Kursovik_ed
.pdfМИНОБРНАУКИ РОССИИ
Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования
«Санкт-Петербургский государственный электротехнический
университет “ЛЭТИ” имени В.И. Ульянова (Ленина)»
(СПбГЭТУ)
РАСПРОСТРАНЕНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН В НАПРАВЛЯЮЩИХ СИСТЕМАХ
Методические указания к курсовой работе по дисциплине
“Электродинамика”
Санкт-Петербург Издательство СПбГЭТУ “ЛЭТИ”
2013
1. Основные положения
Направляющие устройства обеспечивают движение потока энергии, переносимой электромагнитной волной, в заданном направлении. В зависимости от вида направляющих устройств в них могут распространяться электромагнитные волны разных типов: чисто поперечные или Т-волны (TEMволны), электрические или Е-волны (ТМ-волны); магнитные или Н-волны (ТЕ-волны), а также гибридные волны. На данные типы электромагнитные волны подразделяются по наличию продольных (вдоль оси направляющего устройства) компонент полей. По отношения к координате, направленной вдоль оси направляющего устройства, в Т-волнах векторы E и H имеют только поперечные составляющие; в Е-волнах вектор E имеет поперечную и продольную составляющие, а вектор H – только поперечную; в Н-волнах вектор H имеет поперечную и продольную составляющие, а вектор E – только поперечную; в гибридных волнах оба вектора имеют и продольные и поперечные составляющие.
По наличию в конструкции замкнутого проводящего экрана принято разделять направляющие устройства на открытые линии передачи и волноводы. Линии передачи, в конструкции которых имеется один или несколько проводящих экранов, ограничивающих область распространения волны, называют волноводами. По количеству изолированных проводящих поверхностей, входящих в состав конструкции направляющего устройства, различают односвязные, двухсвязные, многосвязные линии передачи и линии передачи нулевой связности. Так прямоугольный (рис. 1) и круглый (рис. 2) волноводы относят к односвязным закрытым линиям передачи, а коаксиальный волновод (рис. 3) к двухсвязным. Чисто поперечные волны могут распространяться только в двухсвязных или многосвязных линиях передачи (причем как в открытых линиях, так и в волноводах). Электрические и магнитные волны в любых линиях передачи. Гибридные волны могут существовать в неоднородных линиях передачи (заполненных неоднородной средой).
Метод изучения волновых процессов в волноводах основан на решении уравнений Гельмгольца для комплексных амплитуд электрического и магнитного полей:
2
E + k2E |
0; |
(1) |
|
H + k2H |
0, |
||
|
где k ωε0εrμ0μr волновое число, диэлектрическая и магнитная проницаемости свободного пространства: ε0 # 8.85 10 12 Ф/м, P0 # 4S10 7 Гн/м; εr и Pr относительные диэлектрическая и магнитная проницаемости материала, заполняющего волновод.
y |
z |
b
x
а
Рис. 1. Прямоугольный волновод |
Рис. 2. Круглый волновод |
Рис. 3. Коаксиальный волновод
3
Рассмотрим для простоты случай, когда проводящие элементы волновода изготовлены из идеального проводника, тогда граничные условия имеют вид:
Ez |
L |
|
|
0; |
wHz |
|
|
(2) |
|
|
L |
0, |
||
wn |
|
|
||
|
|
где L внутренняя поверхность проводящей стенки волновода; n внешняя нормаль к L.
1.1. Распространение электромагнитной волны в прямоугольном волноводе
В прямоугольном волноводе могут распространяться электрические и магнитные волны собственные моды волновода. Специфической особенностью любого закрытого волновода независимо от формы его поперечного сечения и диэлектрического заполнения, является дискретный характер спектра собственных мод, являющихся решениями уравнений Гельмгольца (1).
Найдем решение уравнений (1) при следующих граничных условиях:
E |
zx 0;a |
0; |
|
||
|
y |
0;b |
|
(3) |
|
wHz |
|
|
|
||
|
x |
0;a |
0, |
||
|
|||||
wn |
|
|
|||
|
|
|
y |
0;b |
|
где a и b поперечные размеры волновода (см. рис. 1).
Решениями уравнений являются выражения для компонент электромагнитного поля для электрических и для магнитных волн. Электрические волны:
4
Ex
Ey
Ez
Hx
H y
Hz
Магнитные волны:
Ex
Ey
Ez
Hx
H y
Hz
|
|
|
iβ |
|
|
|
mπ |
|
|
E |
|
cos§ |
mπ |
x ·sin § |
nπ |
y ·e iβz; |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
kt2 |
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
¨ |
|
a |
|
|
|
¸ |
¨ |
|
|
b |
¸ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
© |
|
|
|
|
¹ |
© |
|
|
¹ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
iβ |
|
nπ |
|
E |
|
|
sin § |
mπ |
|
x ·cos§ |
nπ |
y ·e iβz; |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
kt2 |
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
¨ |
|
|
|
|
a |
|
|
|
¸ |
|
|
¨ |
|
|
|
b |
¸ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
© |
|
|
|
|
|
|
|
¹ |
|
|
© |
|
|
|
¹ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
E sin § |
|
mπ |
x |
·sin |
§ |
|
nπ |
|
y |
·e iβz; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
0 |
|
|
¨ |
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
¸ |
|
|
|
|
¨ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¸ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
© |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¹ |
|
|
|
|
© b |
|
|
|
|
¹ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
iωε0εr |
|
|
nπ |
E |
|
|
|
sin |
§ |
mπ |
x ·cos |
§ |
nπ |
|
y |
·e iβz; |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
kt2 |
|
|
|
|
b |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
¨ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¸ |
|
|
|
|
|
|
¨ |
|
|
|
b |
|
|
¸ |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
© a |
|
|
|
|
¹ |
|
|
|
|
|
|
© |
|
|
|
|
|
¹ |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
iωε0εr |
|
|
|
mπ |
|
E cos |
§ |
mπ |
|
x ·sin § |
nπ |
|
y ·e iβz; |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
kt2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
¨ |
|
|
a |
¸ |
|
|
|
|
|
|
¨ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¸ |
|
|
|
||||||||||||||||
0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
© |
|
|
¹ |
|
|
|
|
|
|
|
© b |
|
|
|
|
¹ |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
iωμ μ |
|
|
|
nπ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
§ mπ |
|
· |
|
|
|
|
|
§ nπ |
|
|
· |
|
iβz; |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
0 |
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
H0 cos¨ |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
¸sin ¨ |
|
|
|
|
|
|
|
y ¸e |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
kt2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
a |
|
|
b |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
© |
|
|
|
¹ |
|
|
|
|
|
© |
|
|
|
|
|
¹ |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
iωμ μ |
r |
|
|
mπ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
§ mπ |
· |
|
|
|
|
|
|
|
§ nπ |
|
|
· |
|
|
iβz; |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
H0 sin ¨ |
|
|
|
|
|
|
x ¸cos¨ |
|
|
|
|
|
|
y |
¸e |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
kt2 |
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
a |
|
|
b |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
0; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
© |
|
|
¹ |
|
|
|
|
|
© |
|
|
|
|
|
¹ |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
iβ mπ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
§ mπ |
|
|
|
· |
|
|
|
§ nπ |
· |
|
|
|
iβz; |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
H0 sin ¨ |
|
|
|
|
|
|
x |
|
¸cos¨ |
|
|
|
|
|
|
|
|
y ¸e |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
kt2 |
|
a |
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
© |
|
|
|
|
|
|
¹ |
|
|
© |
|
|
|
¹ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
iβ nπ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
§ mπ |
|
|
|
· |
|
|
|
§ nπ |
· |
|
|
|
iβz; |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
H0 cos¨ |
|
|
|
|
|
|
x |
|
¸sin ¨ |
|
|
|
|
|
|
|
|
y ¸e |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
kt2 |
b |
|
|
|
a |
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
© |
|
|
|
|
|
|
¹ |
|
|
© |
|
|
|
¹ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
§ mπ |
|
|
|
· |
|
|
|
|
|
|
§ nπ |
|
· |
|
|
iβz. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
H0 cos¨ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x ¸cos¨ |
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
¸e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
© |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¹ |
|
|
|
© |
|
|
|
¹ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(4)
(5)
Каждая мода имеет свою дисперсионную кривую, определяемую дисперсионным уравнением. Спектр продольных волновых чисел для прямоугольного волновода:
где
ktmn
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
βmn ω |
k2 ktmn2 , |
(6) |
|||
|
|
волновое |
число |
в |
неограниченном |
пространстве; |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
§ mπ |
·2 |
§ nπ ·2 |
|
|
|
|
|
|||||
¨ |
|
¸ |
¨ |
|
¸ ; m, n = 0;1;2;… поперечное волновое число в вол- |
|||||||
a |
|
|||||||||||
© |
¹ |
© b |
¹ |
|
|
|
|
|
|
новоде.
Каждое из значений Emn соответствует моде Emn или Hmn, называемой собственной, модальные индексы m и n характеризуют число вариаций ком-
5
понент поля вдоль осей x и y соответственно. Поле в поперечном сечении волновода представляет собой стоячие волны. Индекс m показывает сколько полуволн стоячей волны укладывается вдоль широкой стенки волновода, а модальный индекс n вдоль узкой стенки волновода.
Введем для продольного и поперечного волновых чисел следующие соотношения:
|
|
|
|
β= |
2π |
|
ω |
; kt |
|
ωкр |
|
|
2π |
|
; λ0 |
|
c |
, |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
cср λкр |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
λв |
|
|
εr μr |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
Vф |
|
|
|
|
|
f |
|
|
|||||||||
где |
λв |
и Vф |
длина |
волны |
и фазовая |
скорость |
волны |
в волноводе; |
||||||||||||||
cср |
c |
|
|
скорость света в среде с электрофизическими параметрами |
||||||||||||||||||
|
εr μr |
|||||||||||||||||||||
ε и P ; с = 3 108 м/с скорость света в вакууме; |
λ |
кр |
c f |
кр |
критическая |
|||||||||||||||||
r |
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
длина волны.
Перепишем продольное волновое число с учетом введенных обозначе-
ний
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
§ |
2π · |
2 |
§ |
2π |
·2 |
|||
|
ω2 ω2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||
β= |
ε |
|
μ |
|
|
¨ |
¸ |
||||||||||
c |
r |
r |
¨ |
λ |
|
¸ |
|
λ |
|
||||||||
|
|
кр |
|
|
|
0 |
|
¨ |
|
¸ |
|||||||
|
ср |
|
|
|
|
|
|
|
© |
|
¹ |
|
© |
|
кр ¹ |
и выведем соотношения для длины волны и фазовой скорости
λв |
|
|
λ0 |
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|||
§ |
λ0 |
λкр |
2 · |
|||||
|
|
|
||||||
|
εr μr ¨1 |
¸ |
|
|
||||
|
© |
|
|
¹ |
|
|
где:
= cср fкр 2
|
|
Vф |
= |
|
|
|
|
|
|
с |
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
§ |
fкр |
f |
2 · |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
εr μr ¨1 |
¸ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
© |
|
|
¹ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
§ m ·2 |
|
§ n ·2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
§ m ·2 |
§ n ·2 |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
¨ |
|
¸ |
¨ |
|
¸ |
; λкр = 2 εr |
μr |
¨ |
|
¸ |
¨ |
|
¸ |
|
|||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
© a ¹ |
|
© b ¹ |
|
|
|
|
|
|
|
© a ¹ |
© b ¹ . |
(7)
(8)
(9)
(10)
Критические частота fкр и длина волны Oкр определяют диапазон рабочих частот и длин волн волновода. Собственную моду волновода, имеющую минимальную критическую частоту (частоту отсечки), или максимальную критическую длину волны, называют основной модой волновода. Для прямоугольного волновода основной модой является волна H10. Существованию
6
единственной основной моды соответствует одномодовый режим работы волновода.
Волновод, работающий в режиме отсечки (при частотах ниже критической) для всех мод, называют запредельным волноводом.
Анализ структуры электромагнитного поля любой волны высшего типа следует начинать с преобразования системы уравнений (4) или (5) с учетом конкретных значений индексов m и n рассматриваемой волны. После этого следует изобразить картины силовых линий векторов E и H данной волны.
Большую помощь в решении этой задачи может оказать следующее правило. Структуру поля волны Н10 можно считать базовой при построении картин силовых линий векторов E и H собственных волн Нm0 и Н0n . Так, например, для волны Н20 картина силовых линий векторов E и H в поперечном сечении волновода получается путем двукратного воспроизведения базовой структуры вдоль широкой стенки волновода (с учетом фазовых соотношений соседних структур); для волны Н30 – трехкратным воспроизведением, и т. д. Для волны Н01 базовая структура будет повернута на угол 90°; для волны Н02 – повернута на 90° и воспроизведена дважды и т.д. (см. рис. 4).
Рис. 4. Силовые линии векторов E и H для различных типов волн: а – для волны Н20, б – для волны Н30
Несколько сложнее решается задача построения картины силовых линий векторов E и H собственных волн, у которых индексы m и n оба не равны нулю. В этом случае необходимо сначала построить картину силовых линий волны Н11 , которая затем, в зависимости от конкретных значений индексов m и n, будет воспроизводиться требуемое число раз вдоль широкой и узкой стенок волновода. Таким образом, для собственных волн типа Нmn базовой структурой является структура поля волны Н11 (рис. 5).
7
Рис. 5. Силовые линии векторов E и H для волны Н11
При построении картин силовых линий векторов E и H собственных волн Еmn базовой является структура поля собственной волны E11. Картина силовых линий векторов E и H этой волны в поперечном сечении волновода изображена на рис. 6.
Рис. 5. Силовые линии векторов E и H для волны E11
Волновое сопротивление собственных мод в прямоугольном волноводе вводится как отношение поперечных к направлению распространения волны компонент комплексных амплитуд векторов поля волны:
Zв |
Ex |
|
Ey |
|
β |
. |
(11) |
H y |
Hx |
|
ωε0εr |
||||
|
|
|
|
|
1.2. Распространение электромагнитной волны в круглом волноводе
Круглый волновод односвязный закрытый волновод, поперечное сечение которого имеет форму круга радиуса r (см. рис. 2). Уравнение Гельмгольца в общем виде в цилиндрической системе координат имеет вид:
w2Ψ |
|
1 |
wΨ |
1 w2Ψ |
k2Ψ 0 |
, |
(12) |
|||
w 2 |
|
|
2 |
|
w 2 |
|||||
|
r wr |
r |
|
t |
|
|
||||
r |
|
|
|
|
|
φ |
|
|
|
где Ψ комплексная амплитуда электрического или магнитного поля.
8
Решение уравнения (12) ищется в виде комбинации функций Бесселя первого и второго рода (функций Неймана) порядка m (см. рис. 7) по радиальной координате (r) и тригонометрических функций по угловой координате (M).
Рис. 7. Графики функций Бесселя Jm (а) и Неймана Nm (б)
В общем виде решение уравнения Гельмгольца в цилиндрической системе координат для продольной компоненты поля имеет вид:
Ψ |
ªA J |
k r |
|
B N |
k r º |
ªC |
cos mφ D |
sin mφ ºe iβz |
(13) |
||
z |
« |
m |
m t |
m |
m t |
» |
¬ m |
m |
¼ |
|
|
|
¬ |
|
|
|
|
|
¼ |
|
|
|
|
Однако в силу условий физической задачи поле в центре волновода не может быть бесконечно большим, что навязывается значением функции Неймана при r = 0, следовательно, необходимо положить Bm = 0 в (13). Кроме того, в (13) можем опустить sin(mM). Так как начало отсчета угла M может быть выбрано произвольно, выберем за начало отсчета полуплоскость M = const, в которой Ψ z имеет максимальное значение. Косинус имеет максимальное значение при mM = 0, а синус при этом равен нулю. Перепишем (13) в соответствии с вышеизложенными соображениями:
Ψz AmJm kt r Cm cos mφ e iβz . |
(14) |
Запишем граничные условия для электромагнитного поля на стенке волновода, выполненного из идеального проводника:
9
Ez r a 0; Eφ r a 0;
wHz r a 0.
wr
Решения уравнения (12) для электрических волн:
|
|
|
|
iβE |
|
c |
E |
|
|
|
iβE z |
|
|
||||||||
Er |
|
|
|
|
|
E0Jm kt |
r cos mφ e |
|
|
; |
|
||||||||||
k E |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
Jm ktEr |
|
|
|
|
|
|
|||
E |
|
|
iβE |
mE |
|
sin mφ e iβE z ; |
|
||||||||||||||
|
|
k E |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
φ |
|
0 |
|
|
|
|
k Er |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
||
Ez |
E0Jm ktEr cos mφ e iβE z ; |
|
|
|
|
||||||||||||||||
H |
r |
|
|
iωε0εr |
|
|
|
nπ |
E |
|
Jm ktEr |
sin mφ e iβE z ; |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
ktE |
|
b |
0 |
|
ktEr |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
iωε0εr |
|
|
c |
E |
|
iβE z |
|
||||||||
Hφ |
|
|
|
|
|
|
E0Jm kt r cos mφ e |
|
|
; |
|||||||||||
|
|
k E |
|
|
|
||||||||||||||||
Hz |
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Для магнитных волн:
E |
|
|
iωμ0μr |
mH |
|
|
Jm ktH r |
sin mφ e iβH z; |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
r |
|
|
|
|
k H |
|
|
|
|
0 |
|
k H r |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
||||
|
|
|
iωμ0μr |
|
|
c |
|
H |
|
|
|
|
iβH z |
|
||||||||
Eφ |
|
|
|
|
|
|
|
|
H0Jm |
kt |
r cos mφ e |
|
|
; |
||||||||
|
|
|
|
k H |
|
|
|
|||||||||||||||
Ez |
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
0; |
iβH |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c |
|
|
H |
|
|
|
iβH z |
|
|
||||
Hr |
|
|
|
|
|
H0Jm |
kt r |
cos mφ e |
|
|
; |
|
||||||||||
|
k H |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
Jm ktH r |
|
|
|
|
|
|
||||||
H |
φ |
|
|
iβH |
mH |
0 |
sin mφ e iβH z; |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
k H |
|
|
|
k H r |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|||
Hz |
|
H0Jm |
ktH r cos mφ e iβH z. |
|
|
|
|
(15)
(16)
(17)
В отличие от прямоугольного волновода, в круглом волноводе поперечные волновые числа различны для электрических и для магнитных волн. Поперечные волновые числа для электрических волн находятся через корни
10