book1989

т. е. в виде уравнения плоскости, проходящей через три заданные точки (хи уи щ), i =l , 2, 3.

2. Общая постановка задачи интерполирования. Пусть на от-

с числовыми коэффициентами с0, си . . ., сп. Задача интерполирова­ ния функции f(x) системой функций (9) на сетке (10) состоит в нахождении коэффициентов с0, си . . . , с„, для которых выполнены условия

Интерполирование алгебраическими многочленами является частным случаем сформулированной задачи, когда фЛ(х) = х \ k = =0, 1, . . . . п. Возникает вопрос о существовании и единственности решения общей задачи интерполирования. Запишем систему (12) 'более подробно:

С0Фо (Хп) + CjiPx (хп) -f . . . + С„ф„ (хп) = / (*rt).

Для того чтобы эта система имела единственное решение, необхо­ димо и достаточно, чтобы определитель матрицы

был отличен от нуля. Более того, поскольку узлы х0, xlt... ,х п мо­

этого требования зависит от выбора системы функций (ф*.(х)}£=0.

любом расположении узлов xh^[a , b], k = 0, 1, .... и, когда среди этих узлов нет совпадающих. Таким образом, общая задача ин­

(Фа(*)}£=<>■

151

Система алгебраических многочленов сpk(x)=xk, k = 0, 1, п, является чебышевской системой на любом отрезке [а, Ь\. Система

IО

0 |

1oj

т.е. данная система не является чебышевской на [— I, I]. Менее тривиальным является пример системы

то система не является чебышевской. Действительно, если, напри­

общенный многочлен по этой системе, у которого хотя бы один из коэффициентов отличен от нуля, имел на [а, Ь] не более п нулей. Иногда это свойство принимается за определение чебышевской си­ стемы.

В этом случае можно рассматривать задачу о наилучшем прибли­ жении, которая формулируется следующим образом.

Введем обобщенный многочлен (11) и будем рассматривать его

характеризующие отклонение в узлах хк точного значения функ-

152

ции f(x) от ее приближенного значения, полученного с помощью обобщенного многочлена (11). Для вектора погрешностей

Задача о наилучшем приближении функции f(x), заданной таб­ лично, состоит в нахождении коэффициентов с0, с1г.. ., сп, мини­ мизирующих норму вектора г. В зависимости от выбора нормы по­ лучим различные задачи. Так, норме (14) соответствует задача о наилучшем среднеквадратичном приближении, а норме (15) — задача о наилучшем равномерном приближении функции, задан­ ной таблично.

Если т=п, то независимо от выбора нормы решение с= (с0, с,,.. ., сп)Т задачи о наилучшем приближении совпадает с решением задачи интерполирования. Действительно, в этом случае требование 1И 1=0 приводит к условиям

Обозначим h0=xt—xQ, hi=x2—xi и будем искать обобщенный мно­ гочлен ф(х) в виде

дущем пункте. Согласно (18) получаем, что многочлен ф<*> (х) наилучшего среднеквадратичного приближения, построенный по

ной согласно (19). То, что такая замена действительно осуществ­

а также к размазыванию выброса и уменьшению его амплитуды. На участках гладкости f(x) функция ф(х) также остается гладкой. Для наглядности читателю предлагается построить графики функ­ ций f(x) и ф(х).

В рассмотренном случае сглаживание свелось к осреднению функции f(x) по трем соседним точкам. Можно проводить осред­ нение и по большему числу точке, например по пяти точкам, когда

Чтобы выяснить, почему осреднение приводит к сглаживанию, вернемся к рассмотренному примеру. Будем считать, что f(x) задана на равномерной сетке

шл= {xi = ih, i= 0, 1, .. ., N, hN = /},

т. e. к осреднению f(x) по трем соседним точкам. Таким образом, можно счи­ тать, что процедура осреднения представляет собой замену сеточной функции f

155

ные гармоники и уменьшает амплитуду высокочастотных гармоник примерно

втри раза. Этим и объясняется эффект сглаживания.

§6. Наилучшие приближения в гильбертовом пространстве

1.Постановка задачи. В п. 3 § 5 рассматривалась задача о при­ ближении функции, заданной таблично. Однако задачу о прибли­

жении функций можно сформулировать и в более общем виде, а именно в терминах теории приближений в линейных нормиро­ ванных пространствах.

Пусть дано линейное нормированное пространство Я, может быть бесконечномерное, и в нем задана конечная система линейно независимых элементов

Элемент ф, определенный согласно (2), называется обобщен­ ным многочленом, построенным по системе элементов (1).

156

Будем расссматривать задачу о наилучшем приближении, со­ стоящую в том, чтобы для заданного /е Я среди всех линейных комбинаций вида (2) найти такой обобщенный многочлен ф, для которого отклонение

было бы минимальным. Элемент

Ф= СоФ “Ь ПФТ + • • • + слФя|

дающий решение этой задачи, называется элементом наилучшего приближения.

Известно (см., например, [2]), что при весьма общих предпо­ ложениях элемент наилучшего приближения существует и единст­ вен. В зависимости от выбора пространства Н, нормы || • || и си­ стемы {ф/г}*=о можно получить ту пли иную конкретную задачу о наилучшем приближении.

Рассмотрим более подробно задачу о наилучшем приближении в том случае, когда Н —вещественное гильбертово пространства

со скалярным произведением (/, g )H и нормой ||/||н= У(/, f)H- Ти­ пичным примером гильбертова пространства является пространст­ во L2(a, Ь) вещественных функций f(x), интегрируемых с квадра­ том на [а, Ь], причем

Пусть задана конечная система линейно независимых элемен­

является минимальным среди всех обобщенных многочленов вида

ф= С 0ф0 + С,ф1+ . . , + С„ф„.

2.Сведение к алгебраической задаче о минимуме квадратично­ го функционала. Покажем, что сформулированная задача имеет

единственное решение. Перепишем равенство (6) в виде

Пусть А=[аы\ —матрица с элементами

157

где fi= (f, ср{)н, i=0, 1,. .. , n. Обозначая через

П

(и,и) = 2 UiVi

1=0

скалярные произведения векторов и и у, можно записать тожде­ ство (7) в виде

определенного на множестве вещественных (п+1)-мерных век­ торов.

т. е. А —положительно определенная матрица. Заметим, что поло­ жительно определенными являются и матрицы всех угловых ми­ норов А.

Следующая теорема сводит проблему минимизации квадратич­ ного функционала (10) к решению некоторой системы линейных алгебраических уравнений.

Т е о р е м а 1. Пусть А —симметричная положительно опреде­

ленная матрица и f — заданный вектор. Тогда функционал (10) имеет единственную точку минимума с. Вектор с удовлетворяет системе уравнений

158

Д о к а з а т е л ь с т в о . Заметим прежде всего, что система (11) имеет единственное решение, поскольку А —положительно опре­ деленная матрица. Остается доказать, что вектор с минимизирует функционал (10) тогда и только тогда, когда он является решени­ ем системы (11). Докажем сначала достаточность. Для любых век­ торов v и с имеем

F (с + у) = (А (с + и), с + v) — 2 (J, с + v) =

= (Ас, с) — 2 (/, с) + 2 (Ac, v) — 2 (/, v) + (Av, и),

т. е.

Предположим, что с является решением системы (11). Тогда из (12) получим

F(c+v)=F(с) + (Av, v).

В силу положительной определенности матрицы А отсюда следует неравенство

жим v=Xy, где X —действительное число и у —произвольный век­ тор. Тогда получим

F (с+ Ы = F (с) + 2Х (Ас — /,«/) + >-2 (Ау, у).

Рассмотрим выражение в правой части этого тождества как функ­ цию X и обозначим

g М = (Ау, У) + 2Х (Ас — /, у) + F (с).

Поскольку с —точка минимума функционала F(c), при любых у

иX выполняется неравенство F(c+Xy) ^ F(c), т. е. g(X) ^ g ( 0). Та­ ким образом, Я=0 является точкой минимума g(X) и, следователь­ но, g' (0) =0. Отсюда получаем, что

ё' (0) = 2 (Ас— f, У) — 0

ив силу произвольности вектора у приходим к выводу, что Ac—J= =0. Теорема 1 доказана.

3.Следствия. Более подробно систему (11) можно записать в

виде

П

из системы (13). Из сказанного выше ясно, что алгоритм построе­ ния элемента наилучшего приближения в гильбертовом простран­

А=о Как правило, каждый из этапов этого алгоритма осуществля­

зультате использования наилучшего приближения в гильбертовом пространстве. Докажем сначала, что справедлива

Л е м м а 1. Если ф —элемент наилучшего приближения в Н, то

т. е. погрешность /—ф ортогональна элементу наилучшего прибли­ жения.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Из (11) имеем (Ас, с) = (}, с) . Как по­ казано ранее, (Ас, с)=||ф||н. Далее,