пример МатСтат

Вариант 7

У пятидесяти новорождённых измеряли массу тела с точностью до 10 г. Результаты измерений приведены в таблице 1:

Таблица 1

3,70	3,85	3,70	3,78	3,60	4,45	4,20	3,87	3,30	3,76
3,75	4,03	3,75	4,18	3,80	4,75	3,25	4,10	3,55	3,35
3,38	3,30	4,15	3,95	3,50	3,88	3,71	3,15	4,15	3,80
4,22	3,75	3,58	3,55	4,08	4,03	3,24	4,05	3,56	3,05
3,58	3,98	3,88	3,78	4,05	3,40	3,80	3,06	4,38	4,20

По имеющимся данным:

Задание 1. Постройте статистический ряд.

Задание 2. Вычислите относительные частоты и накопленные частоты.

Задание 3. Представьте графически статистический ряд в виде полигона или гистограммы.

Задание 4. Составьте эмпирическую функцию распределения.

Задание 5. Постройте график эмпирической функции распределения.

Задание 6. Вычислите точечные оценки параметров законов распределения:

1. выборочное среднее;

2. выборочную смещённую (неисправленную) дисперсию и выборочную несмещённую (исправленную) дисперсию;

3. выборочное неисправленное среднее квадратическое отклонение и выборочные исправленное среднее квадратическое отклонение;

4. выборочную моду;

5. выборочную медиану.

Задание 7. Найдите доверительный интервал для неизвестного математического ожидания нормально распределённой генеральной совокупности если доверительная тельная вероятность равна γ=0,97 при условии, что дисперсия неизвестна.

Решение:

1. С помощью табличного редактора MS Excel ранжируем детей по массе тела и определим минимальное и максимальное ее значения:

Объем выборки равен:

Рассчитаем размах выборки:

Оптимальное число интервалов определим по формуле:

Определим длину интервала:

Построим статистический ряд (табл. 2).

Таблица 2

Интервал	3,05 – 3,30	3,30 – 3,55	3,55 – 3,80	3,80 – 4,05	4,05 – 4,30	4,30 – 4,55	4,55 – 4,80
Частота,	5	6	15	11	10	2	1

2. Построим сгруппированный ряд наблюдений, найдём середины интервалов, вычислим частоты, относительные и накопленные частоты (табл. 3).

Таблица 3

Номер интервала	Интервал	Середина интервала,	Частота,	Относительная частота,	Накопленная частота,
1	3,05 – 3,30	3,18	5	0,10	0,10	0,025
2	3,30 – 3,55	3,43	6	0,12	0,22	0,030
3	3,55 – 3,80	3,68	15	0,30	0,52	0,075
4	3,80 – 4,05	3,93	11	0,22	0,74	0,055
5	4,05 – 4,30	4,18	10	0,20	0,94	0,050
6	4,30 – 4,55	4,43	2	0,04	0,98	0,010
7	4,55 – 4,80	4,68	1	0,02	1,00	0,005

3. Изобразим статистический ряд графически.

Рис. 1 – гистограмма относительных частот

4. Составим эмпирическую функцию распределения, используя накопленные частости.

5. Изобразим графически эмпирическую функцию распределения.

Рис. 2 – график эмпирической функции распределения

6. Вычислим точечные оценки параметров законов распределения.

Таблица 4

Левая граница	Правая граница	Середина интервала	Частота	Произведение середины интервала на частоту		Произведение квадрата середины интервала на частоту			Относительные частоты			Накопленные частоты
3,05	3,30	3,18	5	15,90		50,56			0,10			0,10
3,30	3,55	3,43	6	20,58		70,59			0,12			0,22
3,55	3,80	3,68	15	55,20		203,14			0,30			0,52
3,80	4,05	3,93	11	43,23		169,89			0,22			0,74
4,05	4,30	4,18	10	41,80		174,72			0,20			0,94
4,30	4,55	4,43	2	8,86		39,25			0,04			0,98
4,55	4,80	4,68	1	4,68		21,90			0,02			1,00
Объём выборки: 50					190,25		730,06
Выборочное среднее: 3,81								14,6012			"среднее квадратов "
Смещённая оценка дисперсии: 0,123
Несмещённая оценка дисперсии : 0,421
Выборочное среднее квадратическое (смещённое):											0,3510
Выборочное среднее квадратическое (несмещённое):											0,6490
Мода Мо: 3,723
Медиана Ме: 3,783

Таким образом, средний вес младенцев составил 3,81 кг со среднеквадратическим отклонением 0,351 кг. Мода характеризует наиболее вероятный вес, равный 3,72 кг. Медиана показывает, что вес половины младенцев не превышает 3,78 кг., а другой половины – не менее 3,78 кг.

7. Определим доверительный интервал для неизвестного математического ожидания нормально распределённой генеральной совокупности при условии, что дисперсия неизвестна.

Выборочное среднее равно:

Исправленное среднее квадратическое отклонение равно:

По условию:

По таблице значений Лапласа находим . Объем выборки n=100.

Тогда:

Таким образом, интервал

покрывает неизвестное математическое ожидание с надежностью γ=0,97.

Т.е., вес новорожденных в генеральной совокупности с вероятностью 0,97 не будет меньше 3,61 кг и не превысит 4,01 кг.

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1. Болдин К.В. и др. Основы теории вероятностей и математической статистики: Учебник. – М.: Флинта, 2010.

2. Гмурман, В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебное пособие для бакалавров / В.Е. Гмурман. - М.: Юрайт, 2013. - 479 c.

3. Кремер, Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебник для студентов вузов / Н.Ш. Кремер. - М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2012. - 551 c.

4. Попов А.М., Сотников В.Н. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебник. – М.: Юрайт, 2011.

5. Чупрунов, А.Н. Методические указания к выполнению контрольной работы по дисциплине «Теория вероятностей и математическая статистика» / А.Н. Чупрунов. – Казань: Изд-во «Познание» Института экономики, управления и права (г. Казань), 2013. – 35 с.