13 2 |
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x 1 |
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|||||
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x2 9 |
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||||
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|
x 3 |
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|||||
г) |
|
lim |
|
|
sin 7x |
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||||
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x 0 x2 x |
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|||||||
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|
1 cos3 2x |
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1 |
||||
д) |
|
|
е) |
|
1 |
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||||||||||||
lim |
|
lim |
2x |
tg 4 x |
|||||||||||||||
|
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|||||||||||||
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x 0 (e3x 1)2 |
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x 0 |
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Варіант 5 |
Варіант 6 |
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||||||||||
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(x 1)2 |
x4 |
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||
а) |
lim |
|
x6 |
2x2 1 2x3 |
а) |
lim |
2x |
||||||||||
|
|
5x2 2x 4 |
|
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|||||||
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x x3 |
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x 5x4 (3x 1)2 |
||||||||||||||
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x2 3x 4) |
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б) |
lim (x |
|
x(x 2) 4) |
б) |
lim ( x(x 2) |
|
|||||||||||
|
x |
|
|
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|
|
x |
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4
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в) |
lim |
2 2x2 x 1 |
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в) |
lim |
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x2 x 3 3 |
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x3 1 |
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x3 27 |
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||||||||||||||||||
|
x 1 |
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x 3 |
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sin 4x tg 2x |
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|||||||||||||
г) |
lim |
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arcsin |
|
5x |
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г) |
lim |
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x 0 x |
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tg3x |
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x 0 x2 arctg3x |
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1 esin 6x |
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2x 3 ctg 2x |
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|
ln(1 2x) 3x |
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|
1 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
д) |
lim |
|
е) |
lim |
|
д) lim |
|
е) |
lim |
1 tg5x 4 x x |
2 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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|
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|
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|
cos x 1 |
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||||||||||||||||||||||||||||||
|
x 0 1 |
1 x |
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|
x 0 |
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|
4x 3 |
|
x 0 |
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|
|
|
|
x 0 |
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||||||||||||||||||||||||||||||||
Варіант |
7 |
|
|
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Варіант |
8 |
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|||||||||||||||
а) |
lim |
|
|
|
x(x2 x) 9x 2 |
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|
а) |
|
lim |
|
|
3x2 x(5x2 6) |
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|
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|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
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|
x2 5x4 2 |
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|||||||||||||||
|
x (3x 1)3 27x3 |
|
|
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|
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|
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|
x |
|
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|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
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|
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|
|
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|||||||||||||||||||||||
б) |
lim (3x |
9x2 3x 1) |
|
|
|
|
|
|
|
б) |
lim ( |
4x2 2x 1 x) |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 8x |
|
|
|
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|
|
|
|
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|
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|
|
|
|
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|
|||||||||||
в) |
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в) |
lim |
|
|
|
|
|
2x 9 5 |
|
|
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|||||||||||||||||||||||
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|
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|
|
|
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|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
x 810 |
x 6 1 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
x 816 6x x2 |
|
|
|
|
|
|
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|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||
г) |
lim |
|
|
|
1 cos3 4x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
г) |
lim |
|
|
x ln(1 3x) |
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2 arctg2x |
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin2 5x |
|
|
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|
|
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|
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||||||||||||||||||||||||
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x 0 x |
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|
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|
|
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|
x 0 |
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
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||||||||||||||||||||||||||
д) |
lim |
|
|
ln(1 2x2 ) |
|
е) |
lim |
|
5x 1 |
1 3x |
д) |
lim |
arcsin |
2 0,5x |
е) |
lim |
|
x 2 ctg5x |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
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|
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||||||||||||||||||||||||
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x 0 |
e |
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
5x 2 |
|
|
x 0 |
|
|
|
|
|
e4x |
1 |
|
|
|
x 0 |
|
4x 2 |
|
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Варіант |
9 |
|
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|
|
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|
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Варіант |
10 |
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а)
б)
в)
г)
д)
lim |
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(x2 x)2 |
2 |
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|
|
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а) |
|
lim |
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x2 |
x2 (x 4) 1 |
|
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|||||||||||||||||
|
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|
|
|
|
|
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6x3 2x 9 |
|
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||||||||||||
x (2x2 1)(2x2 1) |
|
|
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x x2 |
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lim (x |
x2 4x 1) |
|
|
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б) |
|
lim ( |
|
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2x2 x 1 |
|
2x2 |
x 2) |
|
|||||||||||||||||||||
x |
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|
x |
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||||||
lim |
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x2 9 |
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в) |
|
lim |
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x2 4 |
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|||||||||||||
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|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
||||||||
x 3 |
|
|
x2 x 2 |
x 1 |
|
|
|
|
|
x 2 2 |
x2 x 2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
lim |
|
x arcsin 0, 2x |
|
|
|
|
|
|
|
г) |
lim |
|
|
x2 |
2x |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
x2 tg 2 4x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
x 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 0 cos2 6x 1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
(1 x)x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ctg3x |
|||||||||||
lim |
ln(1 |
|
2x) |
|
е) |
lim |
1 |
д) lim |
|
|
x arctg0,5x |
е) |
lim |
4x 2 |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
x 0 |
|
|
|
arctg8x |
|
|
x x |
|
|
x 0 |
|
|
|
e 3x |
1 |
|
x 0 |
5x 2 |
|
Варіант |
11 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
а) |
lim |
1 2x3 3x(x2 4) |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
3)(x2 |
|
5) 8 |
|
|
||||||||||||
|
x (x |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
б) |
lim ( x 5 |
|
4 3x ) |
|
|
|||||||||||||
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
в) |
lim |
9x2 |
9x 4 |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
x 1/ 3 1 |
|
6x 1 |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
г) |
lim |
cos 4x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
x 0 |
arctg8x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
x ln(1 32tgx) |
|
|
|
3x 1 1 x |
||||||||||
д) |
lim |
|
|
|
|
|
|
|
е) lim |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
sin2 6 x |
|
|||||||||||
|
x 0 |
2 2e |
|
|
|
|
|
x |
3x 2 |
5
Варіант |
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
а) |
lim |
|
|
|
x4 3x2 x2 (x2 1) |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
(x2 5x)(1 |
x) |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
б) |
lim ( |
|
|
x 5 x2 |
1 x2 ) |
|
|
|||||||||||||||
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
в) |
lim |
15 2x x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
x 5 4 |
|
|
x2 9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
г) |
lim |
|
|
|
|
1 cos3 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
x 0 sin 6x sin x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
ln(1 4x) 5x |
|
|
|
|
x 2 |
1 5x |
3 |
|||||||||||||
д) |
lim |
е) |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
1 e |
5 x |
|
|
|||||||||||||
|
x 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x x 2 |
|
|
Варіант |
|
13 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
а) |
lim |
2 3x 4x2 5x3 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
(x 3)3 25 |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
б) |
lim (4x 4 3x 16x2 ) |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в) |
lim |
|
9x2 5x 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
x 11 x2 x 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
г) |
lim |
|
cos x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
x 0 arcsin 2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
e2 x e5 x |
|
|
|
|
x2 1 |
1 4x2 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
д) |
lim |
|
|
|
|
|
|
|
е) |
lim |
|
|
|
|
|
|||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|||||||||
|
x 0 ln |
|
(1 4x) |
x |
x |
|
|
Варіант |
|
14 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
а) |
lim |
|
|
|
|
x2 (2x2 1) 4 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
x (1 x)(1 x) 4x4 |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
б) |
lim ( |
|
2x 5 |
1 x ) |
|
|||||||||||
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в) |
lim |
|
|
|
|
4 x2 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
x 2 |
|
x2 x 7 |
x 1 |
|
|||||||||||
г) |
lim |
|
|
|
cos3 2x 1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
x 0 sin2 x tg 2 3x |
|
||||||||||||||
|
|
|
ln(1 5x2 ) |
|
|
|
|
x 2 |
2 4x4 |
|||||||
д) |
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
е) lim |
|
|
||||
|
|
|
|
cos |
2 |
x |
|
|||||||||
|
x 0 1 |
|
|
x x 2 |
|
Варіант |
|
15 |
|
|
|
|
|
|
||||
а) |
lim |
|
3x5 2x2 x 2 |
|
||||||||
|
|
|
3)(x2 |
3) x |
||||||||
|
x (x2 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
б) |
lim ( |
x2 4 |
|
x2 4x) |
||||||||
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в) |
lim |
2x2 |
3x 9 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
x 3 |
4 |
|
5x 1 |
|
|
|
|
||||
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Варіант |
16 |
|
|
|
|
|
||
а) |
lim |
x2 x2 (5x 2) |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
||
|
x 5x2 6x3 x 1 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б) |
lim ( |
|
6x 1 2x 2) |
|||||
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
в) |
lim |
|
x2 2x |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
||
|
x 2 2x 3x2 4 |
6
г) |
lim |
|
x2 |
arcsin2 |
2x |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
tg 2 2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
x 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
(1 2x)x |
|||
д) |
lim |
|
ln(1 5x) |
е) |
lim |
x |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|||||||
|
|
arctg4x |
||||||||||||||
|
x 0 |
|
|
|
|
x x |
|
|
г) |
lim |
xarctg0,5x |
|
|
|
|||||
|
cos3 4x 1 |
|
|
|
||||||
|
x 0 |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
д) |
lim |
|
|
x 4x2 |
е) |
lim |
1 tg 2x ctg3x |
|||
|
|
|
|
|
|
|||||
|
x 0 e 2x 1 |
|
x 0 |
|
Варіант 17
а) |
lim |
x2 |
x3 2x 4 |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
(x 1)3 2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
x |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
б) |
lim (3x |
|
|
4 9x2 ) |
|
|
|
|
|
||||||||
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в) |
lim |
|
x3 |
64 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
x 4 3 |
|
2x 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
г) |
lim |
|
cos 2x 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
x 0 arcsin2 3x |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
д) |
lim |
etg 4x 1 |
е) |
lim |
|
x2 1 |
x2 3 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
x |
||||||||
|
x 0 ln(1 8x) |
|
x x |
|
|
Варіант |
18 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
а) |
lim |
(2x2 1)(x2 |
4) |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
x x4 3x3 4x 2 |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
б) |
lim ( |
|
|
2x2 x 1 |
2x2 4x) |
|
||||||||||||||
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
в) |
lim |
|
|
|
|
|
4x 2x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
x 2 |
|
x2 4x 3 |
3 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
г) |
lim |
|
|
cos 2x 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
x 0 1 |
|
|
x 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
д) |
lim |
ln(1 sin 4x) |
е) |
|
lim |
3x 2 |
1 5x |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
x 0 |
|
|
3x tg 2x |
|
|
|
x 3x 1 |
|
Варіант |
19 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Варіант |
20 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
а) |
lim |
|
|
(1 x)2 2x4 |
|
|
|
|
|
|
|
а) |
lim |
|
|
x2 4(x 4) x4 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x3 (2x 9)2 |
|
|
|
|||||||||||||||
|
x (2x2 3)(2x2 |
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
б) |
lim (x |
|
x2 2x 5) |
|
|
|
|
|
|
б) |
lim ( |
5x 1 |
|
8x 2) |
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в) |
lim |
|
|
x2 |
9x 18 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в) |
lim |
|
|
|
|
x2 x3 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
x 3 4 x2 7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 1 2 |
x3 3 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
г) |
lim |
|
|
arcsin 6x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
г) |
lim |
arcsin2 2x |
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||||||||||||||||||
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1 cos3x |
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||||||||||||
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x 0 tg 2 4x 2x |
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x 0 |
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|||||||||||||||||||||||
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14x2 |
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4x 2 1sin 4x |
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||||
д) |
lim |
ln(1 tgx) |
е) lim |
x2 1 |
д) |
lim |
|
|
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x 2x2 |
е) lim |
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
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|||||||||||
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2 |
1 |
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||||||||||||||||
|
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|
arctg5x |
2x |
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6x 1 |
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x 0 |
|
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x 0 |
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|
|
x 0 e |
|
x 0 |
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5x 2 |
7
Варіант 21
а) lim 1 x2 2x4 x 1 x(2x2 3)
|
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б) |
lim (3x |
9x2 x 2) |
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|||||||||||
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
в) |
lim |
|
|
5x2 3x 2 |
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|||||||||
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|
|
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x 1 |
|
|
2x |
|
x 1 |
|
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|||||||
г) |
lim |
|
|
arcsin2 (x / 3) |
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|||||||||
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|
|
|
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|
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|
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|||
|
x 0 tg 2 (2x / 3) 2x2 |
|
|
|
|
||||||||||||
д) |
lim |
|
|
|
esin3x e5x |
е) lim |
|
5x 1 14x |
|||||||||
|
|
|
|
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|
|
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||||
|
|
|
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|
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|
||||||
|
x 0 |
|
|
|
arctg2 5x 2x2 |
x 0 |
|
2x 1 |
Варіант |
22 |
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||||||||
а) |
lim |
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x2 4(x 4) x3 |
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|||||||||||||||
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||
|
x |
|
|
|
x |
6 |
(2x |
|
9) |
2 |
|
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||||||||
|
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||||||||
б) |
lim ( |
5x2 1 |
5x2 2x) |
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|||||||||||||||||||
|
x |
|
|
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в) |
lim |
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|
3x2 5x 2 |
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||||||||||||
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|
x 1 3x2 1 x3 3 |
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|||||||||||||||||||
г) |
lim |
x arcsin2 2x |
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|
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|
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||||||||||||
|
|
|
cos(3x / 2) |
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||||||||||||
|
x 0 1 |
|
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|
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||||||||||||||
|
|
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|
|
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|
5x 4 x3 |
||||||||||
д) |
lim |
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|
tg2 3x 2x2 |
|
е) |
lim |
|
|||||||||||||||
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|
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||||||||
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e5x 1 |
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||||||||||||||
|
x 0 |
|
|
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x |
5x 2 |
Варіант 23 |
Варіант 24 |
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а) |
lim |
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1 3x2 |
2x6 |
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||||||||||||
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1 x(x2 |
5) |
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||||||||||||||||
|
x |
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|||||||||||||||||
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б) |
lim ( |
|
|
3x 2 |
9x 2) |
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|||||||||||||
|
x |
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|
|
|
|
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в) |
lim |
x2 3x 10 |
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||||||||||||||||
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|
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|||||
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x 5 |
|
|
1 |
x 6 |
|
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|||||||||||||
|
|
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|
|
|
|
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г) |
lim |
arcsin |
|
5x |
|
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|||||
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x 0 x tg2x |
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||||||||||||
|
|
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|
|
|
etg3x ex |
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1 |
|||||||||||
д) |
lim |
|
|
|
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е) lim 1 |
2x |
5x |
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|||||||
|
x 0 |
arcsin2 4x 9x2 |
x 0 |
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а) |
|
lim |
|
x2 4x x3 |
1 |
|
|
|
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||||||||||||||
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|
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||||
|
x |
|
|
4x |
6 |
(2x 9) |
2 |
|
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||||||||||||
|
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|
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|
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|
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б) |
|
lim (x 5 5x2 x 4) |
|
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|||||||||||||||||||
|
x |
|
|
|
|
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|
|
|
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||||
в) |
|
lim |
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|
3x2 5x 2 |
|
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||||||||||||
|
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||||
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x 1 |
|
x 1 3x |
1 |
|
|
|
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||||||||||||||
г) |
|
lim |
cos8x cos 2x |
|
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|
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||||||||||||||
|
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||||||||||||||
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x 0 |
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|
xarctg 4x |
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||||||||||||
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|
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|
x 6 |
5x |
||||||||
д) |
lim |
ln(1 3x ) |
|
е) |
lim |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
x 0 |
|
esin 2x 1 |
|
|
|
x x 2 |
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Варіант 25 |
Варіант |
26 |
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|||
а) |
lim |
|
(1 2x)3 6x |
а) |
lim |
x3 4 x6 x3 1 |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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||||||
|
x 2x2 x(x2 4) |
|
x |
|
|
x6 (2x 1)2 |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
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lim (x |
|
x2 6x 1) |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
б) |
lim ( |
|
|
3x2 2x 1 x 3) |
б) |
||||||||||||||||||||
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
в) |
lim |
|
|
|
|
x3 9x |
в) |
lim |
|
|
|
x2 5x 4 |
|||||||||||||
|
|
|
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|
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|
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|
|||||
|
x 3 |
|
2x2 7 7x 4 |
|
x 4 x 1 x2 3x 5 |
г) |
lim |
|
|
|
|
arcsin3 3x |
|
|
|
|
|
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|
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||||||||||||||
|
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|
x 0 x ln(1 2x2 ) |
|
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|
|||||||||||||||||||
д) |
|
|
|
|
|
e3x e7x |
е) |
|
|
1 tg |
2 |
|
|
16x |
|||||||||||||||||
lim |
|
lim |
2x |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
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||||||||||||||
|
x 0 |
|
|
7x 9x2 |
|
|
|
x 0 |
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||||||||||||||||||||
Варіант |
27 |
|
|
|
|
|
|
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||||||||||||
а) |
lim |
2 3x x(4 x2 ) |
|
|
|
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||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
5x (x2 3) |
|
|
|
|
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||||||||||||||||||||
|
x 1 |
|
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|
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||||||||||||||||||||||||
|
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||||||||
б) |
lim ( |
|
|
|
|
x2 x 2 |
x2 2) |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
||||
в) |
lim |
|
5x2 2x 3 |
|
|
|
|
|
|
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||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
|
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|
|
|
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|
|
||||||
|
x 1 x |
|
|
2x2 1 |
|
|
|
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|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
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|
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|
|
|
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|
|
|||||||
г) |
lim |
|
|
|
|
|
2 |
1 cos x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
arcsin2 2x |
|
|
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|
|
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|||||||||||||
|
x 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
д) |
lim |
etgx e 2x |
|
е) |
lim |
1 4x 1tg6x |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
x 0 |
|
|
|
|
|
|
x 9x2 |
|
|
|
x 0 |
|
|
|
|
|
|
8
г) |
lim |
cos2 4x 1 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
x 0 xtg2x |
|
|
|
|
|
|||
д) |
lim |
|
ln(1 4x2 ) |
е) |
lim |
|
4x 1 |
2 5x |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
||||||
x 0 (esin 2x 1)2 |
|
x |
4x 2 |
|
Варіант 28
а) |
|
lim |
x2 |
4x x3 1 |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
x |
|
|
3 |
x |
6 |
1 |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
б) |
lim (x x2 |
|
5x 1) |
||||||||||||||||||
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
в) |
lim |
|
|
|
|
|
|
|
8 x3 |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
||||
|
x 2 x 3x2 5x 2 |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
г) |
lim |
|
|
|
cos8x 1 |
|
|
|
|||||||||||||
|
x2 |
tg 2 4x |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
x 0 |
|
|
|
|||||||||||||||||
д) lim |
|
ln(1 sin2 (x / 3)) |
е) |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|||||
x 0 |
1 |
x2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
x 2 |
5x 4 |
|
lim |
2 |
||
|
|
|
|
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|||
x x 2 |
|
Варіант 29
|
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а) |
lim |
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4 x2 |
1 3x2 |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|||
|
x 1 (x2 5) 6x |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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||||
б) |
lim ( 4x 2 x |
2) |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
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в) |
lim |
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4x2 3x 1 |
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|||||||||
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x 1 3x 1 5x |
1 |
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|||||||||||||||
г) |
lim |
arcsin2 7x |
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|||||||||
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x tg6x |
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|||||||||
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x 0 |
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||||||||
д) |
lim |
|
etg5x 1 |
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е) |
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lim |
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3 2x 1tg8x |
||||||||||
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||||||
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||||||||
|
x 0 |
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x 9x2 |
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x 0 |
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3 x |
Варіант 30
а) |
lim |
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x3 (1 x)3 |
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x 2 4x 5x2 |
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|||||||||||||
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||||||
б) |
lim (x |
x2 3x 5) |
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|||||||||||||||
|
x |
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|||||
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x2 x 16 |
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|||||||
в) |
lim |
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|
x |
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||||||||||
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|
x 4 |
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|
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x 5 3 |
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|||||||
г) |
lim |
3 3cos 2x |
|
|
|
|
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|
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||||||||||
|
arctg 2 4x |
|
|
|
|
|
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|||||||||||
|
x 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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||||||||||
|
|
ln(1 4x2 ) |
|
|
|
|
|
|
7x 6 |
3 2x |
|||||||||||
д) |
lim |
е) |
lim |
4 |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
arctg |
2 |
2x |
|
|||||||||||||||||
|
x 0 |
|
|
|
|
x |
7x 3 |
9
Завдання 2. Знайти точки розриву функцій та вказати їх тип. Зробити
креслення.
|
|
2x2 1, |
|
x 0, |
|||
1. а) |
|
1 x, 0 x 1, |
|||||
f (x) |
|||||||
|
|
3 - x, |
|
|
x 1; |
||
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 1, |
x 1, |
||||
2. а) |
|
1 x, -1 x 1, |
|||||
f (x) |
|||||||
|
|
2, |
x 1; |
||||
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x, |
|
x 0, |
||
3. а) |
|
|
|
2 |
, 0 x 2, |
||
f (x) |
-(1 x) |
||||||
|
|
3 x, |
x 2; |
||||
|
|
||||||
|
|
x 4, |
|
x 1, |
|||
4. а) |
|
2 x |
2 |
, -1 x 1, |
|||
f (x) |
|
||||||
|
|
2x, |
|
x 1; |
|||
|
|
|
|||||
|
|
2, |
|
x 2, |
|||
5. а) |
|
2 2x, -2 x 0, |
|||||
f (x) |
|||||||
|
|
cos x, |
|
x 0; |
|||
|
|
|
|||||
|
|
x2 , |
|
x 0, |
|||
6. а) |
|
|
|
|
|
|
|
f (x) tgx, 0 x / 4, |
|||||||
|
|
3, |
|
|
x / 4; |
||
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
3 3x, |
|
x 0, |
7.а) f (x) sin x, 0 x ,
0, x ;
|
|
cos x, |
x 0, |
|||
8. а) |
|
2 |
, 0 |
x 1, |
||
f (x) |
1 x |
|||||
|
|
5 4x, |
x 1; |
|||
|
|
|||||
|
|
1, |
|
x 0, |
||
9. а) |
|
|
|
|
|
|
f (x) ln x, 0 x 1, |
||||||
|
|
(x 1) |
2 |
, |
x 1; |
|
|
|
|
б)
б)
б)
б)
б)
б)
б)
б)
б)
f (x)
f (x)
f (x)
f (x)
f (x)
f (x)
f (x)
f (x)
f (x)
2x2 3x 1
x2 2x 3
x2 4x 3
x2 4x 5
x2 x 6
x2 x 12
x2 3x 2
x2 2x 1
x2 7x 6
x2 3x 4
5x2 3x 2
x2 x
x2 3x 10
x2 6x 8
x2 7x 10
x2 3x 10
4x2 3x 1
x2 1