UP_Nelineynye_sistemy_upravlenia

Для угла поворота вала

x y d C ,

где C зависит от x 0 x0 . Получим

x y0 e C.

Тогда при 0 :

x0 y0 C,

C x0 y0.

Таким образом:

x x0 y0 1 e 1 e .

Графики изменения x и y при условии, что реле переключается при x 0 и x 0 , приведены на рис. 6.2.

x(τ), y(τ)

y(τ)

τ

x(τ)

ζ(t)

t

Рис. 6.2. Графики изменения x и y

Построим фазовый портрет системы. Для этого из системы уравнений (6.8) найдем уравнение фазовой траектории

dy y . dx y

После ряда преобразований получим уравнение с разделяющимися переменными в виде

y dy dx 0 . y

81

Уравнение фазовой траектории получим, проинтегрировав левую и пра-

z ln z x C.

Делая обратную замену, получим:

yln y x C.

Витоге, уравнение фазовой траектории примет вид:

Для левой полуплоскости, где x 0, 1, уравнение имеет вид:

Соответственно для правой полуплоскости, где x 0, 1,

Графическое представление фазовой траектории показано на рис. 6.3. Фазовая траектория представляет собой спираль, накручивающуюся на

начало координат, что свидетельствует об устойчивом движении в системе. Движение можно описать следующим образом. В момент времени t 0 отклонение равно x0 , поэтому срабатывает реле, которое включает двигатель на уменьшение рассогласования. В точке 1 (рис. 6.3) рассогласование равно нулю, но частота вращения двигателя нулю не равна, поэтому двигатель вращается в том же направлении по инерции. Отклонение увеличивается, что приводит к включению второго реле, и двигатель работает в режиме торможения до точки 2.

82

y

1

5

2 x

3

Рис. 6.3. График фазовой траектории

В точке 2 двигатель останавливается и затем начинает вращаться в противоположном направлении до точки 3, где отклонение равно нулю. Так же по инерции двигатель вращается далее, происходит включение первого реле, и от точки 3 до точки 4 двигатель работает в режиме торможения, а начиная с точки 4 набирает скорость до точки 5 и т. д. Амплитуда колебаний отклонения при этом уменьшается, а частота переключений реле теоретически увеличивается до бесконечности. Линией переключения будет ось y.

Рассмотренный случай является идеализацией и не учитывает реальные характеристики элементов системы. Например, электромагнитные реле мгновенно переключаться не могут. Всегда с момента подачи напряжения на обмотку реле его контакты размыкаются и замыкаются с некоторым запаздыванием. На фазовой плоскости это отразится тем, что линия переключения повернется на некоторый угол по часовой стрелке.

При пересечении оси y будет подано управляющее воздействие на обмотку реле, но двигатель перейдет в тормозной режим только после пересечения сдвинутой линии переключения.

y

x

Рис. 6.4. Вид фазовой траектории с учетом реальных характеристик в системе

83

Кроме того, в сравнении с идеальным случаем не будет бесконечной частоты переключения реле, вследствие чего фазовая траектория не будет стремиться к началу координат, а станет замкнутой линией – предельным циклом, который будет характеризовать амплитуду и частоту устойчивого автоколебательного режима. Фазовая траектория в этом случае примет вид, показанный на рис. 6.4.

6.2. Исследование следящей системы с трехпозиционным реле

Исследуем процессы в рассмотренной выше следящей системе, если в ней используется трехпозиционное реле с

d 2 x dx 0 d 2 d

или в виде системы двух уравнений:

dx y,

d

dy y 0.

d

Уравнение фазовой траектории будет таким:

dydx 1.

Решение этого уравнения найдем как

y x C .

Фазовая траектория представляет собой прямую линию с отрицательным углом наклона. Вид фазовой траектории представлен на рис. 6.6.

84

y

Рис. 6.6. Вид фазовой траектории следящей системы с трехпозиционным реле

85

Решение этой системы как функции времени находим аналогично предыдущим случаям. Фазовый портрет системы имеет вид, показанный на рис. 6.8.

y

Рис. 6.8. Фазовый портрет релейной системы с гистерезисом

Как и в предыдущем случае, движение в системе может остановиться на отрезке от 1 до 1.

86

СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

Афанасьев В. Н. Математическая теория конструирования систем управления: учеб. пособие. 3-е изд., испр. и доп. М.: Высш. шк., 2004.

Бесекерский В. А., Попов Е. И. Теория систем автоматического управления. 4-е изд., перераб. и доп. СПб.: Профессия, 2003.

Зайцев Г. Ф., Стеклов В. К. Компенсация естественных нелинейностей автоматических систем. М.: Энергоатомиздат, 1982.

Математические основы теории автоматического управления: учеб. в 3 т.; 3-е изд., перераб. и доп. Т. 1 / под ред. Б. К. Чемоданова. М.: Изд-во МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2006.

Методы классической и современной теории автоматического управления: учеб. в 5 т.; 2-е изд., перераб. и доп. Т. 1. Математические модели, динамические характеристики и анализ систем автоматического управления / под ред. К. А. Пупкова, Н. Д. Егупова. М.: Изд-во МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2004.

Мирошник И. В. Теория автоматического управления. Нелинейные и оптимальные системы. СПб.: Питер, 2006.

Пальтов И. П. Нелинейные методы исследования автоматических систем. Л.: Энергия, 1976.

Пальтов И. П., Попов Е. П. Приближенные методы исследования нелинейных автоматических систем. М.: Гос. изд-во физ.-мат. лит., 1960.

Первозванский А. А. Курс теории автоматического управления: учеб. пособие. М.: Наука, 1986.

Петров В. В., Гордеев А. А. Нелинейные сервомеханизмы. М.: Машиностроение, 1979.

Попов Е. П. Прикладная теория процессов управления в нелинейных системах. М.: Наука, 1973.

Теория автоматического управления: учеб. для вузов по спец. «Автоматика и телемеханика»: в 2 ч. Ч. II. Теория нелинейных и специальных систем автоматического управления / под ред. А. А. Воронова. М.: Высш. шк., 1986.

Шрейнер Р. Т. Системы подчиненного регулирования электроприводов. Екатеринбург: Изд-во ГОУ ВПО Рос. гос. проф.-пед. ун-т, 2008.

Юревич Е. И. Теория автоматического управления. М.: Энергия, 1969.

87

2.3.Методика исследования нелинейных систем на фазовой плоскости27

3.ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ НЕЛИНЕЙНЫХ

3.2.Прямой метод Ляпунова оценки устойчивости нелинейных систем51

3.3.Критерий абсолютной устойчивости равновесного состояния