Техническая механика / 4_Tekhnicheskaya_mekhanika_dlya_stroiteley

Как следует из полученных выражений, эпюра поперечных сил Qy на втором грузовом участке изменяется по квадратной параболе, а эпюра изгибающих моментов M x – по кубической параболе.

ПРИМЕР 6.6

Исходные данные задачи.

По заданной эпюре изгибающих моментов Мх, показанной на рисунке 6.19, определить исходное загружение балки и построить эпюру поперечных сил Qy.

Решение задачи.

На пятом грузовом участке эпюра Мх является постоянной, тогда эпюра Qy должна равняться нулю. Следовательно, на пятом грузовом участке к балке не приложены распределенные нагрузки или сосредоточенные силы. Скачок вверх на эпюре изгибающих моментов соответствует действию сосредоточенного момента М 2 = qa 2 , следовательно, к крайней правой точке балки приложен внешний момент, действующий по часовой стрелке.

160

Приращение изгибающего момента на четвертом грузовом участке равно DM x = qa2 + 2qa2 = 3qa 2 . Знак «+» приращения момента соответствует стремлению эпюры Мх в положительную область (в сторону нижних растянутых волокон). При перемещении сечения справа на лево приращение изгибающего момента DM x , что соответствует площади

эпюры Qy на том же грузовом участке, следовательно, SQy = -3qa 2 . На

рассматриваемом грузовом участке эпюра Мх изменяется по линейному закону, тогда эпюра Qy должна быть постоянной. При длине грузового участка равной a ордината прямоугольной части эпюры поперечных сил равна Qy = -qa2 / a = -qa . Скачок вниз на эпюре поперечных сил

соответствует действию сосредоточенной силы, следовательно, к крайней левой точке балки приложена силаF1 = qa , действующая сверху вниз.

Приращение изгибающего момента на первом грузовом участке равно DM x = 0 - qa 2 = -qa 2 , что соответствует площади эпюрыQy на том же грузовом участке, следовательно,

SQ y = -qa 2 .

161

§6.9 ПОСТРОЕНИЕ ЭПЮР ВНУТРЕННИХ СИЛОВЫХ ФАКТОРОВ

ВПЛОСКИХ РАМАХ

qz = q × sin a = 4 × 0,60 = 2,40 кН/м;

qy = q × cosa = 4 × 0,80 = 3,20 кН/м.

Определяем величину опорных реакций заданной рамы.

åmА = 0; RВ ×8 - М - F1 × 2 - q × 5 × 6 + F2 × 6 = 0;

RВ = 4 ×5 × 6 + 20 + 20 × 2 -10 × 6 = 15кН; 8

åmВ = 0; RА ×8 + М - F1 × 6 - q ×5 × 2 + F2 × 2 = 0;

162

RА = 4 ×5 × 2 - 20 + 20 × 6 -10 × 2 = 15 кН. 8

Проверка:

åy = 0; - F2 + q × 5 - RA - RB + F2 = 0;

-10 + 4× 5 -15 -15 + 20 = 40 - 40 = 0,

вниз, чтобы получить правостороннюю систему координат. Отбрасываем правую часть рамы. В сечении показываем внутренние силовые факторы (изгибающий момент Mx, продольную силу Nz и поперечную силу Qy), действующие в положительном направлении. Координата z1, определяющая положение рассматриваемого сечения, изменяется в сле-

левой крайней точке рамы. Отбрасываем правую часть рамы. Коорди-

å y = 0 ; Qy - RA + F1 = 0 ;

Qy = RA - F1 =15 - 20 = -5 кН;

163

силу Nz и поперечную силуQy), действующие в положительном направлении (рис. 6.23). Координата z4, определяющая положение сече-

Qy = 3,20 × 0 -15 × 0,80 = -12,0 кН;

Рассматриваем третий грузовой участок заданной рамы. Начало координат оставляем в крайней правой точке рамы. Координата z3, определяющая положение сечения в пределах третьего грузового участка, изменяется следующим образом 2,5 £ z3 £ 5 м. Записываем уравнения

164

статического равновесия для правой отсеченной части рамы и в результате имеем:

M x - RВ × z3 × cosa + q × z3 × (z3 × cosa / 2)- F2 × (z3 - 2,5)× cosa = 0 ; M x = RВ × z3 × cosa - q × z3 × (z3 × cosa / 2)+ F2 × (z3 - 2,5)× cosa .

9

12

20

3040

Эп. Мх 20

Qy = 3,20 × 2,5 - (15 +10)× 0,80 = -12,0 кН;

M x = 15 × 2,5 × 0,80 - 4 × 2,5 × (2,5 × 0,80 / 2)+10 × (2,5 - 2,5)× 0,80 = 20 кНм;

M x = 15 ×5 × 0,80 - 4 × 5 × (5 × 0,80 / 2)+10 × (5 - 2,5)× 0,80 = 40 кНм.

165

Пополученным значениям выполняем построение эпюр ВСФ в заданной раме (рис. 6.25).

Необходимо отметить, что все правила контроля эпюр ВСФ, полученные для балок, остаются справедливыми и для плоских рам. Кроме того, все узлы рамы должны находиться в состоянии равновесия. Вырежем узел рамы круговым сечением, проходящим на бесконечно малом расстоянии от узловой точки(рис. 6.26). К узлу должны быть приложены все внешние узловые нагрузки. В сечениях стержней прикладываем внутренние усилия, направляя их в соответствии с полученными знаками. Величина этих усилий устанавливается по соответствующим эпюрам. Для вырезанного узла можно составить следующие уравнения равновесия статики:

Следовательно, эпюры внутренних усилий построены верно.

ПРИМЕР 6.7

Исходные данные задачи.

Для заданной рамы (рис. 6.27), загруженной системой внешних сил, построить эпюры изгибающих моментов Мх и поперечных сил Qy.

Решение задачи.

Определяем величину опорных реакций заданной рамы.

åmK = 0 ; RB × 5 - M - F2 × 2 + F1 ×1 + q × 2 × 3 = 0 ;

RB = 20 + 20 × 2 -10 ×1 - 4 × 2 × 3 = 5,20 кН; 5

åmЕ = 0 ; RА × 5 - M + F2 × 3 - F1 × 4 - q × 2 × 2 = 0 ;

RА = 20 - 20 × 3 + 10 × 4 + 4 × 2 × 2 = 3,20 кН; 5

åmD = 0 ; RC × r + M - F2 × 3 - F1 ×1 - q × 2 ×3 = 0 ;

где r = 2,5 / cosa = 2,5 / 0,7071 = 3,536 м;

166

при z3 = 1м; M x = -16,80 кНм.

Четвертый грузовой участок 1 £ z4 £ 2 м.

åz = 0 ; F2 + N z = 0 ; Nz = -F2 = -20 кН;

åy = 0 ; - RА + Qy = 0 ; Qy = RА = 3,20кН;

åm = 0 ; M x + M - RА z3 = 0 ; M x = RА z3 - M ;

Эп. Мх (кНм)

Рисунок 6.28

Пятый грузовой участок 0 £ z5 £ 3 м.

åz = 0 ; N z = 0 ;

åy = 0 ; - RВ + Qy = 0 ; Qy = RВ = 5,20 кН;

åm = 0 ; M x - RВ z5 = 0 ; M x = RВ z5 ;

168

Седьмой грузовой участок 0 £ z7 £ 2 м.

åz = 0 ; N z + Rc sin a = 0 ; N z = -Rc sin a = -20,93 × 0,7071 = -14,80 кН;

åy = 0 ; - Rc × cosa + Qy = 0 ; Qy = Rc cosa = 20,93× 0,7071 = 14,80 кН;

Шестой грузовой участок 0 £ z6 £ 2 м.

åz = 0 ; N z + Rc cosa = 0 ; N z = -Rc cosa = -20,93 × 0,7071 = -14,80 кН;

åy = 0 ; Rc sin a + Qy - qz6 = 0 ; Qy = qz6 - Rc sina ;

åm = 0 ; M x - Rc sin a × z6 + Rc cosa × 2 + qz62 2 = 0 ;

M x = Rc sin a × z6 - Rc cosa × 2 - qz62 2 = 0 ;

Следовательно, эпюры внутренних усилий построены верно.

ПРИМЕР 6.8

Исходные данные задачи.

Для заданной рамы (рис. 6.30), загруженной системой внешних сил, построить эпюры изгибающих моментов Мх и поперечных сил Qy.

169