Добавил:

turbo1121 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Петербургский государственный университет путей сообщения им. императора Александра I

Предмет:

Сопротивление материалов

Файл:

Задачник / Глава 03 (45-80)

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

20.12.2017

Размер:

1.1 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 44

другая – с изменением формы иф в окрестности некоторой точки тела. Полная удельная потенциальная энергия и ее части имеют прямое отношение к разложению напряженного состояния на части, связанные с изменением объема и формы, о которых говорилось в п. 7 и представлено на рисунке 3.19:

																	u uо uф .														(31)
Удельная потенциальная энергия изменения объема и изменения
формы выражается зависимостями:
																	u		1 2									2 ;			(32)
																	u					1		2			3	2 ;			(32)
																	о		E			1		2			3
																			E
					u							1		2			2	2												.	(33)
					u			ф						2			2	2			2				3				1	.	(33)
								ф				3E				1	2	3		1	2		2		3			3	1
												3E
В нашем примере:
				u							1					[122,222 42,572 ( 59,79)2
из (30)
из (30)											2 105
									2		2 105
2 0,3(122,22 42,57 42,57( 59,79) ( 59,79) 122,22]
																5,779 10 2				Дж/см3;
из (32)	u					(1 2 0,3)									(122, 22 42,57 59,79)2											3,675 10 3 Дж/см3;
из (32)	u	о													(122, 22 42,57 59,79)2											3,675 10 3 Дж/см3;
		о						6 2 105
								6 2 105
из (33)	u						(1 0,3)						[122,222 42,572 ( 59,79)2
из (33)	u	ф											[122,222 42,572 ( 59,79)2
		ф			3				2		105
					3				2		105
	122,22 42,57 42,57( 59,79) ( 59,79) 122,22]
																	5,41 10 2			Дж/см3;
u u					u							0,368 10 2						5, 411 10 2					5,779 10 2 Дж/см3,
			о							ф

5,779 10 2 5,779 10 2.

Следует обратить внимание на то, что удельная потенциальная энергия изменения объема пропорциональна квадрату окт (сравнить формулы (32) и (19)), а удельная потенциальная энергия изменения формы пропорциональна квадрату окт (сравнить формулы (33) и (20)). Именно с этими

взаимозависимостями связан интерес к октаэдрическим площадкам и напряжениям.

9. Определение расчетных напряжений по классическим критериям пластичности.

Так как критерии прочности I и II применимы только для хрупких материалов, то в данном примере для оценки прочности стального элемента следует применить III и IV критерии пластичности.

Третий критерий (пластичности) – критерий наибольших касательных напряжений:

рIII 1 3 122,22 ( 59,79) 182,01 МПа.

Четвертый критерий (пластичности) – энергетический:

рIV 12 22 32 1 2 2 3 3 1

122,222 42,572 ( 59,79)2 122,22 42,57 42,57( 59,79) ( 59,79) 122,22

158,03 МПа.

Сравнение результатов определения рi показывает, что при задан-

ном напряженном состоянии наиболее неблагоприятные результаты получены при применении критерия наибольших касательных напряжений. В этом случае расчетное напряжение на 13,2% больше, чем по энергетическому критерию.

3.2 Задачи для расчетно-графических работ по теме «Напряженно-деформированное состояние

в точке тела»

Задача 3.2.1. Исследование плоского напряженно-деформирован-

ного состояния. На рисунке 3.20 показан элемент в плоском напряженном состоянии с положительно направленными напряжениями x , y , xy и

углом .

Численные значения исходных

данных берутся из таблицы 3.4 в соот-

ветствии с заданием.

Последовательность решения

Для прямоугольного параллеле-

пипеда, испытывающего плоское на-

пряженное состояние, нулевая главная

площадка которого совпадает с плос-

костью рисунка, требуется:

Рис. 3.20

1) определить ориентацию глав-

ных площадок и величину главных напряжений, а также величину экстремальных касательных напряжений и показать площадки, на которых они действуют;

2) определить нормальные и касательные напряжения, действующие по граням элемента, повернутого в плоскости ненулевых главных напря-

жений на заданный угол к 0 , где 0 – угол наклона главных площадок по отношению к оси x;

3) определить главные относительные деформации, относительное изменение объема и удельную потенциальную энергию упругой деформации (полную, изменения объема и изменения формы);

4) проверить прочность материала в загруженном параллелепипеде по четырем теориям прочности.

Т а б л и ц а 3.4

(к задаче 3.2.1)

Номер	x	y	xy	Е,	μ	,	к
строки		МПа		ГПа	μ	МПа	к
строки		МПа		ГПа		МПа
1	2	3	4	5	6	7	8
1	35	–35	20	130	0,30	160	1,4
2	90	45	–30	200	0,22	160	1,5
3	80	80	25	100	0,25	150	1,6
4	–70	70	40	150	0,28	170	1,7
5	60	–65	35	210	0,35	150	1,8
6	55	75	–50	100	0,25	160	1,9
7	–50	85	45	200	0,20	170	1,5
8	–45	90	–10	170	0,30	150	1,6
9	40	–60	15	190	0,28	160	1,7
10	35	50	–18	130	0,20	170	1,4
11	95	45	30	180	0,22	160	1,5
12	90	–80	25	200	0,25	150	1,6
13	80	70	–40	100	0,28	170	1,7
14	70	–65	–35	150	0,35	150	1,8
15	–60	75	50	210	0,25	160	1,9
16	55	–85	45	100	0,20	170	1,5
17	–50	90	10	200	0,30	150	1,6
18	45	60	–15	170	0,28	160	1,7
19	40	–35	–25	190	0,30	150	1,3
20	35	–45	–35	130	0,22	160	1,5
21	95	80	20	180	0,25	150	1,6
22	90	–70	40	200	0,28	170	1,7
23	80	65	–35	100	0,35	150	1,8
24	–70	75	–50	150	0,25	160	1,9
25	60	85	–45	210	0,20	170	1,5
26	55	90	10	100	0,30	150	1,6
27	50	–60	15	200	0,28	160	1,7
28	45	30	–20	170	0,30	150	1,3
29	40	50	18	190	0,20	170	1,4
30	–35	60	–25	130	0,25	150	1,6

Продолжение табл. 3.4

1	2	3	4	5	6	7	8
31	95	–70	–40	180	0,28	170	1,7
32	90	65	–35	200	0,35	150	1,6
33	80	75	50	100	0,25	160	1,9
34	70	–85	45	150	0,20	170	1,5
35	–60	90	10	210	0,30	150	1,6
36	55	60	–15	100	0,28	160	1,7
37	50	45	20	200	0,30	150	1,3
38	45	–50	–18	170	0,20	170	1,4
39	40	–30	45	190	0,22	160	1,5
40	–35	70	–40	130	0,28	170	1,7
41	95	65	–35	180	0,35	150	1,8
42	90	–75	50	200	0,25	160	1,9
43	85	80	45	100	0,20	170	1,5
44	–70	90	–10	150	0,30	150	1,6
45	60	–40	15	210	0,28	160	1,7
46	–60	30	30	210	0,30	150	1,3
47	–55	50	18	100	0,20	170	1,4
48	–50	45	–30	200	0,22	160	1,5
49	45	–80	35	170	0,25	150	1,6
50	40	70	40	190	0,28	170	1,7
51	–35	75	–50	130	0,25	160	1,9
52	95	85	45	180	0,20	170	1,5
53	90	90	10	200	0,30	150	1,6
54	70	–40	20	150	0,30	150	1,3
55	60	50	18	100	0,20	170	1,4
56	55	–45	30	100	0,22	160	1,5
57	50	80	–25	200	0,25	150	1,6
58	–45	70	–40	170	0,28	170	1,7
59	40	65	35	190	0,35	150	1,6
60	35	85	45	130	0,20	170	1,5

Задача 3.2.2. Исследование объемного напряженно-деформирован- ного состояния в точке тела.

Исходные данные. Схема элемента представлена на рисунке 3.21. Направление стрелок на схеме соответствует положительным значениям напряжений. Материал подчиняется закону Гука. Значения компонент тензора напряжений, направляющих косинусов заданной площадки и упругих постоянных материала взять из таблицы 3.5 в соответствии с заданием.

Последовательность выполнения		х	z
расчета			z
расчета
1. Определить нормальные и ка-	y	zx		zy
сательные напряжения, действующие		zx		xy
по площадке с заданной ориентацией.	z			xy	x
2. Определить главные напряжения.	z				x
2. Определить главные напряжения.		yx
3. Найти положение главных пло-		yx
щадок.		y		xz
щадок.				xz
4. Определить максимальные ка-		yz
сательные и октаэдрические напряже-
ния.		Рис. 3.21

5.Определить компоненты тензора деформации в заданных и главных осях.

6.Разложить заданный тензор напряжений на шаровой и девиатор.

7.Определить полную удельную энергию, удельные энергии изменения объема и изменения формы для заданного тензора напряжений.

Та б л и ц а 3.5

(к задаче 3.2.2)

Номер	x	y	z	xy	yz	zx	E,	μ		l				m		n
Номер							E,			Направляющие
варианта			МПа				ГПа			Направляющие
							ГПа				косинусы


1	2	3	4	5	6	7	8	9	10				11			12
1	100	25	30	15	35	60	100	0,30
1	100	25	30	15	35	60	100	0,30	1	2		1	3		1	6
2	95	30	–35	18	30	–55	200	0,25	1/2						1/2
2	95	30	–35	18	30	–55	200	0,25	1/2			1	2		1/2
3	90	35	40	20	40	50	150	0,35
3	90	35	40	20	40	50	150	0,35		3 2		1	8		1	8
4	80	–40	45	–25	15	45	210	0,30	2/3			1/3			2/3
5	70	45	50	30	–20	40	200	0,25							2/3
5	70	45	50	30	–20	40	200	0,25		2 3		1	3		2/3

6	60	50	–60	35	10	–35	100	0,35				1/3
6	60	50	–60	35	10	–35	100	0,35		5 3		1/3			1	3
7	55	–55	70	–40	25	30	150	0,25
7	55	–55	70	–40	25	30	150	0,25		6 4		1	2		1	8
8	50	60	75	45	–45	–25	180	0,30				1/5			2/5
8	50	60	75	45	–45	–25	180	0,30	2	5		1/5			2/5
9	45	65	–65	–50	18	20	200	0,35
9	45	65	–65	–50	18	20	200	0,35	2	6		1	6		1	6
10	40	70	55	10	50	15	100	0,25
10	40	70	55	10	50	15	100	0,25	1	5			3 2		1	20

11	100	–30	40	15	30	50	210	0,30
11	100	–30	40	15	30	50	210	0,30	1	3		1	3		1	6
12	95	25	35	18	–35	55	100	0,30				1/2			1/2
12	95	25	35	18	–35	55	100	0,30	1	2		1/2			1/2

Продолжение табл. 3.5

1	2	3	4	5	6	7	8	9		10	11			12

13	90	30	–30	20	30	–60	200	0,25
										3 2	1	8	1	8
14	80	35	40	20	15	50	210	0,30	1/3		2/3		2/3
15	70	–40	40	30	–15	40	200	0,25					2/3
									1	3		2 3

16	60	55	–75	–35	25	25	100	0,35	1/3
												5 3	1	3
17	55	60	65	40	10	–30	150	0,25
									1	2		6 4	1	8
18	50	65	–55	45	18	15	180	0,30	1/5				2/5
											2	5
19	45	–70	65	18	50	25	200	0,35
									1	6	2	6	1	6
20	40	65	–60	10	18	20	100	0,25
										3 2	1	5	1	20

21	100	35	–35	15	30	–60	100	0,30	2/3
											1	3		2 3
22	30	–95	40	30	18	60	200	0,25	1/2				1/2
											1	2
23	35	90	–35	–20	40	55	150	0,35
										3 2	1	8	1	8
24	80	30	–40	25	40	–45	210	0,30	1/3		2/3		2/3
25	70	–50	40	30	20	–50	200	0,25	2/3
											1	3		2 3

26	60	55	70	35	25	40	100	0,35			1/3
									1	3				5 3
27	55	50	–60	40	10	–25	150	0,25
									1	8	1	2		6 4
28	50	–65	75	45	–35	25	180	0,30	2/5		1/5
													2	5
29	45	–55	–50	18	15	30	200	0,35
									1	6	2	6	1	6
30	40	55	60	10	50	25	100	0,25
									1	20		3 2	1	5

31	100	45	–40	20	35	50	200	0,25
									1	2	1	3	1	6
32	95	40	30	–30	40	–45	100	0,30			1/2		1/2
									1	2
33	90	–30	20	35	–50	30	150	0,35
										3 2	1	8	1	8
34	80	–25	–40	15	–40	45	210	0,30	1/3		2/3		2/3
35	70	35	–45	20	20	–45	200	0,25					2/3
										2 3	1	3

36	60	65	70	35	25	35	100	0,35	1/3
												5 3	1	3
37	55	70	–75	40	–18	30	150	0,25
									1	8		6 4	1	2
38	50	–70	10	–40	18	–25	180	0,30	1/5				2/5
											2	5
39	45	50	–70	35	30	20	100	0,35
									1	5		3 2	1	20
40	40	–55	65	50	–15	35	200	0,25
									1	6	2	6	1	6

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 44

Соседние файлы в папке Задачник

#
20.12.2017663.81 Кб108Глава 01+введ (3-25).pdf
#
20.12.2017718.57 Кб195Глава 02 (26-44).pdf
#
20.12.20171.1 Mб98Глава 03 (45-80).pdf
#
20.12.2017772.12 Кб109Глава 04 (81-99).pdf
#
20.12.2017574.27 Кб126Глава 05 (100-111).pdf
#
20.12.20171.25 Mб188Глава 06 (112-155).pdf
#
20.12.20171.44 Mб127Глава 07(156-208).pdf
#
20.12.2017573.57 Кб87Глава 08 (209-222).pdf