Урок 3. Prakticheskoe_zanyatie_3_Sluchaynye_velichiny
.pdfПрактическое занятие №3. Случайные величины
Случайная величина
1.Что называют случайной величиной? Приведите примеры (лучше свои).
2.Как обозначаются случайные величины? Их значения?
3.Назовите виды случайных величин.
4.Что такое дискретная случайная величина? Приведите примеры
5.Что такое непрерывная случайная величина? Её свойства.
Способы задания случайных величин
6.Как задается случайная величина?
7.Что такое закон распределения? Способы задания случайной величины.
8.Что так ряд распределения. Нарисовать на доске пример.
9.Назвать и записать условие нормировки ДСВ
10.Что такое функция распределения?
11.Назвать свойства функции распределения. Условие нормировки ДСВ и НСВ.
12.Что такое плотность вероятности НСВ? Как связаны функция распределения и плотность вероятности.
13.Что такое первообразная?
14.Вероятностный смысл плотности вероятности
15.Свойство плотности вероятности. Условие нормировки НСВ
16.Записать вероятность попадания значений СВ в произвольный интервал (для ДСВ и НСВ)
Числовые характеристики случайных величин
17.Что такое числовые характеристики СВ
18.Что такое математическое ожидание? Формула мат. ожидания для ДСВ
19.Формула мат. ожидания для НСВ
20.Что такое дисперсия? Что характеризует дисперсия?
21.Формулы вычисления дисперсии
22.Размерности числовых характеристик
23.Что характеризует среднеквадратичное отклонение. Формула
Нормальный закон распределения
24.Формула плотности вероятности нормального распределения.
25.Кривая Гаусса. Знать, что такое? Уметь нарисовать
26.Интегральная кривая Гаусса
27.Введение нормированной нормальной величины. Зачем вводят? Как обозначается?
28.Свойства нормированной нормальной величины
29.Формула плотности вероятности нормированной нормальной величины
30.Формула функции распределения нормированной нормальной величины
31.Определения значений функции распределения ННВ (Ф(t))
32.Вероятность попадания значений ННВ в произвольный интервал
33.Правило трех сигм. Формула
Случайные величины Случайной называют величину, которая в результате испытаний принимает одно из
возможных значений, но какое именно – заранее неизвестно (это зависит от случайного стечения обстоятельств).
Обозначение случайных величин: Х, У. Их значения: х, у.
То, что случайная величина Х в данном испытании примет некоторое значение х – случайное событие.
Дискретной называется величина, принимающая отдельные, изолированные друг от друга значения, которые можно перенумеровать (сосчитать).
Непрерывной называется величина, принимающая любые значения из некоторого интервала. Таких значений всегда бесконечно много (независимо от величины интервала), причём перенумеровать их в принципе невозможно.
Задать случайную величину – значит указать для неё закон распределения – это тем или иным способом указанная взаимосвязь между возможными значениями величины и их вероятностями (ряд распределения, функция распределения и плотность вероятностей).
Ряд распределения (только для дискретных величин) – в той или иной форме указываются все возможные значения хi и их вероятности pi.
Условие нормировки: сумма вероятностей всех значений дискретной случайной величины
|
n |
равна единице: |
|
|
i 1 |
Табличная
вероятностей.
pi 1.
форма ряда распределения – таблица всех возможных значений и их
Х |
х1 |
х2 |
… |
хn |
Р |
р1 |
р2 |
… |
pn |
Графическая форма представления ряда распределения – полигон – совокупность всех точек с координатами (xi;pi), соединённых отрезками ломанной линии. На оси абсцисс – Х, на оси ординат – Р.
Числовые характеристики случайных величин – числа, каждое из которых характеризует случайную величину с какой-то определённой стороны (математическое ожидание, дисперсия, среднеквадратическое отклонение).
Математическое ожидание случайной величины приближённо равно среднему арифметическому всех ожидаемых значений этой величины.
|
k |
|
|
Для дискретной случайной величины: M (x) xi |
|||
|
i 1 |
|
|
|
|
|
|
Для непрерывной случайной величины: |
M (x) |
|
x |
|
|||
|
|
|
|
pi .
|
f (x) |
dx
.
Размерность: как у самой величины.
Дисперсия – характеризует степень рассеяния наблюдаемых значений величины от их математического ожидания.
Для дискретной сл. величины: D(x) M ([x M (x)]2 ) M (x2 ) M 2 (x) . (величина Х2: значения – квадраты, вероятности – те же)
k |
|
|
D(x) xi2 pi |
( xi pi )2 |
|
i 1 |
|
|
|
|
|
Для непрерывной сл. величины: D(x) x2 |
f (x)dx ( xf (x)dx)2 |
|
|
|
|
Размерность: квадрат размерности случайной величины.
Среднеквадратическое отклонение – смысл такой же, что и у дисперсии, но размерность – равна размерности случайной величины.
(x) 
D(x)
Функция распределения – это функция, значение которой при любом х равно вероятности того, что случайная величина примет значения меньшие х. F (x) P( X x) .
Свойства ф-ции распределения: 0 F (x) 1; F ( ) 0 ; F ( ) 1; неубывающая. Вероятность того, что случайная величина примет значения в произвольном интервале [a; b]
вычисляется по формуле: P( A X B) F(B) F( A) .
Графическое изображение функции распределения – интегральная кривая распределения:
F(x)
|
|
F ( ) 1 - условие нормировки |
|
0 |
x |
Плотность вероятности |
(только для непрерывных величин) – производная функции |
|
распределения: |
|
|
f (x) F (x) . Функция распределения – первообразная для плотности вероятности. |
||
Плотность величины в
f (x)
При малых
f (x)
вероятности |
– предел (при x 0 ) отношения вероятности попадания значения |
|||
малый интервал к ширине этого интервала. |
||||
lim |
P(x X x x) |
|
||
|
x |
|||
|
x 0 |
|
||
x можно воспользоваться приближённой формулой: |
||||
|
P(x X x x) |
|||
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
P(a X b) f (x)dx ; |
P( X ) |
f (x)dx 1 |
- условие нормировки. |
|
|
a |
|
|
|
x |
|
|
|
|
F (x) |
f (x)dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
Графическое изображение плотности вероятности – кривая распределения: f(x)
x
Нормальный закон распределения Гаусса для непрерывных величин
Плотность вероятности имеет вид:
|
|
|
|
|
( x ) |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
f (x) |
|
|
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Особенности кривой Гаусса: |
|
при x |
f (x) 0 |
||||||||||||||||
при x |
|
f (x) max |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
кривая симметрична относительно x |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
x |
( x )2 |
|
|
|
||
Функция распределения: |
F (x) |
|
|
e |
|
2 2 |
dx |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Если 0, |
|
1, то величина обозначается T и называется нормированной |
|||||||||||||||||
Функция её распределения обозначается как (t) . ( t) (t) . |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
Кривая распределения Гаусса |
Интегральная кривая Гаусса (0,5): |
||||||||||||||
|
|
|
|
для нормированной величины: |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Замена: |
t |
x |
F (a) ( |
a |
) |
F (b) ( |
b |
) |
|||
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
P(a X b) |
( |
b |
) ( |
a |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Правило 3 сигм:
Найдём вероятность того, что значения нормированной величины распределятся в некоторой окрестности E от математического ожидания:
P
(
x
(
)
:
) P( x |
) P( x ) ( |
|
) ( |
|
) |
|||||||||
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
1 ( |
|
|
) 2 |
( |
|
) 1 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
P( |
|
x |
|
|
) 0.6826 |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P(
x 
2 ) 0.9544
P(
x 
3 ) 0.9972
Практически достоверно, что все значения нормированной величины расположатся в окрестности 3 сигм вокруг её математического ожидания.