teor_pogr_zachita

которое, в данном случае, является математической моделью погреш! ности измерения.

o

В (6.1.15) ox – случайная составляющая основной инструменталь!

o

ной погрешности средства измерения, oHx – случайная погрешность от

o

гистерезиса, o ext x – случайная погрешность, порождённая внешними причинами, x – суммарная случайная погрешность, обусловленная действием всех представленных в объединении (6.1.15) причин.

Для получения результата измерения физической величины xд, при превалирующей случайной погрешности, проведём n измерений одним и тем же прибором, случайно взятым из партии приборов. Получим множество показаний средства измерения:

Поскольку неизвестно значение измеряемой физической величи! ны, то неизвестно и значение абсолютной погрешности измерения. Выражение (6.1.18) всего лишь математическая формула, которая ни! когда не может быть использована на практике. На практике мы имеем среднее арифметическое значение измеряемой величины (6.1.17) и среднее квадратическое отклонение результатов отдельных измерений от их среднего арифметического:

Среднеквадратическое отклонение (6.1.19) характеризует разброс

Чтобы оценить отклонение среднего арифметического значения

результата измерений – от действительного значения измеряемой x и xд

физической величины, проведём m серий измерений по n измерений в каждой серии, в результате получим m средних арифметических значе! ний измеренной физической величины

и m средних квадратических отклонений, определяемых по (6.1.19):

121

В теории вероятностей доказано, что можно получить такую же точность измерения, проведя всего одну серию из n измерений, после чего вычислить среднее арифметическое по формуле (6.1.17) и среднее квадратическое отклонение среднего арифметического от действитель! ного значения измеряемой физической величины по формуле

Результат измерения представляется в окончательном виде

Измеряемое значение физической величины находится в интерва! ле, указанном в (6.1.26), с доверительной вероятностью Pд = 0,95 при k = 2 и Pд = 0,997 при k = 3.

На практике при обработке результатов многократных измерений используются формулы (6.1.17) и (6.1.25).

6.2.2.Прямые многократные измерения

вприсутствии систематической и случайной составляющих инструментальной погрешности измерения

Несколькими прикидочными измерениями установлено, что слу! чайная погрешность соизмерима с систематической погрешностью средства измерения:

122

Математическая модель погрешности измерения в данном случае

Систематическая погрешность определяется классом точности средства измерения. Если у средства измерения преобладает мульт! ипликативная составляющая инструментальной погрешности, то гра! ницы систематической погрешности определяются как

где +кл – класс точности средства измерения, xи – показания средства измерения, xm – границы систематической погрешности.

Если у средства измерения преобладает аддитивная составляющая инструментальной погрешности, то границы систематической погреш! ности определяются как

где кл – класс точности средства измерения с аддитивной погрешно! стью, xm – верхний предел средства измерения.

При сопоставимых аддитивной и мультипликативной составляю! щих инструментальной погрешности, границы инструментальной по! грешности определяются по формуле

где c и d – коэффициенты, нормирующие класс точности средства из! мерения, xи – показания средства измерения, xm – верхний предел сред! ства измерения.

Границы доверительного интервала систематической погрешно! сти связаны со средним квадратическим отклонением погрешности со! отношением

xm k [ x],

123

Оценка случайной составляющей погрешности измерения произ! водится после проведения многократных измерений и статистической обработки с использованием формул (6.1.17) и (6.1.25). Эта составляю! щая погрешности оценивается средним квадратическим отклонением среднего значения показаний средства измерения от действительного значения измеряемой физической величины (6.1.25).

Среднее квадратическое отклонение суммарной погрешности от среднего арифметического, согласно правилу сложения СКО некорре! лированных случайных величин, равно:

Определив суммарное значение среднеквадратического отклоне! ния погрешности, находим границы погрешности измерения:

Результаты измерения в рассматриваемом случае

где x_ è 1 n xèi , а xp – по формуле (6.1.34). n i 1

6.3. Обработка результатов косвенных измерений

При осуществлении косвенных измерений искомая физическая вели! чина находится путём вычислений с использованием результатов прямых измерений других физических величин, функционально с ней связанных.

Например, требуется измерить мощность, выделяемую током I на резисторе R (pис. 6.3.1).

Соотношение между током, напряжением и мощностью устана! вливает известное равенство

124

Падение электрического напряжения на резисторе измеряется вольтметром с известным классом точности. Электрический ток, про! текающий по резистору, измеряется амперметром тоже с известным классом точности.

Вольтметр и амперметр осуществляют прямые измерения. Каж! дый из них имеет свою погрешность измерения. Как найти погреш! ность измерения мощности?

Для этого представим измеряемую косвенно физическую величи! ну как функцию нескольких прямо измеряемых физических величин:

где x1...xn – физические величины, определяемые прямыми измерения! ми, y – искомая физическая величина.

После проведения измерений и вычислений получим функцию

где xи1...xиn – показания средств измерения, осуществляющих прямые измерения, yи – измеренное значение искомой физической величины.

При прямом измерении i#й физической величины, в отсутствие случайных погрешностей, имеет место только систематическая по! грешность измерения

Эта погрешность для данного типа прибора, которым осуществле! но измерение величины xi, может быть представлена границей интерва! ла xm.i, в котором лежат погрешности всех приборов данного типа, с доверительной вероятностью Pд:

В (6.3.5) [ xi] есть среднеквадратическое отклонение систематиче! ской погрешности всех приборов от их среднего арифметического значе! ния. Доверительная вероятность равна 0,95 при k = 2 и 0,997 при k = 3.

Поскольку все приборы, участвующие в косвенном измерении физической величины y, имеют погрешность измерения, определя! емую их классом точности, то и значение искомой физической величи! ны будет вычислено с погрешностью

Для нахождения этой погрешности найдём полный дифференциал функции (6.3.2):

125

Переходя от дифференциально малых приращений к малым ко! нечным приращениям, получим:

Частные производные в (6.3.8) определяют вклад каждого сред! ства измерения, участвующего в измерительном эксперименте, в по! грешность измерения искомой физической величины y:

где kx1...kxi...kxn – весовые коэффициенты погрешностей средств измере! ния, участвующих в физическом измерительном эксперименте.

Поскольку погрешности участвующих в эксперименте приборов – величины случайные, то и y – величина случайная, границы которой определяют интервал:

Коэффициент k определяет значение доверительной вероятности и равен 2 или 3. Если значение этого коэффициента у всех погрешно! стей одинаково и погрешности приборов коррелированны, то

Если окажется, что погрешности приборов не коррелированны, то суммирование – геометрическое:

В качестве примера косвенных измерений рассмотрим измерение электрической мощности по методу амперметра и вольтметра.

Напряжение измерили вольтметром, с преобладающей мультипли! кативной составляющей погрешности и обозначенным классом точно! сти +кл = 1,0. Показания вольтметра оказались Uи = 5 B. Электрический ток измерили амперметром, с преобладающей аддитивной погрешно! стью и обозначенным классом точности кл = 1,0. Показание амперметра равно 1 A, верхний предел измерения по шкале амперметра – 5 A.

126

Абсолютную погрешность измерения электрического напряжения вольтметром вычисляем по классу точности прибора:

При k = 2, что соответствует доверительной вероятности 0,95,

Абсолютную погрешность измерения электрического тока опреде! ляем по классу точности амперметра:

Из (6.3.19) следует, что

Подставляя численные значения величин, определим абсолютную погрешность измерения электрического тока:

I 1001 1,0 5,0 0,05 À.

Среднее квадратическое значение погрешности измерения элек! трического тока

Определим далее весовые коэффициенты погрешностей вольтме! тра и амперметра:

127

Так как погрешности амперметра и вольтметра не коррелирован! ны, то на основании (6.3.13) среднеквадратическое значение погреш! ности измерения мощности будет равно:

В приведённом примере больший вес имеет погрешность ампер! метра. Это объясняется тем, что класс точности амперметра определён аддитивной погрешностью, которая особенно сильно сказывается в на! чале шкалы. В нашем случае предел измерения 5 А, а показания прибо! ра 1 А, как раз находятся в начале шкалы.

Границы погрешности измерения мощности

При k =2 имеем Pm = 0,26 Вт, а при k =3 имеем Pm = 0,39 Вт. Результат косвенных измерений представляем в виде

После подстановки численных значений получаем результат изме! рения:

5,00 0,26 Âò Pä 5,00 0,26 Âò.

6.4.Обработка результатов совместных измерений

6.4.1.Совместные измерения и однофакторный эксперимент

Имеем две физические величины: независимую x и зависимую y. Задача совместных измерений или однофакторного эксперимента за! ключается в том, чтобы установить математическую зависимость меж! ду величинами x и y.

128

По ГОСТ 16263–70 эта процедура называется совместными изме! рениями, а по ГОСТ 24026–80 называется однофакторным экспери! ментом.

При нахождении зависимости y от x возможны два варианта. Вариант первый: зависимость y от x функциональная, известна по

виду, и нужно найти коэффициенты, входящие в зависимость

Например, для термопары зависимость выходного напряжения от температуры имеет вид

где to – температура горячего спая термопары, txo – температура холод! ных концов термопары, ) и – коэффициенты, которые нужно опре! делить проведением совместных измерений.

В этом варианте можно говорить о совместном измерении темпе! ратуры и напряжения.

Вариант второй. Зависимость между x и y носит корреляционный характер. В этом случае правильнее говорить об однофакторном экспе! рименте. Зависимость y от x выражается некоторой аппроксимирую! щей функцией

Математическим выражением, описывающим аппроксимирую! щую функцию, могут быть элементарные математические функции, а в общем случае многочлен вида

6.4.2. Совместные измерения

Реализацию совместных измерений рассмотрим на примере опре! деления коэффициентов уравнения преобразования термопары (6.4.2).

Для решения поставленной задачи необходимо провести два раза совместные измерения температуры и выходного напряжения термо! пары.

Число повторных совместных измерений определяется числом не! известных коэффициентов уравнения преобразования. В рассматрива! емом случае число неизвестных коэффициентов равно двум, поэтому необходимо провести минимум два совместных измерения.

129

При первом совместном измерении температуры и напряжения термопары устанавливаем температуру горячего спая t1 (в термостате) и измеряем напряжение U1 на выходных зажимах термопары, получаем уравнение преобразования в виде

При проведении второго эксперимента по совместному измере! нию устанавливаем температуру в термостате t2 и измеряем соответ! ствующее этой температуре напряжение термопары U2. В результате по! лучаем второе уравнение преобразования

Решив систему уравнений (6.4.5) и (6.4.6), найдём коэффициенты:

Погрешность определения коэффициентов будет определяться погрешностью вольтметра, измеряющего выходное напряжение термо! пары, и термометра, измеряющего температуру в термостате.

В нормативно!технической документации на вольтметр и термо! метр указаны их класс точности. По классу точности и доверительной вероятности, с которой установлен класс точности, определяем сред! неквадратическое значение погрешностей для вольтметра [ U] и для термометра [ t] при измеренных значениях U1, U2 и t1, t2.

Весовые коэффициенты погрешностей вольтметра и термометра при определении коэффициента ) находим как частные производные:

Весовые коэффициенты погрешностей вольтметра и термометра при определении коэффициента находим аналогичным образом:

Среднеквадратическое значение погрешности нахождения коэф! фициента ) будет равно:

a (k)U 2 [ U2 ])2 (k)U 1 [ U1])2 (k)t 1 [ t1])2 (k)t 2 [ t2])2. 6.4.11

130