ИДЗ 12.2 Рябушко пример решения
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Решение задач по высшей математике на заказ
ИДЗ 12.2 – Вариант 0.
1. Найти область сходимости ряда. (1-3)
x n
1.0.
n 1 4n 1 3n
Найдем интервал сходимости данного ряда. Используем признак Д’Аламбера:
где u n |
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Запишем интервал сходимости исследуемого степенного ряда |
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Исследуем сходимость ряда на концах найденного интервала |
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Ряд является знакочередующимся |
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3 n |
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Ряд сходится по признаку Лейбница |
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Исследуем ряд на абсолютную сходимость |
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4 n 1 |
3 n |
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Используем интегральный признак Коши |
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lim 3 |
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1 |
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dx |
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1 |
lim |
dx |
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1 |
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3 |
lim 3 |
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x 2 |
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3 |
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2 |
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3 12 |
3 |
1 |
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3 |
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3 |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4 |
1 |
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x |
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4 |
1 |
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|
x |
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4 |
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2 |
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1 |
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8 |
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Так как интеграл расходится, следовательно, исследуемый ряд тоже расходится |
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Следовательно, исходный ряд (*) условно сходится |
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4 |
n |
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4 |
n |
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1 |
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1 |
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2) При x 4 |
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ряд расходится по известному выше признаку. |
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n 1 4n 1 3 n |
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n 1 4n 4 3 n |
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4 n 1 |
3 n |
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Область сходимости степенного ряда 4 x 4 |
или 4; |
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4 |
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Ответ: |
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4; |
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4 |
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Наш сайт: Fizmathim.ru
Группа ВКонтакте https://vk.com/fizmathim_resh
Перейти на Готовые решения ИДЗ Рябушко (по вариантам)
Решение задач по высшей математике на заказ
|
x |
n |
|
2.0. |
|
||
5n 9 |
|||
n 1 |
|||
|
|
Найдем интервал сходимости данного ряда. Используем признак Д’Аламбера:
где u |
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x |
|
|
|
x n |
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|
|
, |
u |
|
|
x |
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x n 1 |
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x n 1 |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
n |
5n 9 |
n 1 |
5 n 1 9 |
5n 4 |
|
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|
x |
|
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|
x n 1 |
|
|
|
|
|
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|
|
x n x 5n 9 |
|
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|||||||||||||||||||
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||||||||||||||||||||||
lim |
u n 1 |
|
lim |
|
|
|
|
|
5n 4 |
lim |
|
|
|
x |
|
|
|
lim |
5n 9 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
u n x |
|
|
|
|
|
|
|
x |
n |
|
|
|
|
|
|
|
x |
n |
5n 4 |
|
|
|
|
5n 4 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
n |
|
|
|
|
n |
|
|
|
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|
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|
n |
|
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|
n |
|
|
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5n 9 |
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||||||||
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5n 9 |
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5 |
|
9 |
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||||||||||
|
|
x |
|
lim |
|
|
|
n |
|
|
|
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|
|
x |
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lim |
|
n |
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|
|
x |
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||||||||||||||||||||||||||||||||
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5n 4 |
|
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|
4 |
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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|
n |
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Ряд сходится при |
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x |
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x |
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1 |
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Запишем интервал сходимости исследуемого степенного ряда |
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1 x 1 |
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Исследуем сходимость ряда на концах найденного интервала |
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1) При x 1 |
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5n 9 |
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Ряд является знакочередующимся |
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lim |
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5n 9 |
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Ряд сходится по признаку Лейбница |
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Исследуем ряд на абсолютную сходимость |
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5n 9 |
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n 1 |
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Используем интегральный признак Коши |
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dx |
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dx |
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1 |
1 |
lim n |
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1 |
n4 |
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lim |
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lim n |
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5x 9 |
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5 9 |
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n |
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5 1 9 |
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5x |
9 |
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5x |
9 |
5 |
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5 |
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1 |
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1 |
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Так как интеграл расходится, следовательно, исследуемый ряд тоже расходится |
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Следовательно, исходный ряд (*) условно сходится |
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2) При x 1 |
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ряд расходится по известному выше признаку. |
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5n |
9 |
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n 1 |
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Область сходимости степенного ряда 1 x 1 или 1; 1 |
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1 |
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3.0 x 5 n tg |
||
3n |
||
n 1 |
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Найдем интервал сходимости данного ряда. Используем признак Д’Аламбера:
где u n x x 5 n tg |
1 |
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, u n 1 x x 5 n 1 tg |
1 |
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3n |
3n 1 |
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x 5 n 1 tg |
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x 5 n x |
5 tg |
1 |
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1 |
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u n 1 x |
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tg |
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lim |
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lim |
3n 1 |
lim |
3n 3 |
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x 5 |
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lim |
3n 3 |
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u n x |
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n |
1 |
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n |
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1 |
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n |
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n |
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x 5 tg |
3n |
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x 5 |
tg |
3n |
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tg |
3n |
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При n , |
tg |
1 |
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стремится к нулю, значит, тангенс можно заменить эквивалентной бесконечно малой |
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3n |
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|||||
величиной tg |
1 |
~ |
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1 |
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3n |
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3n |
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Тогда |
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tg |
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1 |
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lim |
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x 5 |
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3n 3 |
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x 5 |
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lim |
3n 3 |
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x 5 |
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1 условие выполняется |
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n |
tg |
1 |
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n |
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1 |
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3 |
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3n |
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3n |
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x 5 |
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Ряд сходится при |
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1 |
x 5 |
3 |
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3 |
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Запишем интервал сходимости исследуемого степенного ряда |
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3 x 5 3
8 x 2
Исследуем сходимость ряда на концах найденного интервала
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1 |
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1 |
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1) При x 2 2 5 n tg |
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3n tg |
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3n |
3n |
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n 1 |
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|
n 1 |
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|||
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||
lim 3n tg |
1 |
|
lim 3n |
1 |
|
1 ряд расходится, |
так как не выполняется условие lim a n 0 |
||||||||||||
|
n |
|
n |
||||||||||||||||
n |
3 |
|
n |
3 |
|
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n |
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1 |
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1 |
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|
1 |
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2) При x 8 8 5 n tg |
|
3 n tg |
|
3n 1 n tg |
(*) |
||||||||||||||
3n |
|
3n |
3n |
||||||||||||||||
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n 1 |
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n 1 |
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n 1 |
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||||||
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Используем признак Лейбница |
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|||||||||||
Ряд является знакочередующимся |
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|||||||||||
lim 3n tg |
1 |
|
lim 3n |
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1 |
1 0 |
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|||||
n |
|
n |
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n |
3 |
|
n |
3 |
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||
Ряд расходится по признаку Лейбница |
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или 8; 2 |
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Область сходимости степенного ряда 8 x 2 |
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4. Разложить в ряд Маклорена функцию f(x). Указать область сходимости полученного ряда к этой функции.
x
4.0.f(x) = xe 3
Запишем формулу Маклорена функции y f x |
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f x f 0 |
f 0 |
x |
f 0 |
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x 2 |
... |
f n 0 |
x n ... |
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1! |
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2! |
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n! |
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Находим производные функции f x xe |
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x |
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3 , |
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f(0) = 0 |
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x |
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x |
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0 |
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0 |
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f x e |
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1 |
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xe |
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, |
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f 0 e |
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1 |
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0 e |
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1 |
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3 |
3 |
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3 |
3 |
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3 |
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x |
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x |
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x |
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x |
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x |
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0 |
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0 |
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||||||||||||||
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x |
1 |
e |
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1 |
e |
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1 |
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xe |
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2 |
e |
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1 |
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xe |
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f 0 |
2 |
e |
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1 |
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2 |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
f |
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3 |
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3 |
3 |
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3 |
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3 ; |
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3 |
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0e |
3 |
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3 |
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3 |
9 |
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3 |
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9 |
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3 |
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x |
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lim |
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x |
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n 1 |
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Ряд сходится при |
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x |
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x
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x n 2 |
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3n 1 n 1 ! |
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3n x n x 2 n! |
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x |
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n! |
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x |
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n! |
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limn |
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limn |
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3n 3 x n x n 1 ! |
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3 |
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n 1 ! |
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3 |
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n! n 1 |
Наш сайт: Fizmathim.ru
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Перейти на Готовые решения ИДЗ Рябушко (по вариантам)
Решение задач по высшей математике на заказ
5. Вычислить указанную величину приближенно с заданной степенью точности α, воспользовавшись разложением в степенной ряд соответствующим образом подобранной функции
5.0. 327,36 , α=0,001
Применим биномиальное разложение |
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1 x m 1 |
m |
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m m 1 |
x 2 |
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m m 1 m 2 |
x3 |
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m m 1 m n 1 |
x n |
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3! |
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n! |
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Представим радикал в виде (1+x)m |
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при m |
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Тогда |
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0,04 |
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0,0032 |
... 1 0,0044 (0,0000197) 1,0044 |
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Поскольку уже третий член можно отбросить в силу того, что он меньше α=0,001. Следовательно
3 27,36 33 1 0,04 3 1,0044 3,013 3
6. Используя разложение подынтегральной функции в степенной ряд, вычислить указанный определенный интеграл с точностью до 0,001.
1
6.0. x cos xdx
0
Воспользуемся разложением функции y = cosx в степенной ряд
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x 2 |
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x 4 |
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x 6 |
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x8 |
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n |
x 2n |
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cosx 1 |
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2! |
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2n ! |
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Запишем функцию в ряд |
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x |
3 |
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x cos x x 1 |
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x cos xdx |
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24 |
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720 |
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40320 |
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(0,000173)... |
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Так как |
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0,001 , тогда |
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5760 |
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Перейти на Готовые решения ИДЗ Рябушко (по вариантам)
Решение задач по высшей математике на заказ
1
x cos xdx 0,5 0,125 0,0069 0,382
0
7. Найти разложение в степенной ряд по степеням x решения дифференциального уравнения (записать три первых, отличных от нуля, члена этого разложения)
7.0. y′ = x + y3 + y, y(0) = 1
Точка x=0 не является особой для данного уравнения, поэтому его решение можно искать в виде ряда: |
|||||||||||||||||
y y 0 |
y 0 |
x |
y 0 |
x 2 |
|
y 0 |
x3 ... (*) |
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1! |
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2! |
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3! |
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|||||||||
Имеем: y 0 1, |
y 0 0 13 |
1 2 |
|||||||||||||||
Дифференцируем исходное уравнение: |
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y 1 3y2 y y , |
y 0 1 3 12 2 2 1 6 2 9 |
||||||||||||||||
Подставляя найденные значения производных в ряд (*), получаем |
|||||||||||||||||
y 1 |
2 |
x |
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9 |
x |
2 ... 1 2x |
|
9 |
x 2 ... |
||||||||
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1! |
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2! |
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1 |
2 |
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В итоге : |
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y 1 2x |
9 |
x 2 |
... |
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2 |
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8. Методом последовательного дифференцирования найти первые k членов разложения в степенной ряд решения дифференциального уравнения при указанных начальных условиях.
8.0. y′ = 5x2 – xy, y(0) = 0,5, k = 3
Точка x=0 не является особой для данного уравнения, поэтому его решение можно искать в виде ряда:
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y |
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y y 0 |
y 0 |
x |
y 0 |
x 2 |
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0 |
x3 ... |
(*) |
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1! |
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2! |
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3! |
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Имеем: y 0 0,5; |
y 0 5 02 |
0 0,52 0 |
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||||||
Дифференцируем исходное уравнение: |
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y 10x y xy , |
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y 0 10 0 0,5 0 0 0,5 |
||||||
y 10 2y xy , |
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y 0 10 2 0 0 ( 0,5) 10 |
Подставляя найденные значения производных в ряд (*), получаем
y 0,5 |
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0 |
x 0,5 x 2 |
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10 |
x3 |
... 0,5 |
0,5 |
x 2 |
|
10 |
|
x3 ... |
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1 2 3 |
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1! |
2! |
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3! |
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1 2 |
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В итоге : |
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y 0,5 |
0,25x 2 |
1,667x |
3 ... |
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