Теоретические основы электротехники-3

282 Вопросы, упражнения, задачи к главам 29 и 30

2.Одинакова ли фаза магнитной индукции в точках плоского листа, имеющих различные координаты z (ðèñ. Â30.7)?

3.Почему при высоких частотах изменения магнитного потока

толщину листов следует выбирать меньшей?

шее время?

6. (О) Путь интегрирования при вычислении интеграла H dl i выбран так,

l

что он охватывает линии как стороннего тока, распределение в пространстве которого известно, так и вихревого тока. Какой ток следует принимать во внимание, записывая правую часть интеграла: сторонний, вихревой либо и тот и другой?

7. (О) На тороидальный ферромагнитный сердечник круглого сечения намотано w витков. Можно ли найти напряженность магнитного поля на осевой линии внутри сердечника, пользуясь формулой Í iw/2r, ãäå r — радиус осевой линии, если ток i à) переменный i Im sin !t, á) постоянный i I? В каких плоскостях расположены контуры, по которым замыкаются линии вихревого тока?

8.Может ли плотность переменного тока, протекающего по прямолинейному цилиндрическому проводу круглого сечения à) иметь в один и тот же момент времени в различных точках сечения различные направления, á) обращаться в нуль одновременно во всех точках сечения, â) обращаться в нуль одновременно в нескольких точках сечения?

9.Какие условия должны быть выполнены, чтобы электромагнитную волну, проникающую в цилиндрический провод круглого сечения можно было бы рассматривать как плоскую?

10.В некоторый момент времени фаза плотности тока в точке на поверхности

провода равна Τi, а в близкой к поверхности точке внутри провода — Τi + Τi. Каков знак Τi? В какой из этих точек ток отстает по фазе?

11.Начальная фаза напряженности магнитного поля на поверхности провода равна Τí. Чему равна начальная фаза тока провода?

УПРАЖНЕНИЯ

1.(Р) Во сколько раз изменится мощность потерь в сердечнике трансформатора,

если листы толщиной d1 0,2 мм, из которых он собран, заменить листами толщиной d2 0,5 мм при условии сохранения той же средней магнитной индукции. Магнитная проницаемость вещества листов 1000 0, удельная электрическая проводимость , 107 См/м, частота магнитного потока a) f 50 Ãö, á) f 400 Гц. Явление гистерезиса не учитывайте.

2.Магнитная индукция на сторонах листа (см. рис. В30.7) при z1 –d/2 è z2 +d/2

среднее значение магнитной индукции по сечению листа (h 00 d, l 00 d).

3. (Р) При какой толщине d листов сердечника из пермаллоя, магнитная проницаемость и удельная электрическая проводимость которого равны соответственно 20000, , 0,62 107 См/м, разность наибольшего и наименьшего значений индукции в листе отличается не более чем на 10 % от среднего. Примите частоту изменения поля в листе à) 50 Ãö, á) 2000 Ãö.

4. (Р) Радиус сечения провода R 0,5 см, магнитная проницаемость материала провода 20000, его удельная электрическая проводимость , 3 106 См/м. Какой ток частоты 50 Гц можно пропустить по проводу при допустимой максимальной плотности тока Jäîï 107 À/ì2?

5. (Р) Прямолинейный бесконечно длинный медный провод радиусом R 0,5 см помещен в однородное электромагнитное поле, вектор напряженности H которого направлен вдоль провода. Напряженность поля на его поверхности He 3 103Κ Κsin 100t A/м. Рассчитайте вихревой ток в проводе на единицу его длины.

30.4. Эффект близости. Электромагнитное экранирование

ВОПРОСЫ

1.По проводу течет переменный ток. Изменится ли распределение плотности тока по сечению провода, если параллельно ему расположить другой провод, стороннего тока в котором нет?

2.Проявляется ли эффект близости в проводах, по которым течет постоянный ток?

3.Зависит ли распределение тока по сечению двух проводов от направления протекающих по ним токов?

4.(О) Обладает ли экранирующим действием проводящая труба конечной длины, охватывающая à) оба провода двухпроводной линии, á) один из проводов двухпроводной линии, â) три провода трехфазной линии, сумма токов которых равна нулю?

5.(О) Для экранирования электростатических полей находят применение сет- чатые проводящие экраны. При каких условиях они экранируют переменное электромагнитное поле?

284 Вопросы, упражнения, задачи к главам 29 и 30

6. (О) Электромагнитное поле плоского токового кольца экранируют охватывающим его медным экраном сферической формы, составленным из двух полусфер так, что между ними образуется небольшая воздушная щель. В какой плоскости целесообразно ориентировать щель для достижения наибольшего экранирующего эффекта: в плоскости кольца или в перпендикулярной ему плоскости?

Ответы на вопросы, решения упражнений и задач

23.1. Уравнения электромагнитного поля в дифференциальной форме

ВОПРОСЫ

1. Способ получения напряженности электрического поля с помощью интеграль-

в любой точке которой вектор E сохраняет постоянное по модулю значение и направлен к ней под одним и тем же углом . Если такая поверхность существует и она найдена, то величины Å и cos можно вынести из-под знака интеграла и

q

найти искомую напряженность поля как E s cos .

Такую поверхность можем определить, если поле обладает одним из типов симметрии: сферической, цилиндрической либо плоской. При сферической симметрии поля поверхность s суть сфера, и в этом случае имеем s 4r2, cos 1.

Электрическое поле весьма длинного провода круглого сечения характеризуется цилиндрической симметрией, так что поверхностью s является такая замкнутая цилиндрическая поверхность, на части которой (боковой) имеем Å const , а на другой ее части (торцевой) — cos 0.

Способ расчета напряженности H магнитного поля на основе выраженияH dl i аналогичен рассмотренному выше: при наличии круговой симметрии

l

поля выбираем такой круговой контур интегрирования, на котором имеем H const и в точках которого угол между векторами H è dl имеет постоянное значение.

4.Входящий в правую часть уравнения закона электромагнитной индукции магнитный поток следует понимать как результирующий, определяемый как сумма внешнего (стороннего) потока и магнитного потока, создаваемого индуцируемым электрическим током.

5.При движении проводящего тела в магнитном поле в нем возникает ЭДС индукции. Если, например, в неизменяющемся магнитном поле постоянных магнитов вращать рамку из провода, то в ней возникает ЭДС.

9. Под индукцией B, входящей в правую часть второго уравнения Максвелла, следует понимать результирующую индукцию, обусловленную действием стороннего и индуцированного полей: B Bñòîð + Bèíä. Именно изменяющееся во времени результирующее поле с индукцией B приводит в соответствии со вторым уравнением Максвелла к появлению электрического поля и электрического тока. Составляющая Bèíä поля возникает вследствие протекания индуцированного тока. Индуцированное электрическое поле приводит к появлению электри- ческих токов. В идеальном диэлектрике протекают токи электрического смещения

286 Ответы на вопросы, решения упражнений и задач

и переноса, магнитное поле которых совместно со сторонним полем образуют результирующее поле, индукция которого входит в правую часть второго уравнения Максвелла. В проводниках источниками индуцированного поля являются токи смещения и проводимости.

В ряде случаев индуцированным полем можно пренебречь и не принимать во

внимание составляющую – Bèíä , входящую в правую часть второго уравненияt

Максвелла. Такое допущение существенно упрощает решение задачи анализа электромагнитного поля. Оно оправданно, если Bèíä ΗΗ Bñòîð.

10. В силу соотношений Ex/ y Ex/ z 0 имеем rot Å 0 и, следовательно, такое поле — безвихревое.

16. Поле вектора D соленоидальное при div D 0, т. е. при отсутствии в области свободных зарядов. Если среда однородна, то div E 0 и, следовательно, поле вектора E также соленоидальное. В неоднородной среде имеем div D div E

div E + E grad 0 è div E –1 E grad , откуда следует, что в общем случае div E 0, т. е. поле вектора E не является соленоидальным.

18.Выражая величину div H из соотношения div B div H div H + (grad ) H 0: div H – (1/ ) (grad ) H, приходим к заключению, что в однородной в магнитном отношении среде выражение div H 0 справедливо, тогда как в неоднородной среде, когда grad 0, оно неверно.

19.Напряженность магнитного поля не является функцией координат, так как

при заданных условиях ( J 0, H Hx) из уравнения rot H 0 получаем:Hx/ y 0, Hx/ z 0. Учитывая условие div H Hx/ x 0, приходим к заключе- нию, что поле является однородным и H const.

Ïðè J 0 имеем: Hx/ y –Jz, Hx/ z Jy è òàê êàê div H Hx/ x 0, то имеем H H(y, z).

20. Выражения div div A, grad rot A, grad grad V, rot div A смысла не имеют, так как функция div A скалярная, операции div и rot над которой выполнены быть не могут, а функции rot A, grad V — векторные, над которыми нельзя выполнить операцию градиента.

Тождественно равны нулю выражения rot grad V è div rot A.

21. Эти понятия теряют смысл в точках, где объемная плотность тока либо заряда обращается в бесконечность. Иногда принимают допущение о том, что ток те- чет по проводу бесконечно малого сечения либо по бесконечно тонкому листу. В ряде случаев целесообразно рассматривать электрические заряды как сосредоточенные в бесконечно малых объемах, распределенные вдоль бесконечно тонких проводов либо распределенные на бесконечно тонких листах. Во всех этих случаях источник размещен в бесконечно малом объеме, поэтому его объемная плотность становится бесконечной и понятия rot и div в таких точках не определены.

УПРАЖНЕНИЯ

1. Искомая плотность тока определяется выражением J rot H, в котором для вычисления величины rot H следует использовать подходящую систему коорди-

получаем: f1 (x, y, z), f2 (grad )H.

5. Принимая во внимание тождество rot grad V Ρ 0, можем записать соотношение H1 H2 + grad V, ãäå V V(x, y, z) — некоторая скалярная функция.

7. Вычислив функцию rot E, определяем условия, при которых rot E 0 и, следовательно, электрическое поле является вихревым. Для варианта æ, в частности, имеем rot E iϑ E y zΛ – iEm c cos cz 0, и, следовательно, поле вектора Å — вихревое.

8. Поместим начало прямоугольной системы координат в середине пластины. При допущении Bèíä ΗΗ Bm второе уравнение Максвелла принимает вид

плотность тока Jz Bm ! , x cos ! t изменяется в направлении поперек пластины

по линейному закону. Амплитудное значение тока i h J(x) dx !,hd 2 4

0

при заданных численных значениях равно 0,39 А.

–0,5 ! , r Bm cos !t – 1,57 105 r cos 314 t À/ì2.

288 Ответы на вопросы, решения упражнений и задач

10. Для нахождения плотности заряда используем соотношение div E, записывая выражение div E в подходящей системе координат. Например, для варианта á получаем div j e r 0.

12. При совпадении осей прямоугольной системы координат с главными осями анизотропии имеем

Ответы на вопросы, решения упражнений и задач 289

17. Магнитная индукция может выражаться формулой B B(x, y, z), åñëè

div B 0. Для варианта â, например, имеем div B Bx + Bz a – c, òàê ÷òî ìàã-x z

нитная индукция может выражаться формулой B iax – kcz ïðè a c.

18. Из выражений div 0, ,E следует: div ,E , div E + E grad , 0, откуда

23.2. Система уравнений электромагнитного поля

ВОПРОСЫ И УПРАЖНЕНИЯ

1. Уравнение div 0 вытекает из первого уравнения Максвелла rot H в силу тождества div rot H Ρ . Поэтому оно не входит в систему уравнений электромагнитного поля.

В силу этого же тождества из второго уравнения Максвелла rot E B следуетt

равенство div B div B 0, означающее неизменность во времени величиныt t

div B. Хотя уравнение div B 0 и следует из второго уравнения Максвелла, однако его нельзя исключить из системы уравнений электромагнитного поля, так как

при рассмотрении не изменяющихся во времени полей, когда B 0, из второгоt

уравнения Максвелла, принимающего в этом случае вид rot E 0, уже не вытекает уравнения div B 0, показывающего, что магнитных зарядов не существует.

3. Так как вектор плотности тока удовлетворяет уравнению div 0, то в силу тождества div rot F 0 его можно представить в виде rot F и рассматривать как источник некоторого векторного поля F, не обязательно совпадающего с полем вектора напряженности магнитного поля, также удовлетворяющего уравнению rot H.

4. В систему уравнений электромагнитного поля входит 16 скалярных переменных: 5 векторных, а именно D, E, B, H, , и скалярная — плотность заряда. В то же время число скалярных уравнений составляет 17, так как к 5 векторным уравнениям, образующим 15 скалярных, добавляются 2 скалярных: div B 0 è div D .

Независимыми из них являются 16 уравнений, так как уравнение div B 0 в общем случае переменного электромагнитного поля вытекает из второго уравнения Максвелла.

290 Ответы на вопросы, решения упражнений и задач

5. Из уравнения rot H следует выражение div 0, которое в силу соотно-

ного соотношения, то, принимая во внимание, что dV q è div(,E Jïåð ) dV

что заряд в объеме может уменьшаться только за счет протекания тока из объема V сквозь ограничивающую его поверхность.

Если функция (x, y, z) задана, то эти уравнения можно разделить на две группы, переменные в которых не взаимосвязаны: rot H , div B 0, B H è rot E 0, div D , D E. Первая группа уравнений описывает не изменяющиеся во времени магнитные поля, вторая — не изменяющиеся во времени электри- ческие поля.

7. Для исключения одной из переменных из системы уравнений электромагнитного поля следует применить операцию rot к обеим частям одного из уравнений Максвелла, подставляя далее в полученное выражение другое уравнение Максвелла. Рассмотрим решение варианта 1) упражнения.

Используя соотношение roti rot E gradi div E – div grad Ei, получаем при const, , const в прямоугольной системе координат

Как видно из уравнений, в прямоугольной системе координат уравнения относительно составляющих Ex, Ey, Ez, как и для составляющих Hx, Hy, Hz, в однородной среде образуют систему несвязанных уравнений. Однако можно убедиться в том, что в цилиндрической системе координат уравнения относительно величин Er, E (как и для величин Hr, H ) взаимосвязаны.