Фрейнд М. гр. 6894 Численные методы вар.15-copy-2
.pdfЧисленные методы. Расчётная работа. Фрейнд М. Ю. гр. 6894, вариант №.15
3 0 2
Дана матрица А=(0 3 2);
2 2 5
1
1)Решить систему уравнений Ах=b, где = (1) способами:
1
-методом исключения Гаусса;
-методом Зейделя;
-методом простой итерации.
Перед началом вычислений рассчитаем b и запишем расширенную матрицу:
1 (3 + 0 + 2) |
5 |
3 |
0 |
2 5 |
= (1 (0 + 3 + 2)) = (5); Расширенная матрица А = (0 |
3 |
2|5) |
||
1 (2 + 2 + 5) |
9 |
2 |
2 |
5 9 |
Метод Гаусса.
|
|
3 |
0 |
2 5 |
|
0 |
−3 |
−5,5 −8,5 |
|
||
А = (0 |
3 2|5) → |
(0 |
3 |
2 | 5 |
) → |
||||||
|
|
2 |
2 |
5 |
9 |
Из первой строки |
2 |
2 |
5 |
9 |
К первой строке |
|
|
вычтем третью 1,5 |
прибавим вторую |
||||||||
0 |
0 |
−3,5 −3,5 |
|
|
|
|
|
|
|
||
(0 |
3 |
2 |
| |
5 |
) |
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
5 |
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
( |
) |
= −3.5 |
|
= 1 |
|
|
|
|
|
||
|
−3,5 |
|
|
|
|
|
|
||||
{ 3 + 2 = 5 |
→ { = 1 |
|
|
|
|
|
|||||
2 + 2 + 5 = 9 |
= 1 |
|
|
|
|
|
|||||
Ответ: (x=1, y=1, z=1).
Метод Зейделя.
Предполагая, что aii ≠ 0 разрешим новое уравнение системы (1) относительно x1, второе – относительно x2,…, n-ое уравнение – относительно xn. В результате получим:
x1=β1 - α12x2 - α13x3 - ... - α1nxn x2=β2 - α21x1 - α23x3 - ... - α2nxn
xn=βn - αn1xn - αn3x3 - ... - αnn-1xn-1 где βi=bi/aii; αij=aij/aii при i ≠ j; αii=0
Известно начальное приближение: x0=(x01, x02, ..., x0n).
Основная идея заключается в том, что при вычислении (k+1)-го приближения неизвестной xi учитываются уже вычисленные ранее (k+1) - приближение неизвестных x1, x2, ..., xn. Итерационная схема имеет вид:
xk+11=β1 - ∑α1jxkj
xk+12=β2 - α21xk+11 - ∑α2jxkj xk+1i=βi - ∑αijxk+11 - ∑α2jxkj
Прежде чем применять метод, необходимо переставить строки исходной системы таким образом, чтобы на диагонали стояли наибольшие по модулю коэффициенты матрицы.
3 |
0 |
2 |
(0 |
3 |
2) |
2 |
2 |
5 |
Приведем к виду: x1=1.667+0.67x3 x2=1.667+0.67x3 x3=1.8+0.4x1+0.4x2
Покажем вычисления на примере нескольких итераций.
N=1
x1=1.667 - 0 • 0 - 0 • 0.667=1.667 x2=1.667 - 1.667 • 0 - 0 • 0.667=1.667 x3=1.8 - 1.667 • 0.4 - 1.667 • 0.4=0.467
N=2
x1=1.667 - 1.667 • 0 - 0.467 • 0.667=1.356 x2=1.667 - 1.356 • 0 - 0.467 • 0.667=1.356 x3=1.8 - 1.356 • 0.4 - 1.356 • 0.4=0.716
N=3
x1=1.667 - 1.356 • 0 - 0.716 • 0.667=1.19 x2=1.667 - 1.19 • 0 - 0.716 • 0.667=1.19 x3=1.8 - 1.19 • 0.4 - 1.19 • 0.4=0.848
Остальные расчеты сведем в таблицу.
N |
x1 |
x2 |
x3 |
e1 |
e2 |
e3 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
|
|
1 |
1.667 |
1.667 |
0.467 |
1.667 |
1.667 |
0.467 |
2 |
1.356 |
1.356 |
0.716 |
-0.311 |
-0.311 |
0.249 |
3 |
1.19 |
1.19 |
0.848 |
-0.166 |
-0.166 |
0.133 |
4 |
1.101 |
1.101 |
0.919 |
-0.0885 |
-0.0885 |
0.0708 |
5 |
1.054 |
1.054 |
0.957 |
-0.0472 |
-0.0472 |
0.0378 |
6 |
1.029 |
1.029 |
0.977 |
-0.0252 |
-0.0252 |
0.0201 |
7 |
1.015 |
1.015 |
0.988 |
-0.0134 |
-0.0134 |
0.0107 |
8 |
1.008 |
1.008 |
0.993 |
-0.00716 |
-0.00716 |
0.00573 |
9 |
1.004 |
1.004 |
0.997 |
-0.00382 |
-0.00382 |
0.00305 |
10 |
1.002 |
1.002 |
0.998 |
-0.00204 |
-0.00204 |
0.00163 |
11 |
1.001 |
1.001 |
0.999 |
-0.00109 |
-0.00109 |
0.000869 |
12 |
1.001 |
1.001 |
0.999 |
-0.000579 |
-0.000579 |
0.000463 |
Для оценки погрешности вычисляем коэффициент α: max[∑|αij|] = 0.4+0.4 = 0.8< 1
max[|x11,x12|] = ρ(x11, x12) = |0.999 - 0.999| = 0.000579
Вычисляем погрешность:
Метод простой итерации.
Систему будем решать методом последовательных приближений. Пусть x0=β, тогда: x1=b - a x0
x2=b - a x1
....
xk+1=b - a xk
Приведем к виду: x1=1.667+0.67x3 x2=1.667+0.67x3 x3=1.8+0.4x1+0.4x2
Вычисления заканчиваются по критерию:
где a=max ∑|rij| a = 0.4+0.4 = 0.8
Покажем вычисления на примере нескольких итераций.
N=1
x1=1.667 - 0 • 0 - 0 • 0.667=1.667 x2=1.667 - 0 • 0 - 0 • 0.667=1.667 x3=1.8 - 0 • 0.4 - 0 • 0.4=1.8
N=2
x1=1.667 - 1.667 • 0 - 1.8 • 0.667=0.467 x2=1.667 - 1.667 • 0 - 1.8 • 0.667=0.467 x3=1.8 - 1.667 • 0.4 - 1.667 • 0.4=0.467
N=3
x1=1.667 - 0.467 • 0 - 0.467 • 0.667=1.356 x2=1.667 - 0.467 • 0 - 0.467 • 0.667=1.356 x3=1.8 - 0.467 • 0.4 - 0.467 • 0.4=1.427
Остальные расчеты сведем в таблицу.
N |
x1 |
x2 |
x3 |
e1 |
e2 |
e3 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
|
|
1 |
1.667 |
1.667 |
1.8 |
1.667 |
1.667 |
1.8 |
2 |
0.467 |
0.467 |
0.467 |
-1.2 |
-1.2 |
-1.333 |
3 |
1.356 |
1.356 |
1.427 |
0.889 |
0.889 |
0.96 |
4 |
0.716 |
0.716 |
0.716 |
-0.64 |
-0.64 |
-0.711 |
5 |
1.19 |
1.19 |
1.228 |
0.474 |
0.474 |
0.512 |
6 |
0.848 |
0.848 |
0.848 |
-0.341 |
-0.341 |
-0.379 |
7 |
1.101 |
1.101 |
1.121 |
0.253 |
0.253 |
0.273 |
8 |
0.919 |
0.919 |
0.919 |
-0.182 |
-0.182 |
-0.202 |
9 |
1.054 |
1.054 |
1.065 |
0.135 |
0.135 |
0.146 |
10 |
0.957 |
0.957 |
0.957 |
-0.0971 |
-0.0971 |
-0.108 |
11 |
1.029 |
1.029 |
1.035 |
0.0719 |
0.0719 |
0.0777 |
12 |
0.977 |
0.977 |
0.977 |
-0.0518 |
-0.0518 |
-0.0575 |
13 |
1.015 |
1.015 |
1.018 |
0.0384 |
0.0384 |
0.0414 |
14 |
0.988 |
0.988 |
0.988 |
-0.0276 |
-0.0276 |
-0.0307 |
15 |
1.008 |
1.008 |
1.01 |
0.0205 |
0.0205 |
0.0221 |
16 |
0.993 |
0.993 |
0.993 |
-0.0147 |
-0.0147 |
-0.0164 |
17 |
1.004 |
1.004 |
1.005 |
0.0109 |
0.0109 |
0.0118 |
18 |
0.997 |
0.997 |
0.997 |
-0.00786 |
-0.00786 |
-0.00873 |
19 |
1.002 |
1.002 |
1.003 |
0.00582 |
0.00582 |
0.00628 |
20 |
0.998 |
0.998 |
0.998 |
-0.00419 |
-0.00419 |
-0.00466 |
21 |
1.001 |
1.001 |
1.001 |
0.0031 |
0.0031 |
0.00335 |
22 |
0.999 |
0.999 |
0.999 |
-0.00223 |
-0.00223 |
-0.00248 |
23 |
1.001 |
1.001 |
1.001 |
0.00166 |
0.00166 |
0.00179 |
24 |
0.999 |
0.999 |
0.999 |
-0.00119 |
-0.00119 |
-0.00132 |
25 |
1 |
1 |
1 |
0.000883 |
0.000883 |
0.000953 |
Для оценки погрешности вычисляем коэффициент α:
max[∑|αij|] = 0.4+0.4 = 0.8< 1
max[|x24,x25|] = ρ(x24, x25) = |1 - 0.999| = 0.000953
Вычисляем погрешность:
1+
3. Для функции p(x) = 1+2 нужно численно найти производные первого и второго
порядков в точках 0.0, 0.2, 0.4, 0.6, 0.8, 1.0 и вычислить соответствующие погрешности. Найти также точку экстремума функции на (0,1). Обозначим эту точку экстремума x0.
Вычисление первой производной
По определению, первая производная гладкой функции f(x) в точке x вычисляется как
′( ) = ( ( + ) − ( ))
→
При вычислении первой производной функции f(x) на компьютере мы заменяем бесконечно малое h → ∞ на малое, но конечное значение h:
′( ) = ( + ) − ( ) + ( )
Аналитическое выражение первой производной имеет вид:
2 + 1 − 2 (1 + )
′( ) = ( 2 + 1)2
где O(h) — ошибка вычисления производной, естественно зависящая от h. Формула (1.1) называется разностной схемой для вычисления первой производной (более точно — правой разностной схемой или просто правой разностью). Аналогично, может быть записана левая разностная схема.
Где ( ) = − ′′( )
Вычисление второй производной
′′( ) = ( + ) − ( ) + ( − )
Аналитическое выражение второй производной имеет вид:
|
|
′′( ) = |
|
1 |
( |
8 2( + 1) |
− 6 − 2) |
||
|
|
( 2 + 1)2 |
|
||||||
|
|
|
|
2 + 1 |
|
||||
В целях экономии времени запишем вычисления в таблицу. |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
x |
h |
f’(x) |
|
|
|
O(h) |
f’’(x) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
0.0 |
0.01 |
0.9999010098990191 |
|
|
0.01 |
|
-1.9998000199983323 |
||
|
|
|
|
|
|
||||
0.2 |
0.01 |
0.5177532775471195 |
|
0.013086026399635867 |
-2.616954066798627 |
||||
|
|
|
|
|
|
||||
0.4 |
0.01 |
0.029797539600092106 |
|
0.010609291073844765 |
-2.1217726769195977 |
||||
|
|
|
|
|
|
||||
0.6 |
0.01 |
-0.3026933733324288 |
|
0.005979035212700997 |
-1.1958514917109753 |
||||
|
|
|
|
|
|
||||
0.8 |
0.01 |
-0.46098592502064734 |
|
0.0021945415765876855 |
-0.43897817751936685 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1.0 |
0.1 |
-0.4977375565610853 |
|
|
0 |
|
-0.00499987500313103 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Экстремумы функции на отрезке (0, 1) fmin = 0.5, fmax = 1.
4. Построить интерполяционный многочлен 3-го порядка в формах Лагранжа и Ньютона по точкам (0, p(0)), (х0, p(х0)), (1, p(1)). Построить графики исходной функции и интерполяционного многочлена по точкам x =b, где 0.0, 0.1, 0.2,...,0.9, 1.0, а также график относительной погрешности.
x |
0 |
0.25 |
1 |
|
|
|
|
y |
1 |
1.1765 |
1 |
|
|
|
|
Запишем формулу для интерполяционного многочлена в форме Лагранжа.
|
( ) = 0 |
|
( − 1)( − 2)( − 3) |
+ 1 |
( − 0)( − 2)( − 3) |
|
+ |
||||||||||||||||||||
|
( − |
)( − |
)( − ) |
( − |
)( − |
)( − |
) |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
0 |
1 |
|
0 |
2 |
0 |
3 |
|
|
1 |
|
0 |
1 |
2 |
1 |
3 |
|
|||||
|
|
( −0)( −1)( −3) |
|
|
+ |
|
( −0)( −1)( −2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
2 |
( |
− |
)( |
− |
)( |
− |
|
) |
3 |
( |
− )( |
3 |
− |
)( − |
2 |
) |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
2 |
0 |
2 |
1 |
2 |
3 |
|
|
3 |
0 |
1 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
И подставим туда табличные значения, получим:
( ) = , − , + , + Полином Лагранжа
Составим таблицу разделенных разностей:
1 − 0
10 = 1 − 0 = 0.72
2 − 1
11 = 2 − 1 = 0.08
3 − 2
12 = 3 − 2 = −0.4
11 − 1020 = 2 − 0 = −1.28
12 − 1121 = 3 − 1 = −0.64
21 − 2030 = 3 − 0 = 0.64
Запишем формулу для интерполяционного многочлена Ньютона и подставим туда полученные значения:
( ) = 0 + 10( − 0) + 20( − 0)( − 1) + 30( − 0)( − 1)( − 2)
( ) = , − , + , + |
Построим графики исходной функции и полинома:
1 + p(x) = 1 + 2
( ) = , − , + , +
5. Снова рассмотрим многочлен p(x) на промежутке [0, 1], и вычислим точно и приближённо, методами трапеций и Гаусса, интеграл от этого многочлена.
Формула трапеций:
i |
xi |
yi |
|
|
|
0 |
0 |
1 |
|
|
|
1 |
0.25 |
1.1765 |
|
|
|
2 |
0.5 |
1.2 |
|
|
|
3 |
0.75 |
1.12 |
|
|
|
4 |
1 |
1 |
|
|
|
Остаточный член квадратурной формулы:
Найдем максимальное значение второй производной функции на интерв y = 2/((x^2+1)^2)*((4*x^2*(x+1))/(x^2+1)-3*x-1)
[0;1]
Находим первую производную функции: y’ =
или
Приравниваем ее к нулю:
x1 = 1.497 x2 = 0.199
x3 = -0.668 x4 = -5.027
Вычисляем значения функции на концах отрезка f(1.497) = 0.269
f(0.199) = -2.617 f(-0.668) = 1.352 f(-5.027) = -0.0041
f(0) = -2.00000000000000
f(1) = 0
Ответ:
fmin = -2.617, fmax = 0
Таким образом,1.124I=± 0
Метод Гаусса.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
+ |
|
− |
+ |
|
− |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ ( ) ≈ |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( ( |
|
|
− |
|
|
|
) + ( |
|
+ |
|
|
|
)) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
2√ |
|
|
2 |
2√ |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
3 |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Найдём отдельно члены функции: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
= ( |
0+1 |
|
− |
1−0 |
) = (0.211) ≈ 1.159 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
1( ) |
2 |
|
|
|
|
2√3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
= ( |
0+1 |
+ |
1−0 |
|
) = (0.789) ≈ 1.102 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
2( ) |
2 |
|
|
|
|
2√3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
1 1+ |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
∫0 |
|
= |
|
(1.159 + 1.102) ≈ |
1.1305 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
1+ 2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||