- •1. Возрастание и убывание ф-ции. Условия монотонности дифференцируемой ф-ции на интервале.
- •2. Экстремумы функции. Необходимое и достаточные условия существования экстремума.
- •3. Алгоритм нахождения точек локального экстремума
- •4. Наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке.
- •5. Достаточное условие выпуклости графика функции.
- •6. Вертикальные, наклонные и горизонтальные асимптоты кривых.
- •7. Функции двух переменных, область определения, линии уровня. Предел и непрерывность функции двух переменных.
- •8. Частные производные функции двух переменных, их геометрический смыслю
- •9. Частные производные высших порядков. Теорема о равенстве смешанных производных
- •10. Понятие дифференцируемости функции 2 переменных. Необходимые и достаточные условия дифференцируемости функции 2 переменных
- •11. Частные и полное приращение функции нескольких переменных. Дифференциал функции нескольких переменных
- •12.Правило дифференцирования сложной функции нескольких переменных. Производные неявно заданной функции
- •13.Линия уровня, градиент и производная по направлению функции двух переменных. Свойства градиента.
- •14 Экстремумы функции двух переменных. Необходимое и достаточное условия существования экстремума.
- •15.Алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значений функции двух переменных в области.
- •16.Первообразная и неопределённый интеграл.Основные свойства неопределённого интеграла.
- •17.Интегрирование по частям и заменой переменной в неопределённом интеграле.Примеры подстановок
- •18.Интегрирование простейших рациональных дробей
- •19.Алгоритм интегрирования рациональных дробей.
- •20.Универсальная тригонометрическая подстановка.
- •26. Основные свойства определенного интеграла. Оценки интегралов. Теорема о среднем значении знач функции на отрезке.
- •29. Несобств.Инт. С бесконеч. Пределами инт признаки сравнения. Примеры сходящихся и расходящихся инт.
- •30. Несобств инт от неогранич ф-й. Признаки сравнения. Примеры сходящихся и расходящихся инт
- •31. Геометрические приложения опред инт
- •33. Понятие ду его общего и частного решений. Задача Коши. Теорема сущ и единственности решения задачи Коши.
- •2)Однородные ду:
- •3)Линейные ду
- •4)Уравнение Бернулли
- •36)Линейные однородные дифференциальные уравнения n-ого порядка, теорема о структуре общего решения
- •37)Интегрирование лоду второго порядка с постоянными коэфф.
- •38)Линейные неоднородные ду, теорема о структуре общего решения. Метод вариации произвольных постоянных
- •39. Метод неопределенных коэфф. Для решения лнду с постоянными коэфф. И специальной правой частью
- •40. Методы решения лнду. Теорема о наложении решений лнду
- •41.Системы ду. Сведение систем к одному ду.
- •42.Понятие оригинала и изображения. Основыне свойства преобразования Лапласа.
- •44. Применение операционного исчисления для решения ду. Примеры
- •45.Численные методы решения ду
- •46.Интегралы по фигуре, их свойства, геом и физ смысл
- •47.Двойной интеграл, его свойства, геом и физ смысл
- •48.Тройной интеграл, его свойства. Геом и физ приложения
1. Возрастание и убывание ф-ции. Условия монотонности дифференцируемой ф-ции на интервале.
Возрастающая ф-я – функция y=f(x) возрастает на интервале X, если для любых ивыполняется неравенство. Другими словами – большему значению аргумента соответствует большее значение функции.
Убывающая ф-я – Функция y=f(x) убывает на интервале X, если для любых ивыполняется неравенство. Другими словами – большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.
2. Экстремумы функции. Необходимое и достаточные условия существования экстремума.
Экстремум функции - максимальное или минимальное значение функции на заданном множестве.
Функция z = z (x, y) в точке ,глобальнаяmax (min) в области х, если z (для всех точек M (x,y) ϵ x, если z (для всех точек M (x,y) ϵ x.
Необходимое условие существования экстремума. Для Функции нескольких переменных. Если точки (, ) является точка локального экстремума функцииz = z (x, y), то (=0; (=0или хотя бы одна из них не существует.
Достаточные условия экстремума. Пусть (критическая точка дифференциала функции z=z(x,y) и пусть функция z=z(x,y) в некоторой окрестности этой точки непрерывные частные производные 2-ого порядка в этой точке, тогда
Условия: 1) ,>0, то точка () – точка локальногоmin
2) ,<0, то точка () – точка локальногоmax
3) ) , то точка () – не является точкой локального экстремума.
4) , то дополнительные исследования.
3. Алгоритм нахождения точек локального экстремума
Условия: 1) ,>0, то точка () – точка локальногоmin
2) ,<0, то точка () – точка локальногоmax
3) ) , то точка () – не является точкой локального экстремума.
4) , то дополнительные исследования.
Непрерывная функция z=f (x, y) в определённой области Д:
Найти частные производные, прировнять их к нулю, найти критические точки.
Выбрать те критические точки, которые лежат внутри области.
Найти наибольшее и наименьшее значение функции на границах области.
Вычислить значение функции во всех найденных точках, выбрать наибольшее и наименьшее значение.
4. Наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке.
Непрерывная функция z=f (x, y) в определённой области Д:
Найти частные производные, прировнять их к нулю, найти критические точки.
Выбрать те критические точки, которые лежат внутри области.
Найти наибольшее и наименьшее значение функции на границах области.
Вычислить значение функции во всех найденных точках, выбрать наибольшее и наименьшее значение.
5. Достаточное условие выпуклости графика функции.
1) Если существует f ‘’(x)>0 на (a, b), то график f(x) является выпуклым вниз на (a, b)
2) Если существует f ‘’(x)<0, то график f(x) является выпуклым вверх.
6. Вертикальные, наклонные и горизонтальные асимптоты кривых.
Асимптотой функции y=f(x) называется пряма, обладающая тем свойством, что расстояние от точек графика до этой прямой стремиться к нулю при бесконечном удалении точек графика от начала координат. Различают вертикальные, горизонтальные и наклонные.
Вертикальные. Прямая х=х0 является вертикальной асимптотой графика y=f(x), если функция определена в некоторой точке х0.
Функция может иметь различные наклонные (горизонтальные) асимптоты при х→+∞ и х→ ∞
Горизонтальные асимптоты является частным случаем наклонной (х<0)
Если хотя бы один из пределов не существует или = ∞, то соответствующей наклонной асимптоты не существует.