ИДЗ 13.1 Рябушко пример решения
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ИДЗ 13.1 – Вариант 0
1. Представить двойной интеграл f (x, y)dxdy в виде повторного интеграла с внешним
D
интегрированием по х и внешним интегрированием по y, если область D задана указанными линиями.
1.0. D: y = x, x = 4 y2 , y ≥ 0.
Область ограничена полукругом x |
4 y2 и прямой y = x |
||||||||||
Найдем ординаты точек пересечения графиков |
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4 y2 y 4 y2 y2 |
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2y2 |
4 |
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|||||
y2 2 |
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y1 |
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2; y2 2 |
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Так как по условию задано y ≥ 0 |
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||||||
Тогда берем во внимание y |
2; x |
2 |
|
y 4 x 2 , y = x
4 x 2 0 x 2 4 x1,2 2
Интеграл с внешним интегрированием по y запишется в виде:
|
|
2 |
x |
2 |
|
4 x2 |
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f (x, y)dxdy dx f (x, y)dy |
dx |
f (x, y)dy |
||||||
D |
0 |
0 |
|
2 |
|
0 |
|
x4 y2 ; x = y
Свнешним интегрированием по x запишется в виде
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4 y2 |
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2 |
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|||
f (x, y)dxdy dy |
f (x, y)dx |
||||
D |
0 |
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y |
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2. Вычислить двойной интеграл по области D, ограниченной указанными линиями.
2.0. xy 2dxdy, D: y = x, y = 0, x + y = 2
D
Область D изобразим на рисунке. Если выбрать внутреннее интегрирование по y, а внешнее – по x, то двойной интеграл по этой области выразится одним повторным интегралом
y = x, y = 2 – x
Найдем абсциссы точек пересечения графиков x 0 x 0
0 2 x x 2
x 2 x 2x 2 x 1
Вычисляем двойной интеграл по области D
xy |
2 |
dxdy |
1 |
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x |
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2 |
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2 |
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2 x |
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2 |
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1 |
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xy 3 |
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x |
2 |
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xy 3 |
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2 x |
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1 |
x x |
3 |
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x 03 |
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dx xy |
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dy dx xy |
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dy dx |
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dx |
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dx |
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D |
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0 |
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0 |
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1 |
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0 |
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|
|
0 |
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3 |
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0 |
1 |
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3 |
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0 |
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|
|
0 |
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3 |
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|
3 |
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2 x 2 x 3 |
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x 03 |
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1 |
x 4 |
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|
2 x 8 12x 6x |
2 x |
3 |
|
|
1 x 4 |
|
|
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|
2 |
|
8x |
|
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|
2 |
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|
|
3 |
|
x 4 |
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dx |
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4x 2x |
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|||||||||||||||||||||||
|
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3 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
dx |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
dx |
3 |
dx |
|
3 |
|
3 |
dx |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
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|
|
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|
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0 |
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|
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|
|
|
1 |
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|
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|
|
|
|
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|
|
|
|
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|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
x 5 |
|
1 |
|
|
|
8x 2 |
|
|
|
4x 3 |
|
|
|
|
|
2x |
4 |
|
|
|
x 5 |
|
|
2 |
|
|
|
|
x 5 |
|
1 |
|
|
|
4x 2 |
|
|
|
|
4x 3 |
|
x 4 |
|
x 5 |
|
|
|
2 |
|
|
15 |
|
|
|
|
05 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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3 5 |
|
|
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|
|
|
3 2 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
4 |
|
|
3 5 |
|
|
|
|
|
|
|
15 |
|
|
|
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|
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|
3 |
|
|
|
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|
|
|
3 |
|
|
2 15 |
|
|
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|
|
|
|
15 15 |
|
|
|
|
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|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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|
0 |
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|
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|
1 |
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|
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|
0 |
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|
|
|
|
|
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|
|
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1 |
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|
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|
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|||||||||||||||||||||||||
|
4 22 |
|
|
4 23 |
|
|
24 |
|
|
|
|
25 |
|
|
4 12 |
|
|
|
|
4 13 |
|
14 |
|
|
|
15 |
|
|
1 |
|
|
16 |
|
|
32 |
|
|
|
|
|
|
16 |
|
|
|
32 |
|
|
|
|
4 |
|
|
|
4 |
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
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|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
3 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
15 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
2 15 |
|
|
|
15 3 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
2 15 3 3 2 15 |
|
|
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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|
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|
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|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
16 |
8 |
30 |
|
|
1 |
|
160 240 60 15 |
|
5 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
15 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
30 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
30 |
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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3. Вычислить двойной интеграл, используя полярные координаты.
|
|
2 |
|
|
|
2 x2 |
|
|
|
|||
3.0. |
dx |
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|
x 2 y2 dy |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
2 |
|
|
|
2 x2 |
|
|
Область интегрирования D представляет собой окружность радиуса R 2
Имеем 2 x 2; 2 x 2 y 2 x 2 x2 + y2 = 2 – окружность
Перейдем к полярным координатам x cos , y sin , x 2 y2 2 ,
где 0 ≤ ρ ≤ 2 ; 0 ≤ φ ≤ 2π; dxdy = ρdρdφ
Тогда
2 |
2 |
2 |
2 |
I d 2 cos 2 2 sin 2 d d
0 |
0 |
0 |
0 |
|
2 |
|
2 |
|
|
|
2 cos 2 sin 2 d d |
2 d |
|||||
0 |
0 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|||
|
2 |
2 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
0 |
2 2 |
|
|
2 2 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
d d d |
2 |
d |
d |
|
|
|
|
d |
|
|
|
|
|
|
d |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
3 |
|
|
|
|
|
3 |
|
3 |
|
3 |
|
3 |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
0 |
|
0 |
0 |
0 |
|
|
|
0 |
|
|
|
0 |
|
0 |
|
|
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4. Вычислить площадь плоской области D, ограниченной заданными линями.
4.0. D: y = 2x2, y = 2x
Область D изобразим на рисунке.
Если выбрать внутреннее интегрирование по y, а внешнее – по x, то двойной интеграл по этой
области выразится одним повторным интегралом
Найдем абсциссы точек пересечения графиков y 2x 2 ; y 2x
2x 2 2x x 2 x 0 x x 1 0
x1 0 |
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x 1 0 |
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При x |
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0; y |
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1; |
y2 |
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Вычисляем площадь плоской области D |
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2x2 |
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2x2 |
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2x 2 1 |
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x1 1 |
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2x 3 |
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x 2 |
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S dxdy dx dy dx y |
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dx 2x |
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5. С помощью двойных интегралов вычислить в полярных координатах площадь плоской фигуры, ограниченной указанными линиями.
5.0. ρ = 2(1 – cosφ)
Пределы интегрирования
0 ≤ φ ≤ 2π; 0 ≤ ρ ≤ 2(1 – cosφ); ρdρdφ
Найдем площадь фигуры
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2 1 cos |
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2 1 cos |
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S d d d |
d d |
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d 2 1 cos 2 |
02 |
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D |
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cos 2 |
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d |
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1 2 cos cos |
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d 2 1 |
2 cos |
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d |
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2 |
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cos 2 |
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2 cos |
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d |
3 |
4 cos cos 2 d |
3 4sin |
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sin 2 |
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2 4sin 2 |
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sin 2 |
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6. Вычислить объем тела, ограниченного заданными поверхностями.
6.0. y = x2, z = 0, y + z = 3
y x 2
z
3
3
y
3
z 3 y
x
Данное тело ограничено плоскостью z = 3 – y, и параболой y = x2.
На основании геометрического смысла двойного интеграла, искомый объем υ можно вычислить по формуле
3 y dxdy
D
Найдем абсциссы точек пересечения
0 3 y y 3
3 x 2 |
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3 |
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3 |
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x 2 |
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dx 3 y dy |
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3y |
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x 5 |
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x 4 |
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x 4 |
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3 |
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3x |
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3 |
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3 |
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5 |
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9 |
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3 |
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3 |
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3 |
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3 |
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2 3 |
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3 3 |
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15 3 9 3 |
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24 3 |
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куб.ед. |
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