Задачник / Глава 12,13(323-357)
.pdf
|
|
|
|
|
|
bh3 |
|
2hb3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
h b 2 |
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
I x,е |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2bh |
|
|
|
|
|
|
51, 25b |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
12 |
12 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
ж) Ix,ж I y,ж 1,5 Ix0 |
|
I y0 |
A0a2 |
, где Ix0 |
|
|
bh3 |
; |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12 |
|
|
|
||||
I |
|
|
|
|
hb3 |
|
; |
|
|
|
|
A |
|
bh ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
y0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
125b4 |
5b4 |
|
|
|
||||||||||||||||||||
a |
|
|
|
h cos 30 |
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
I x,ж 1,5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
3 |
|
2 |
|
|
|
12 |
12 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
5b |
4 |
|
5 |
cos30 |
|
1 |
|
2 |
|
44,58b |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
з) Ix,з I y,з 1,5 Ix0 I y0 |
A0a2 , где a |
h |
|
b |
cos30 ; |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
125b |
|
|
|
|
|
|
|
|
5b |
|
|
|
|
|
4 |
5 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
||||||||||
I x,з |
|
1,5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5b |
|
|
|
|
|
|
|
|
cos30 |
|
|
|
74,58b |
|
. |
|||||||||||||||||||||
|
|
12 |
|
|
12 |
|
|
|
2 |
|
3 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Подсчеты показали, что рассмотренные варианты формы сечений размещаются в порядке возрастания их эффективности следующим обра-
зом (табл. 13.2).
Т а б л и ц а 13.2
|
Вариант |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
на |
а |
в |
г, д |
|
б |
ж |
е |
з |
|
|
рис.13.8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Imin |
11,25b4 |
13,75b4 |
21,25b4 |
|
31,25b4 |
44,58b4 |
51,25b4 |
74,58b4 |
|
|
Для определения момента инерции сечения в случаях ж и з исполь- |
|||||||||
зована формула [21]: |
Ix 0,5n Ix0 |
I y0 A0a2 . |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
В рациональном поперечном сечении сжатого стержня материал должен быть по возможности удален от центра тяжести всего сечения. При конструировании вариантов поперечного сечения сжатого стержня из одинаковых элементов, например прямоугольников, двутавров, швеллеров, уголков и т. д., часто получаются центрально-симметричные циклические фигуры (рис. 13.9). Для таких и подобных им сечений, составленных из трех и более элементов, эллипс инерции оказывается кругом, а любая ось,
343
проведенная через центр тяжести всего сечения, – главной центральной |
|||||||||||||||||||
осью инерции. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
а) |
|
|
м |
|
|
|
м |
|
б) |
|
|
|
|
в) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
с |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
с |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
1 |
|
|
|
|
b=20 см |
|
|
|
|
|
|
|||
|
= |
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
№ 20 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
b |
|
|
h |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
i |
|
|
|
h=10 см |
i |
|
i |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
х |
|
|
|
|
|
|
а |
|
|
|
х |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
а |
|
i |
а |
|
х |
|
|
|
y0 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
х0 |
|
|
|
y |
|
|
|
|
х0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
х0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
y0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
г) |
|
|
y0 |
|
|
|
д) |
|
y0 |
|
|
е) |
|
i |
|
y0 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
i |
|
|
|
х0 |
|
|
|
|
х0 |
|
|
|
|
х |
|
||
|
|
а |
|
|
|
|
|
а |
|
|
|
|
|
|
а |
0 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
х |
|
|
|
|
|
х |
|
|
|
|
|
х |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
z0 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ж) |
|
|
|
y0 |
|
|
|
з) |
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
х0 |
|
|
i |
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а |
|
|
|
|
|
х |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
х |
|
|
|
|
а |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
с |
|
х0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 13.9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Подсчет главного центрального осевого момента инерции сечения |
|||||||||||||||||
любого из таких центрально-симметричных сечений может быть произве- |
|||||||||||||||||||
ден по сравнительно простой зависимости, вывод которой приведен в [21]: |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
Ix 0,5n [Ix0 |
I y0 |
A0 a2 |
с2 |
] , |
|
|
|
|||||
где n – число одинаковых элементов, из которых составлено центрально- |
|||||||||||||||||||
|
|
|
симметричное сечение; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
A0 – площадь сечения одного составляющего элемента сечения (прямо- |
||||||||||||||||||
|
|
|
угольника, швеллера, двутавра, уголка, треугольника и т. д.); |
|
|
344
x0, y0 – оси, проведенные через центр тяжести составляющего элемента сечения (например, параллельно его сторонам);
Ix0, Iy0 – осевые моменты инерции относительно осей го элемента;
a – кратчайшее расстояние (по перпендикуляру) от центра тяжести всего сечения до оси x0, проходящей через центр тяжести составляющего элемента;
с – кратчайшее расстояние от центра тяжести отдельного элемента сечения до упомянутого выше перпендикуляра к оси x0, вдоль которого измерялась координата а (рис. 13.9, е, з). Если центр тяжести составляющего элемента лежит на упомянутом перпендикуляре, то с = 0 (рис. 13.9, а, б, в, г, д, ж).
Если ось i является осью симметрии составляющей фигуры, то с = 0. Так как Ix0 + Iy0 = const есть первый инвариант моментов инерции при повороте осей, то эту сумму можно находить как сумму осевых моментов инерции составляющей фигуры относительно любых взаимно ортогональных осей (не обязательно x0, y0), проходящих через центр тяжести элемента.
13.1.5 Продольно-поперечный изгиб гибкого стержня
Требуется определить наибольшее напряжение и перемещение в опасном сечении стержня, загруженного сжимающей силой F и поперечной нагрузкой. Эта задача имеет точное решение, но во многих практических случаях можно применить более простой приближенный метод расчета, заменив действительное очертание изогнутой оси приближенным, например синусоидальным. При этом должны быть соблюдены условия на опорах и местоположение наибольшего прогиба должно соответствовать грузовой схеме.
Ограничимся в дальнейшем рассмотрением двухопорного сжатого стержня без консолей, с произвольной, но однообразно направленной (не близкой к кососимметричной) поперечной нагрузкой (рис. 13.10). Дифференциальное уравнение изогнутой оси стержня имеет вид:
|
Fυ M0 , |
(1) |
EIυ |
где М0 – изгибающий момент только от поперечной нагрузки.
345
|
RА |
|
|
|
|
VВ |
F |
|
|
|
|
HВ |
z |
А |
z |
|
f |
|
|
В |
|
|
|
|
|||
|
l 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 13.10 |
|
|
||
Примем |
|
|
|
|
|
|
|
|
υ f |
sin |
z |
, |
(2) |
|
|
|
|
l |
|
|
где f – прогиб в середине пролета (от продольной и поперечной нагру-
зок).
Решая уравнение (1), находим:
|
|
|
|
|
|
f |
|
|
|
|
f0 |
|
, |
|
|
|
|
|
|
(3) |
||||
|
|
|
|
|
|
1 F / F |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
э |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где F – критическая эйлерова сила, |
F |
|
2EI / l2 ; |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
э |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
э |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f0 – максимальный прогиб в середине пролета только от поперечной |
||||||||||||||||||||||||
нагрузки (при F = 0). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Если принять, что υ0 z – уравнение изогнутой оси стержня только |
||||||||||||||||||||||||
от поперечной нагрузки, из (1) и (2) находим: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
M 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
EI |
f0 l 2 sin |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
υ0 |
l |
. |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
Отсюда при z l / 2 получим приближенное значение |
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
f0 |
|
|
M0 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
(4) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
Fэ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Находим изгибающий момент и напряжение в середине пролета от |
||||||||||||||||||||||||
совместного действия продольной и поперечной нагрузок: |
|
|
||||||||||||||||||||||
Ml 2 Ff M0,l 2 |
M0,l 2 |
|
|
Ff0 |
|
; |
|
|
(5) |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 F / Fэ |
|
|
|
|||||
l 2 |
F |
|
|
Ml 2 |
|
|
F |
|
M0,l 2 |
|
|
F |
|
|
|
f0 |
. |
(6) |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Wx |
1 F / Fэ |
||||||||||||
|
A Wx |
|
|
|
A Wx |
|
|
|
|
|
346
Видим, что напряжения растут быстрее, чем нагрузки (рис. 13.11). Коэффициенты запаса по нагрузке и по напряжению оказываются разными. Принцип независимости действия сил нарушен.
Если предельная нагрузка Fпр k1F , то
|
|
|
|
|
|
|
Fk |
|
|
k1M0,l |
2 |
|
|
Fk |
|
|
|
f |
k |
||||||||||||||
|
|
пр |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
0 1 |
. (7) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
|
Wx |
|
|
|
|
|
Wx 1 Fk1 / Fэ |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
Приняв пр / k1 |
, получим условие |
|||||||||||||||||||||||||||||
прочности |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
расч |
|
F |
|
|
|
|
M0,l |
2 |
|
F |
|
f k |
|
. (8) |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
1 |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
A Wx |
|
|
Wx 1 Fk1 / Fэ |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
Условие жесткости (по аналогии) |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
fпр |
|
|
|
f |
0 |
k |
|
|
|
|
|
|
f |
|
fпр |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
; |
|
|
|
|
; |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
Fk1 / Fэ |
|
|
k1 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(9) |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
f |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f . |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
1 Fk / F |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
э |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
Fэ |
F |
|
||
|
|
Рис. 13.11
Следует обратить внимание на то, что в формулах (7)–(9) коэффициенты запаса по прочности и жесткости приняты одинаковыми.
Пример 13.1.6. Для балки, изображенной на рисунке 13.12, требуется определить коэффициент запаса прочности по отношению к пределу текучести, если т 380 МПа; F1 = 20 кН; F = 450 кН; а = 1,5 м;
l = 7 м; E 2 105 МПа. Сечение из двух швеллеров №30, соединенных жестко.
VА |
=F1 |
а |
|
F1 |
|
F1 |
а |
|
VВ=F1 |
||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
HА=F |
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
А |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Сечение |
№ 30 |
||
н.о. |
|
|
х |
z0 |
b |
y |
0 |
|
|
|
Рис. 13.12
347
Решение. По сортаменту для швеллера №30: Aш = 40,5 см2; Iу0 = 327 см4; z0 = 2,52 см; b = 10 см.
Находим геометрические характеристики составного сечения:
A 2Aш 2 40,5 81 см2 ;
Ix 2[I y0 Aш b z0 2 ] 2[327 40,5 10 2,52 2 ] 5186 см4;
Wx Ibx 518,6 см3.
Определяем эйлерову критическую силу:
Fэ 2EIx / l2 ;
2 2 105 103 5186 10 8
Fэ 2089 кН. 72
Максимальный момент от поперечной нагрузки
M0,l2 F1a 20 1,5 30 кНм.
Приближенное значение прогиба от поперечной нагрузки в середине пролета по формуле (4)
|
|
f |
|
|
M0,l |
2 |
|
30 |
1, 436 10 2 м. |
|
|
||||||||||
|
|
0 |
|
Fэ |
|
|
2089 |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
По формуле (6): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
max |
F |
|
|
M0,l 2 |
|
|
F |
|
|
f0 |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
Wx |
1 F / Fэ |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
A Wx |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
450 10 3 |
|
|
30 10 3 |
|
|
450 10 3 |
|
1,436 10 2 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
81 10 4 |
518,6 10 6 |
518,6 10 6 |
1 450 / 2089 |
55,56 57,85 15,88 129,3 МПа.
По формуле (7), приняв пр т , найдем коэффициент запаса k1 по
нагрузке. k1 показывает, во сколько раз надо увеличить приложенные нагрузки, чтобы напряжение достигло предельного значения т .
|
|
|
Fk |
|
|
k1M0,l 2 |
|
|
Fk |
|
|
|
f |
|
|
k |
|
|||||||
|
т |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
0 1 |
; |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
A |
|
|
Wx |
|
|
|
|
Wx 1 Fk1 / Fэ |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
380 113,41k1 |
|
|
450 10 3 |
|
|
|
|
|
1,436 k 2 |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|||||||
518,6 |
10 6 |
|
1 |
k |
|
450 / 2089 |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
113,41k1 |
|
12,4605k |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
; |
|
|
|
|||||||
|
|
|
1 |
|
0,2154k1 |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
348
|
|
|
|
|
|
|
|
12,46k 2 |
195,27k |
380 0 , |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
отсюда находим k1 = 1,75. Другое значение k1 = –17,42 отбрасываем, как |
|||||||||||||||||||||
противоречащее смыслу задачи. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
Таким образом, запас прочности по нагрузке k1 = 1,75, в то время как |
|||||||||||||||||||
по напряжению он больше и составляет т / max |
380 /129,3 2,94, |
||||||||||||||||||||
что подтверждает график на рисунке 13.11. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
Пример 13.1.7. Шарнирно опертая по концам балка двутаврового |
|||||||||||||||||||
сечения длиной l = 5 м сжата центрально приложенной продольной силой |
|||||||||||||||||||||
F = 300 кН и в плоскости наибольшей жесткости загружена равномерно |
|||||||||||||||||||||
распределенной нагрузкой q = 5,5 кН/м. В середине пролета балки перпен- |
|||||||||||||||||||||
дикулярно к плоскости стенки двутавра поставлены связи, препятствую- |
|||||||||||||||||||||
щие перемещению в этом направлении (рис. 13.13). По допускаемому на- |
|||||||||||||||||||||
пряжению |
|
|
= 160 МПа подобрать сечение балки. Использовать при- |
||||||||||||||||||
ближенное решение задачи. Коэффициент запаса прочности k1 = 1,7. |
|
||||||||||||||||||||
|
|
Решение. В плоскости наи- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
большей жесткости |
балка работает |
V |
|
ql |
|
V |
|
ql |
|
||||||||||||
на изгиб со сжатием. Для подбора |
|
А |
|
2 |
q |
|
В |
2 |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
сечения в этом случае необходимо |
|
|
|
|
|
|
|
F |
z |
||||||||||||
воспользоваться условием прочности |
|
|
|
HА=F |
|
|
|
|
|
||||||||||||
(8), которое придется решать мето- |
|
|
|
l |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
дом |
последовательных |
приближе- |
|
|
План |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
F |
z |
|||||||||||||||
ний. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
Первый подбор. Пренебрежем |
|
|
|
HА=F |
|
|
|
|
|
||||||||||
влиянием продольной силы F. Тогда |
|
|
|
l 2 |
|
l 2 |
|
|
|
||||||||||||
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
наибольший изгибающий момент от |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
поперечной нагрузки |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
ql |
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 13.13 |
|
|
|
|||
M |
0,max |
|
|
5,5 5 |
17,19 кНм; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
8 |
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
W |
M |
0,max |
|
17,19 106 |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
107,4 см3. |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
тр |
|
|
160 103 |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
Такому |
|
моменту |
сопротивления |
|
соответствует |
двутавр |
№16, |
||||||||||||
W 109см3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Второй подбор: учтем сжимающую силу F, но не будем учитывать |
|||||||||||||||||||
ее влияние на величину изгибающего момента. Тогда условие прочности |
|||||||||||||||||||||
имеет вид: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
349
F M0,max .
A Wx
Подбор сечений также производим методом последовательных приближений.
Примем двутавр №22: A = 30,6 cм2; Wx = 232 см3.
|
|
|
300 10 3 |
|
17,19 10 3 |
98,04 74,09 172,1 МПа. |
||
max |
30,6 |
10 4 |
|
232 10 6 |
||||
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
Перенапряжение составляет 7,5%, следовательно, сечение надо увеличить. Третий подбор: принимаем двутавр №24, A = 34,8 cм2;
Ix = 3460 см4; Wx = 289 см3; iy = 2,37 см.
Произведем проверку прочности с учетом взаимного влияния продольной и поперечной нагрузок:
|
расч |
F |
|
M0,max |
|
F |
|
f0k1 |
|
; |
|||
|
|
|
Wx |
1 Fk1 / Fэ |
|||||||||
|
|
|
|
A Wx |
|
|
|
|
|||||
где F |
2EIx |
|
2 2 105 103 3460 10 8 |
2732 кН. |
|
||||||||
|
|
|
|||||||||||
э |
l2 |
|
|
52 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Наибольший прогиб от поперечной нагрузки по приближенной формуле (4)
f0 M0,max 17,19 0,6292 10 2 м; Fэ 2732
|
|
|
300 10 3 |
|
17,19 10 3 |
|
300 10 3 |
|
0,6292 10 2 1,70 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
расч |
34,8 |
10 4 |
|
289 10 6 |
289 10 6 |
1 1,70 300 / 2732 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
86,21 59,48 13,65 159,34 МПа < = 160 МПа.
Условие прочности в плоскости наибольшей жесткости удовлетворено. Проверяем устойчивость балки в плоскости наименьшей жесткости –
в поперечном направлении. Так как в поперечном направлении свободная длина равна l1 = 0,5 l, то
|
|
|
l1 |
|
0,5l |
|
0,5 500 |
105,5 . |
max |
|
|
|
|||||
|
|
iy |
|
iy |
2,37 |
|
||
|
|
|
|
|
Такой гибкости по таблицам соответствует коэффициент снижения основного допускаемого напряжения 0,56 , т. е.
y 0,56 160 89,6 МПа;
350
|
F |
|
300 10 3 |
86, 2 МПа < |
. |
|
34,8 10 4 |
||||
|
A |
y |
|
||
|
|
|
Устойчивость балки обеспечена.
Однако проведенная проверка устойчивости заключает в себе определенную неточность. Формула для напряжения FA подразумевает
равномерное распределение напряжений по сечению, но при продольнопоперечном изгибе имеет место комбинация изгиба и сжатия, а это значит, что напряжения неравномерно распределены по сечению. Можно предложить проверку устойчивости в данном случае в иной форме:
N F y ,
где N F, |
F |
y |
|
y |
A A 0,56 160 34,8 10 4 |
312 кН; |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
F y 312 |
кН |
|
N |
|
300 кН , |
|
|||
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
т. е. действительно устойчивость балки обеспечена.
Таким образом, подбор сечения закончен, окончательно принимаем двутавр №24.
Наибольший прогиб в балке
f |
|
f0 |
|
0,6292 10 2 |
0,707 10 2 м. |
|
F / F |
1 300 / 2732 |
|||
1 |
|
|
|||
|
|
э |
|
|
|
Наибольший изгибающий момент (по формуле (5)) будет составлять
Mmax M0,max Ff 17,19 300 0,707 10 2 19,31 кНм. Наибольшее по модулю напряжение в балке (по формуле (6))
|
|
|
F |
|
M |
max |
|
300 10 3 |
|
19,31 10 3 |
|
max |
|
|
|
34,8 10 4 |
289 10 6 |
||||||
|
|
A |
|
Wx |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
86,21 66,82 153,03 МПа.
13.2Задачи для расчетно-графических работ по теме «Устойчивость сжатых стержней»
Задача 13.2.1. Определение несущей способности сжатого стержня.
Для заданной схемы сжатого стержня (табл. 13.3, строки 1–32) и поперечного сечения (рис. 13.14, схемы 1–32) определить величины критиче-
ской силы Fк, допускаемой нагрузки F и коэффициент запаса устойчивости n.
351
|
|
|
|
|
|
|
С х е м ы с е ч е н и я |
|
|
|
|||||||
1 |
|
|
|
|
2 |
|
0,6b |
|
3 |
|
|
2b |
|
4 |
160 160 12 |
||
180 180 12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
b=300 мм |
|
|
|
|
b=300 мм |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
0,6b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2b |
||
|
|
|
|
|
|
|
b |
0,4b |
|
|
b |
|
|
b |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10 мм |
|
||||
|
|
|
|
Cталь |
|
|
|
|
Чугун |
|
|
|
Чугун |
Сталь |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
5 |
|
|
№ 40 |
10 мм |
6 |
|
№ 36 |
|
7 |
|
|
№ 40 |
|
8 |
|
0,5b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
мм |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b=300 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,6b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1,6b |
|
|
|
|
Сталь |
|
|
|
|
Сталь |
|
|
|
|
Сталь |
|
|
Чугун |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
9 |
|
|
|
|
10 |
|
|
0,3b |
11 |
|
100 100 10 |
12 |
140 140 12 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
мм |
|
|||||||||
|
|
|
b=200 мм |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b=400 |
|
|
|
|
3b |
|
|
|
|
|
|
b |
|
0,9b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|||
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b b |
Дерево |
|
|
0,7b |
Дерево |
|
b |
2b |
Сталь |
|
b |
Сталь |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
13 |
|
№ 33 |
|
14 |
|
|
№ 30 |
15 |
|
|
0,4b |
мм |
16 |
0,4b |
мм |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
b |
0,3b |
|
|
|
b=300 |
|
|
b=300 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,5b |
|
|
|
|
|
|
||
|
0,7b |
|
|
|
|
|
|
|
|
1,2b |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
||||
|
|
|
|
Сталь |
|
|
|
|
Сталь |
|
|
|
Дерево |
|
Чугун |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
17 |
|
|
|
|
18 |
b |
b |
b |
|
19 |
|
|
№ 27 |
|
20 |
№ 40 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
b=200 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
b |
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b b = 200 мм |
|
|
|
|
b |
|
|
|
0,9b |
|
|
|
20 мм |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
Дерево |
|
|
|
|
Дерево |
|
|
|
|
Сталь |
|
|
Сталь |
|
21 |
|
|
|
b=300 мм |
22 |
0,2d |
|
|
23 |
|
|
|
|
24 |
|
b=200 мм |
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
d=500 мм |
0,4d |
|
|
|
d=400 мм |
|
|
|
|
|
Дерево |
|
|
|
Чугун |
|
|
|
|
Чугун |
|
|
Дерево |
||||
25 |
200 200 16 |
26 |
|
123 123 14 |
27 |
b |
|
160 160 18 |
28 |
200 200 20 |
|||||||
|
|
|
|
|
3b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10 мм |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
20 мм |
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Сталь |
|
|
|
Сталь |
10 мм |
|
|
Сталь |
|
10 мм |
Сталь |
||
29 |
b=150 мм |
30 |
|
|
d=300 мм |
31 |
220 220 16 |
32 |
0,7b |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=400 мм |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
20 мм |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в |
||
|
Дерево |
|
|
Дерево |
|
|
|
Сталь |
|
|
Дерево |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 13.14 |
|
|
|
|
|
|
||
352 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|